Transcript Prezentacja programu PowerPoint

Komórka elementarna

t2

t3

t1




T  n1t1  n2t2  n3t3
Czy to aby prawda?
Cd-Se
wirus mozaiki
tytoniowej
Ge/Si
Komórka elementarna
A więc – która komórka jest
„elementarna”?
•
•
•
•
Najmniejsza
Najprostsza
O najwyższej symetrii
Ale spełnienie tych trzech warunków
jednocześnie może nie być możliwe...
Wtedy powinna decydować symetria.
Sieci Bravais’go
Auguste Bravais
(1811-1863)
Hardcover: 128 pages
Publisher: Dover Publications (Jan 27 2005)
Language: English
ISBN: 0486442659
Amazon.ca Sales Rank: #97,962
Our Price:CDN$ 35.60
Sieć Bravais’go
1. Sieć Bravais’go to dyskretny, nieskończony zbiór
punktów przestrzeni uporządkowanych w ten sposób, że
przy obserwacji układu z dowolnego należącego doń
punktu R wzajemne rozmieszczenie punktów układu i
jego orientacja są zawsze dokładnie takie same.
2. Sieć Bravais’go jest zbiorem tych wszystkich punktów
przestrzeni, których wektory wodzące mają postać:
 



r '  r  n1a1  n2a2  n3a3
Komórka prymitywna P
Współrzędne węzłów:
000; 100; 010; 001; 110;
101; 011; 111.
Spośród nich tylko jeden
jest niezależny, np.
000
Można policzyć inaczej:
8 węzłów x 1/8 (udział
jednego węzła w komórce) =
1 niezależny węzeł.
Komórka centrowana na
podstawach (A, B, C)
Współrzędne węzłów (dla
komórki C):
Naroża: 000; 100; 010; 001;
110; 101; 011; 111.
Środki ścian: ½ ½ 0; ½ ½ 1
Spośród nich dwa
są niezależne, np..
000 i ½ ½ 0.
Można policzyć inaczej:
8 węzłów z naroży x 1/8 (udział jednego węzła w komórce)
+ 2 węzły ze ścian x ½ = 2 niezależne węzły.
Komórka przestrzennie
centrowana (I)
Współrzędne węzłów:
Naroża: 000; 100; 010; 001;
110; 101; 011; 111.
Środek komórki: ½ ½ ½
Spośród nich dwa
są niezależne, np.
000 i ½ ½ ½ .
Można policzyć inaczej:
8 węzłów z naroży x 1/8 (udział jednego węzła w komórce)
+ 1 węzeły ze środka x 1 = 2 niezależne węzły.
Komórka wszechstronnie
centrowana (F)
Współrzędne węzłów:
Naroża: 000; 100; 010; 001;
110; 101; 011; 111.
Środki ścian: 0 ½ ½ ; 1 ½ ½ ;
½ 0 ½ ; ½ 1 ½ ; ½ ½ 0; ½ ½ 1.
Spośród nich cztery
są niezależne, np..
000; 0 ½ ½ ; ½ 0 ½ i ½ ½ 0.
Można policzyć inaczej:
8 węzłów z naroży x 1/8 (udział jednego węzła w komórce)
+ 6 węzły ze ścian x ½ = 4 niezależne węzły.
Komórka Wignera-Seitza
Eugene Wigner
(1902-1995)
Frederick Seitz
(1911-2008)
1946, Oak Ridge National Laboratory,
Tennessee
Komórka Wignera-Seitza
Układy krystalograficzne
1. Układ trójskośny
abca; α  β  γ α
2. Układ jednoskośny
abca; α = γ=90º; β  90º
3. Układ rombowy
abca; α = β = γ = 90º
4. Układ tetragonalny
a=bc; α = β = γ = 90º
5. Układ heksagonalny
i trygonalny
a1=a2=a3 c; α1= α2= α3= 120º; γ = 90º
6. Układ trygonalny
a=b=c; α = β = γ  90º
7. Układ regularny
a=b=c; α = β = γ = 90º
