Transcript Slide 1

Bagian 2
andhysetiawan
Sub Pokok Bahasan
Gelombang pada zat cair
 Gelombang di udara (gelombang bunyi)
 Gelombang permukaan air

andhysetiawan
B.4 Gelombang Pada Zat Cair
Elemen Zat cair setebal x
dengan luas penampang A
Elemen mengalami
deformasi. Perpindahan sisi
kiri dan kanan elemen tsb
dinyatakan dengan
( x) dan( x  x)
 2
 F ( x)  F x  x 
Persamaan gerak elemen Volume zat Cair  A x
2
t
Modulus
Bulk
Hubungan antara tegangan dan regangan :
F
V
M
A
V
andhysetiawan
Persamaan gerak elemen Volume zat Cair
Ekspansi ke
Deret Taylor
 2
 A x 2  F ( x)  F x  x 
t
 2 
F

 A x 2   F ( x)  F ( x) 
x 
t
x


Hubungan antara
tegangan dan regangan :
 2
F
 A x 2   x
t
x
F
V
M
A
V
F
Ax   ( x  x)    x  Ax
 M
A
Ax
F
M
A
A

x

x
M
Ax
x
andhysetiawan

F   AM
x
F
 2
  AM 2
x
x
Substitusi
 2
F
 A x 2   x
t
x
 A x



AM

x
t 2
x 2
2
2
F
 2
  AM 2
x
x
 2
M  2

t 2
 x 2
Bandingkan dengan
Persamaan Umum
gelombang
 2
M  2

0
2
2
t
 x
2
 2
2  
 v
0
2
2
t
x
Cepat Rambat Gelombang :
andhysetiawan
v
M

C. Gelombang di Udara (Gelombang Bunyi)
Tidak mengalami perubahan bentuk
UDARA
  m V 1 

V

d
dV
d
 m V 2
dV
Modulus Bulk
Mempunyai respon terhadap
perubahan tekanan
B
andhysetiawan
dp
d
B  V
dp
dV
C.1 Cepat Rambat Gelombang Bunyi
Hukum II Newton
ma  F
 2
Ax 2  A p( x)  p( x  x)
t
 2
p
 2 
andhysetiawan
t
x
Ekspansi ke
Deret Taylor
Dalam perambatannya berlaku hukum kekekalan massa
Ax  ( x  x)  ( x)  0 Ax  c
Ekspansi ke
Deret Taylor
  
  

1 
C
Ax1 
c
 x 
 x 

 1
x

 2

 2
 2 0
  2
2
   

x
x
x
x
1




0


Cepat rambat
x 
x 
x 2
2
Gelombang bunyi
2


p 



p

p


 2 
 2 
Hukumdi IIudara
Newton

t
 x
t
x
 x
p
p
B
B
Modulus Bulk




B
Bandingkan
dengan
2
2


2  
Persamaan
Umum
 v
2
t
x 2
gelombang
v

0
 2 B  2

0
2
2
t
 x
andhysetiawan
 2
 2
 2 B 2
t
x
Gelombang dalam gas bersifat adiabatik
p   c

pV  c
dp p

d 
dp

 p

B
dp
d

andhysetiawan
B  p
 1
d  0
substitusi
B  p
v
v

B

RT
M
R
M
v T
andhysetiawan
v
p

RT
p
M
Hk. Gay  Lussac
C.2 Intensitas Gelombang Bunyi
Dari
B
p
d dx
Diperoleh hubungan antara gelombang
tekanan dan gelombang pergeseran
Daya atau arus energi
gelombang bunyi:
p  B
d
dx
 
P  B
A
x
t

P  p. A
t
  
P  B. A.v

 x 
Rapat arus energi atau
Intensitas
gelombang bunyi P/A
  
I  B.v.

 x 
andhysetiawan
2
2
 F
p   B.

x
A

F  Z .
t

Z
x


A
t
p  B
B
z
v
B.
Impedansi
  
I  B.v.

 x 
Impedansi karakteristik
Impedansi jenis
Rapat Impedansi
2
 p
I  B.v. 
 B
d
dx
andhysetiawan
2
1 2
I  .p
z
Intensitas gelombang bunyi sering dinyatakan sebagai taraf
intensitas β dalam satuan decibel (dB), yang menyatakan tingkat
relatif dan didefinisikan sebagai berikut::
I
  log Bel
I0
I
  10. log dB
I0
Dengan:
I 0  1012W / m2  Intensitasacuan
andhysetiawan
Gelombang Permukaan Air
Anggap Air Memiliki sifat – sifat sebagai berikut
a. Non viskos, Viskositas yang disebabkan oleh gesekan internal,
diabaikan.
b. Amplitudo gelombang relatif lebih kecil dibanding panjang
gelombangnya.
c. Gaya-gaya yang bekerja hanyalah gaya gravitasi dan tegangan
permukaan.
d. Inkompresibel, Volume tidak berubah karena perubahan
tekanan, jadi rapat massanya
konstan.
andhysetiawan
Selain itu air dipandang sebagai air ideal, dengan sifat sifat :
a. Berlaku hukum kekekalan massa :
     

0
t

t
Inkompresibel
     0
v

t
  
  
0
 t 
andhysetiawan
    Konstan
b. Tidak ada gelembung.
   nˆ dA  0
Teorema Divergensi
   dV  0
 0
c. Tidak ada pusaran.
x y

