Transcript 鏡像による多面体の作成

鏡像による多面体の作成
H2904 木下侑里香
研究概要

鏡像の性質を用いて多面体を作るために万華鏡のミ
ラーシステムの一つであるテーパードミラーを利用し、
出来る三角錐の各辺の長さを求め、実際に作成する
研究動機
去年、平面で鏡像の広がりについて研究して、今回は
さらに鏡像で立体ができるのではないかと考え、実証し
たいと思った
 テーパードミラーを見たときに立体に像が出来ていたの
で、それを利用して今度は逆に作りたい立体を定めて
テーパードミラーを作ることに挑戦したいと考えた

テーパードミラーとは？
三角錐の先端をカットしたような形
 断面は正三角形

研究１

平面図形の時、鏡像を作るには鏡の置く場所を鏡像の線対
称になるところであった
→立体も同じようにすればできるのでは？
対称面に鏡を置くと多面体ができる
研究２
名刺の各頂点を繋いでいくと
…
→１つの頂点に５本の線分が
集まっている
この多面体は二十面体
各面、正三角形なのではない
か？
x
1
1-x
1
名刺の縦の長さを１、横の長さを
x とすると
1: x
短い辺：長い辺 =
残りの長方形の辺の長さの比は
短い辺：長い辺=
x  x 1  0
2
( x  1) : 1
x
1 5
 1.618033989...
2

1 5
 1.618033989
... とすると 左図の青い線分の長さは・・・
2
(  0) 2  (0  1) 2  (1   ) 2
z
(0, -1,
φ)
 2(    1)  4
(-φ, 0,
1)
2
(0, 1,
φ)
(1, -φ,
0)
2
(φ, 0,
1)
(-1, φ,
0)
y
x
(1, φ,
0)
(φ, 0, 1)
(0, 1, φ)
よって、この多面体が
一辺2cmの正二十面体
であることがわかる
研究３
正二十面体の各面の重
心を結んで切り取ると、
正十二面体ができる
z
A1
A5
G5
G1
P
G4
A2
G2
x
A4
G3
y
A3
正二十面体
・頂点→１２
・面→２０
正十二面体
・頂点→２０
・面→１２
研究４
P  (0,1,  )
A1  (0,  1,  )
A3  (1,  , 0 )
A4  ( 1,  , 0 ) A5  (   , 0,1)
S
R
A1
Q
M
N
G1
c
A5
G5
P
A2
2  1 

G1   , 0,

3 
3
 2  1  
G3   0,
, 
3
3

A2  (  , 0,1)
G4
L
  1  1  1 
G2  
,
,

O
3
3
3


G2
  1  1  1 
G4   
,
,

3
3
3 

A4
G3
A3
2
2
2 22 12  2 2 2 2
2
 
2


1
G5    2,0,



5
81  52  1 
 252 113
8

213
8
.
16180339

2
GOM
M







1
...



......
15
.0902113
PG
1.
14120226
.5393446
 1.1547005
... ... ...
OL
31G
 ...
1.2011381
NL

0.7816424
  
 ...
.5773502
ON
N
OG
 3
1.05115226
...
OP
MP
5  5
(43)  3)3 
333(3433(4333) 3 3(433

点L, M, Nの座標
点Mは線分PA1 の中点なので、 M
点Nは線分 G1G5 の中点より、
 ( 0, 0,  )
2  1 

N   0, 0,

3 

点Lは、yz 平面上にあるため、２直線OP とNG3 の
交点として求めることができる
NG3 : z  
 1
2  1
y
2  1
3
OP : z  y

8  5 13  8
L   0,
,
 3(4  3) 3(4  3)




三角錐の各辺の長さ
OP  1   2  1.902113 ...
OM    1.6180339...
 
 2  1 
OG5      
  1.5115226...
 3  3 
2  1
ON 
 1.4120226 ...
3
2
2
2
2
 8  5   13  5 
  
  1.2011381...
OL   
 3(4  3)   3(4  3) 
2  1 
 

2
PG5     1    
  1.1547005...
3 
3

2
2
2  1 
  
G5 M       
  0.5773502...
3 
3 
2
2
MP  1
G5 N 

3
 0.5393446 ...
2
2
 8  5   13  8 2  1 
  
  0.7816424...
NL  

3 
 3(4  3   3(4  3)
研究５
6.5cm
C
D
B
P
7.65cm
3.2cm
M
L
N
G5
2cm
L
2cm
3.2cm
P
A
10cm四方のポリカーボネート板から、左図のようにけがいてい
く
今後の発展・参考文献

三角錐の鏡の鏡像によって、正十二面体・正二十面体
ができることが分かったのでこれをさらに利用して、新た
な図形をつくっていきたい。
・万華鏡博物館（大熊進一）
 ・華麗な夢の世界～万華鏡～（照木公子）
 ・プラトンの立体
 http://www.dimensions-math.org/Dim_CH2_JP.htm
 ・多面体の科学
 http://www.h4.dion.ne.jp/~yh543/kagaku.html

ご静聴ありがとうございました！