(krystalograficzne) Grupy punktowe
Są to dozwolone kombinacje elementów symetrii tworzące
grupę ze składaniem przekształceń jako działaniem; tzn.:
1. Wynik złożenia operacji symetrii danej grupy należy do tej grupy;
2. Składanie przekształceń jest łączne i przemienne (grupa abelowa)
3. Istnieje element neutralny grupy, tzn. taki, który złożony z danym
przekształceniem daje to samo przekształcenie
4. Dla każdego elementu grupy istnieje element odwrotny, tzn. taki,
który złożony z danym elementem daje element neutralny
Są 32 krystalograficzne grupy punktowe!
Symbolika grup punktowych (1)
Carl Hermann
(1898 - 1961)
Charles-Victor Mauguin
(1878 - 1958)
Symbolika grup punktowych (2)
(Hermanna-Mauguina, międzynarodowa)
1. Trójskośny: obecność lub brak środka symetrii: 1, 1
2
2. Jednoskośny: kierunek wyróżniony [y] ; 2; m;
m
3. Rombowy: trzy kierunki symetrii [x][y][z] ; 222; mm2;
4. Tetragonalny: kierunek wyróżniony (osi 4-krotnej),
kierunki x i y, kierunki przekątnych między osiami x i y
[z][x,y][kier.diagonalne] ; np. 4, 422, 42m
2 2 2
mmm
Symbolika grup punktowych (3)
(Hermanna-Mauguina, międzynarodowa)
5. Trygonalny: kierunek wyróżniony (osi 3-krotnej); kierunki
x1, x2, x3, kierunki przekątnych między tymi trzema osiami
[z][x1,x2,x3][kier.diag.] ; np. 3; 312; 3 2
m
6. Heksagonalny: kierunek wyróżniony (osi 6-krotnej);
kierunki x1, x2, x3, kierunki przekątnych między tymi
trzema osiami [z][x1,x2,x3][kier.diag.] ; np. 6; 622; 6 2 2
mmm
7. Regularny: kierunki osi x, y, z; kierunki przekątnych
przestrzennych; kierunki przekątnych między osiami
4 2
[x,y,z][przek.przestrz.][kier.diag.] ; np. 432;
3
m
m
Symbolika grup punktowych (4)
Artur Moritz Schönflies
(1853 – 1928)
Symbolika grup punktowych (5)
(Schönfliessa)
Inna filozofia tworzenia symbolu; nie ma odniesienia do układu
krystalograficzna; podstawowym pojęciem jest oś charakterystyczna.
C(D)•
C: oznacza, że oprócz osi
charakterystycznej nie ma
innych osi symetrii
D: oprócz osi charakterystycznej
o krotności n, jest jeszcze n osi
2-krotnych  do osi charakteryst.
Informacja o płaszczyznach
symetrii:
h – horyzontalna ( do osi char.)
v – wertykalna (|| do osi char.;
n takich płaszczyzn)
d – diagonalna;
albo o osi inwersyjnej (i)
Krotność osi
charakterystycznej
Symbolika grup punktowych (6)
(Schönfliessa)
Np. C4 – tylko oś 4-krotna, a więc: 4
D2 – oś dwukrotna + 2 osie dwukrotne  do tej osi; 222
C6h – oś 6-krotna i  do niej pł. sym.; 6/m
D2h – oś 2-krotna + 2 osie + pł.sym. ; 2/m2/m2/m
Ci – tylko inwersja; 1
Symbolika grup punktowych (7)
(Schönfliessa)
Wyjątki: Cs – pł.symetrii; m
S4 - 4
D2d - 4 2m
Układ regularny:
T – od tetraedru T; Td; Th
O – od oktaedru O; Oh
Współrzędne punktów w sieci

 