0
x
y
 
 v  d  0
Teorema Stokes (Rotasi)



v
 nˆ dA  0



0
t
 y x 
ˆ
  0
k 

y 
 x

     0
t
andhysetiawan
     0
D.1. Penerapan Syarat Batas
Syarat batas di x = 0 :
….(1)
….(2)
Tidak ada
gelembung
Pers. 1
 kg ( y ) 
y
x

0
x
y
 y x 

  0

y 
 x
df ( y )
 0 .......(3)
dy
k f ( y) 
andhysetiawan
Pers. 2
Tidak ada
pusaran
dg( y )
 0 .......(4)
dy
Persamaan 3
Persamaan 4
Diferensiasikan terhadap y
Diferensiasikan terhadap y
dg( y) d 2 f ( y)
k

0
2
dy
dy
df ( y) d 2 g ( y)
k

0
2
dy
dy
dg( y) 1 d 2 f ( y)

.......(5 )
2
dy
k dy
df ( y) 1 d 2 g ( y)

.......(6)
2
dy
k dy
Substitusi ke persamaan 4
Substitusi ke persamaan 3
1 d 2 f ( y)
k f ( y) 
0
k dy2
1 d 2 g ( y)
 k g ( y) 
0
k dy2
d 2 g ( y) 2
 k g ( y)  0
2
dy
2
d f ( y) 2
 k f ( y)  0
2
dy
Solusi Persamaan
Solusi Persamaan
g  y   Ceky  Deky
f  y   Aeky  Beky
andhysetiawan
Syarat Batas : y = -h: y  0
f  h  Ae
 kh
B   Ae2kh
Maka f (-h) = 0
f  y   Aeky  ( Ae2 kh )e  ky
 Be  0
kh

f  y   A e ky  e k 2 h y 
dari pers3 :  kg ( y ) 


df ( y )
 0  g ( y )  A e ky  e  k 2 h  y 
dy

Persamaan Gelombang arah x dan y pada persamaan (1) dan (2)

  A cost coskxe


.......(8)
y  A cost sinkx eky  ek 2h y  .......(7)
x
ky
 e k 2 h  y
Kasus khusus
a. Bila h >> , maka
Ekspansi ke
deret pangkat
b. Bila h << , maka :
y  Aeky cost sinkx.......(9)
x  Aeky cost coskx.......(10)
andhysetiawan
y  2 Ak( y  h) cost sinkx.......(11)
x  2 A cost coskx.......(12)
D.2. Hubungan Dispersi Gelombang Permukaan Air
Persamaan Gerak
 2 x
m
 Ly[ p( x)  px  x ]
t 2
p( x)  gy x
Deret Taylor
Hukum hidrostatika
 2 x
m 2  Lyg[y ( x)  y x  x ]
t
y
 2 x
m 2   Lyxg
t
x
m  V 
m  Lyx 
y
 2 x


g
t 2
x
andhysetiawan
y
 2 x
 g
t 2
x

y  A cost sinkx eky  ek 2h y 


x  A cost coskx eky  ek 2h y 
 2 eky  ek 2h y  gkeky  ek 2h y 
Syarat batas di y = 0
 2 1  ek 2h  gk1  ek 2h 
Persamaan
Dispersi
1  e 2 kh
  gk
1  e 2 kh
2
andhysetiawan

D.3. Gelombang Gravitasi dan Gelombang Riak
2 kh
1

e
 2  gk
1  e 2 kh
Persamaan Dispersi
Kasus Khusus
a. Bila h >>
e2kh  0
Persamaan dispersi menjadi :
 2  gk
  gk
vf 
Kecepatan
fase
k

k
g
vf 
2
andhysetiawan
2

d
vg 
dk
d gk
vg 
dk
Gelombang ini disebut Gelombang
Gravitasi
Gelombang ini
bersifat dispersif
v f  vg
1 g
vg 
2 k
1 g
vg 
2 2
Kecepatan Grup
andhysetiawan
2 kh
b. Bila h <<, Maka e dalamderet pangkat
e
 2 kh
2

 2kh
1  (2kh) 
 .......
2!
e 2 kh 1  (2kh)
1  e 2 kh
  gk
1  e 2 kh
2
1  1  2kh
  gk
1  1  2kh
 2  gk 2 h
2
vf 

k
d
vg 
dk
k
vf 
k
gh
dk gh
vg 
dk
andhysetiawan
vf 
  k gh
Gelombang Riak
gh bersifat non Dispersif
vg  gh
vg  v f


 2 x
m
 Ly[ p( x)  px  x ]
2
t
p( x)  g  k y x 
2


p( x  x)  g  k 2 y x  x 

 2 x
m
 Ly g  k 2 [y ( x)  y x  x ]
2
t

k 
2
Efek tegangan
permukaan
diperhitungkan
Tekanan pada
elemen massa
bertambah
y
 2 x
 2   g  k 2
t
x


 x
k  y

   g 
2
t
  x

2
3
2 kh



k
1

e

 2   gk 
 2 kh

1

e


Untuk kasus h >>, tegangan
permukaan tidak diabaikan
e2kh  0

k 3 

   gk 
 

2

2

Deret Taylor
 2 x
2
m

L

y

g


k
t 2


  A cost coskxe
y x  

  x

x 





y  A cost sinkx eky  ek 2h y 
x
g 2
v

2 
andhysetiawan
ky
 e k 2 h y
Untuk kasus h << tegangan
permukaan tidak diabaikan,
Bagaimana dispersivitasnya?