Transcript 鏡像による多面体の作成
鏡像による多面体の作成
H2904 木下侑里香
研究概要
鏡像の性質を用いて多面体を作るために万華鏡のミ
ラーシステムの一つであるテーパードミラーを利用し、
出来る三角錐の各辺の長さを求め、実際に作成する
研究動機
去年、平面で鏡像の広がりについて研究して、今回は
さらに鏡像で立体ができるのではないかと考え、実証し
たいと思った
テーパードミラーを見たときに立体に像が出来ていたの
で、それを利用して今度は逆に作りたい立体を定めて
テーパードミラーを作ることに挑戦したいと考えた
テーパードミラーとは?
三角錐の先端をカットしたような形
断面は正三角形
研究1
平面図形の時、鏡像を作るには鏡の置く場所を鏡像の線対
称になるところであった
→立体も同じようにすればできるのでは?
対称面に鏡を置くと多面体ができる
研究2
名刺の各頂点を繋いでいくと
…
→1つの頂点に5本の線分が
集まっている
この多面体は二十面体
各面、正三角形なのではない
か?
x
1
1-x
1
名刺の縦の長さを1、横の長さを
x とすると
1: x
短い辺:長い辺 =
残りの長方形の辺の長さの比は
短い辺:長い辺=
x x 1 0
2
( x 1) : 1
x
1 5
1.618033989...
2
1 5
1.618033989
... とすると 左図の青い線分の長さは・・・
2
( 0) 2 (0 1) 2 (1 ) 2
z
(0, -1,
φ)
2( 1) 4
(-φ, 0,
1)
2
(0, 1,
φ)
(1, -φ,
0)
2
(φ, 0,
1)
(-1, φ,
0)
y
x
(1, φ,
0)
(φ, 0, 1)
(0, 1, φ)
よって、この多面体が
一辺2cmの正二十面体
であることがわかる
研究3
正二十面体の各面の重
心を結んで切り取ると、
正十二面体ができる
z
A1
A5
G5
G1
P
G4
A2
G2
x
A4
G3
y
A3
正二十面体
・頂点→12
・面→20
正十二面体
・頂点→20
・面→12
研究4
P (0,1, )
A1 (0, 1, )
A3 (1, , 0 )
A4 ( 1, , 0 ) A5 ( , 0,1)
S
R
A1
Q
M
N
G1
c
A5
G5
P
A2
2 1
G1 , 0,
3
3
2 1
G3 0,
,
3
3
A2 ( , 0,1)
G4
L
1 1 1
G2
,
,
O
3
3
3
G2
1 1 1
G4
,
,
3
3
3
A4
G3
A3
2
2
2 22 12 2 2 2 2
2
2
1
G5 2,0,
5
81 52 1
252 113
8
213
8
.
16180339
2
GOM
M
1
...
......
15
.0902113
PG
1.
14120226
.5393446
1.1547005
... ... ...
OL
31G
...
1.2011381
NL
0.7816424
...
.5773502
ON
N
OG
3
1.05115226
...
OP
MP
5 5
(43) 3)3
333(3433(4333) 3 3(433
点L, M, Nの座標
点Mは線分PA1 の中点なので、 M
点Nは線分 G1G5 の中点より、
( 0, 0, )
2 1
N 0, 0,
3
点Lは、yz 平面上にあるため、2直線OP とNG3 の
交点として求めることができる
NG3 : z
1
2 1
y
2 1
3
OP : z y
8 5 13 8
L 0,
,
3(4 3) 3(4 3)
三角錐の各辺の長さ
OP 1 2 1.902113 ...
OM 1.6180339...
2 1
OG5
1.5115226...
3 3
2 1
ON
1.4120226 ...
3
2
2
2
2
8 5 13 5
1.2011381...
OL
3(4 3) 3(4 3)
2 1
2
PG5 1
1.1547005...
3
3
2
2
2 1
G5 M
0.5773502...
3
3
2
2
MP 1
G5 N
3
0.5393446 ...
2
2
8 5 13 8 2 1
0.7816424...
NL
3
3(4 3 3(4 3)
研究5
6.5cm
C
D
B
P
7.65cm
3.2cm
M
L
N
G5
2cm
L
2cm
3.2cm
P
A
10cm四方のポリカーボネート板から、左図のようにけがいてい
く
今後の発展・参考文献
三角錐の鏡の鏡像によって、正十二面体・正二十面体
ができることが分かったのでこれをさらに利用して、新た
な図形をつくっていきたい。
・万華鏡博物館(大熊進一)
・華麗な夢の世界~万華鏡~(照木公子)
・プラトンの立体
http://www.dimensions-math.org/Dim_CH2_JP.htm
・多面体の科学
http://www.h4.dion.ne.jp/~yh543/kagaku.html
ご静聴ありがとうございました!