T  ua  vb  wc
001
101
uvw
punkt sieciowy (węzeł)
Z
T
c b
a

Y
X
010
100
110
Proste sieciowe (węzłowe)
Dowolna prosta przechodząca przez punkty sieci (węzły).
Zbiór takich prostych równoległych nazywamy
rodziną prostych sieciowych.
Wskaźniki prostych sieciowych
są jednakowe dla rodziny prostych.
Współrzędne węzła należącego do prostej danej rodziny
przechodzącej przez początek układu i najbliższego temu
początkowi. Jeśli ten węzeł ma współrzędne uvw to wskaźniki
odpowiedniej prostej zapisujemy jako [uvw].
z
[10-1]
y
[010]
x
[110]
Płaszczyzny sieciowe (węzłowe)
Płaszczyzny w sieci;
Zbiór płaszczyzn równoległych nazywamy
rodziną płaszczyzn sieciowych
Wskaźniki (Millera) płaszczyzn
sieciowych (węzłowych)
(hkl)
h:k:l =
1/a’:1/b’;1/c’
x
y
Zabawny układ heksagonalny
Wskaźniki Millera-Bravais’go
h+k+i=0
h+k=-i
Symetria sieci – translacyjne
elementy symetrii
• Centrowane komórki Bravais: niecałkowite
translacje;
• Osie śrubowe
• Płaszczyzny ślizgowe (poślizgu)
Osie śrubowe (1)
Złożenie obrotu (jak w osi n-krotnej) z translacją o m/n
okresu identyczności (m<n) w kierunku osi.
Oznaczamy nm;
np. oś 21 jest osią dwukrotną (obrót o 180°) połączoną z
translacją o ½ okresu identyczności wzdłuż kierunku osi;
Albo: oś 43: oś czterokrotna (obrót o 90°) połączona z
translacją o ¾ okresu identyczności wzdłuż kierunku osi.
itd.
Dwukrotna
oś
śrubowa
2
1

c
kierunek:
obrót:
translacja:
1
[001]
180°
½ty
½
z=1/2
0
z=0
z=1
Dwukrotna oś śrubowa w
działaniu
Osie trzykrotne 31 i 32
z = 1/3
z = 2/3
z = 2/3
31
Prawoskrętna
z=0
z=0
z=1
z=2=
1+ 1 =
1
Z = 4/3 =
1+1/3= 1/3
32
Lewoskrętna
Kolejne osie śrubowe
Czterokrotne:
Sześciokrotne:
41 – prawoskrętna
61 – prawoskrętna;
43 – lewoskrętna
62 – prawoskrętna
42 – obojętna
63 – obojętna
64 – lewoskrętna
65 – lewoskrętna
x
Płaszczyzny ślizgowe
ay
1
½
0
1
y
Płaszczyzny ślizgowe (poślizgu)
Złożenie odbicia zwierciadlanego z translacją o ½ lub ¼
okresu identyczności w kierunku leżącym w
płaszczyźnie symetrii.
Oznaczamy
a jeśli translacja jest o ½ wektora a0
b jeśli translacja jest o ½ wektora b0
c jeśli translacja jest o ½ wektora c0.
n jeśli translacja jest o ½ przekątnej
d jeśli translacja jest o ¼ przekątnej.
Płaszczyzny ślizgowe w
działaniu
Grupy przestrzenne
Arthur Schönfliess
(1853 – 1928)
Jewgraf Stiepanowicz
Fiedorow
(1853 - 1919)
William Barlow
(1845 - 1934)
230 grup przestrzennych –
symbolika (1)
1. Międzynarodowa (Hermanna-Mauguina):
analogicznie do grup punktowych, np.
21 21 21
P
b c a
albo:
41 2
P 3
d m
230 grup przestrzennych –
symbolika (1)
1. Międzynarodowa (Hermanna-Mauguina):
analogicznie do grup punktowych, np.
21 21 21
P
b c a
albo:
41 2
P 3
d m
Grupy przestrzenne – symbolika (2)
2. Schoenfliessa (nieszczególnie użyteczna); np.
15
2h
D
To taka grupa z klasy D2h, w której są trzy osie dwukrotne śrubowe
oraz trzy płaszczyzny ślizgowe osiowe (a, b, i c). Czyli
21 21 21
P
b c a
Grupy przestrzenne – symbolika (3)
albo:
19
4h
D
To taka grupa z klasy D4h, która charakteryzuje się komórką
przestrzennie centrowaną, osią czterokrotna śrubową
prawoskrętną, płaszczyznami ślizgowymi a, b i d.
Czyli:
41 2 2
I
a md
Tablice międzynarodowe