Transcript Analisando o comportamento gráfico de uma curva

CENTRO UNIVERSITÁRIO FRANCISCANO
MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO
DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA
REFLEXÃO DA DOCÊNCIA
Analisando o comportamento gráfico de uma curva
por meio da análise da função derivada
Profa. Liliane R. Refatti
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1. Contextualização da Situação de Ensino
Docência desenvolvida pela Professora Liliane R. Refatti
licenciada em Matemática, aluna do curso de Mestrado
Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática da
UNIFRA e possui dez meses de experiência em sala de aula.
As atividades apresentadas foram desenvolvidas na
disciplina de Cálculo no primeiro semestre curricular do curso
superior de Tecnologia em Sistema para Internet da Universidade
Federal de Santa Maria, no ano de 2011.
As atividades foram desenvolvidas com um grupo de
aproximadamente 40 alunos.
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2. Elementos Específicos da Situação de Ensino
Tema: Aplicação das derivadas.
Objetivo da atividade
Interpretar graficamente o comportamento de uma função
utilizando a função derivada.
Analisando a função derivada pretende-se:
● Verificar os intervalos em que a função é crescente ou decrescente;
● Identificar pontos de inflexão, máximos, mínimos de uma função e
intervalos em que a concavidade é voltada para cima ou para baixo.
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Recursos computacionais utilizados
Foi utilizado o software GeoGebra para fazer os gráficos da
função e da função derivada.
Metodologia
1.
Introdução:
Apresentação da proposta de trabalho à turma.
2.
Desenvolvimento da atividade em grupo.
3. Discussão final/reflexão:
Nessa etapa a professora estimulou a comunicação entre os alunos.
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ATIVIDADE:
O gráfico abaixo é a representação geométrica de uma função f. Para obter
o gráfico no GeoGebra movimente o seletores para as seguintes posições, a = 1,
b = 0, c = -2, d = 0 e e = 1.
f
Aplicativo
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ATIVIDADE:
a) Identifique o domínio da função f e utilize a função derivada para
analisar os intervalos em que esta função é decrescente ou crescente?
b) O que você pode afirmar sobre o comportamento da reta tangente ao
gráfico da função no intervalo em que a função decresce? E no intervalo
em que f é crescente?
c) Analisando a reta tangente é possível determinar os pontos de máximo e
de mínimo da função?
d) Identifique o(s) ponto(s) de inflexão da função f .
e) É possível identificar os intervalos em que a função apresenta uma
concavidade voltada para cima ou para baixo?
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Análise das soluções
a) Identifique o domínio da função f e utilize a função derivada para analisar
os intervalos em que esta função é decrescente ou crescente?
Grupo A:
Grupo D:
Domínio: ℝ
Crescente: (1, +∞); (0, -1)
Decrescente: 1,1 ; -1, +∞
Domínio: ℝ
Grupo B:
Domínio: ℝ
Crescente: -1 a 0; 1 a +∞
Decrescente: +∞ a -1; 0 a 1
Grupo C:
{ℝ}
Grupo E:
Domínio: ℝ
Crescente: (-1, 1) e (1, +∞)
Decrescente: (-∞, -1) e (1,1)
Grupo F:
Domínio: ℝ
Crescente: (-1, 0) 𝑈(1,+∞)
Decrescente:(-∞, -1) 𝑈(0,1)
Observe que os alunos não usaram uma linguagem correta e também não
apresentaram justificativas para verificar se a função era crescente ou
decrescente.
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Análise das soluções
b) O que você pode afirmar sobre o comportamento da reta tangente ao gráfico
da função no intervalo em que a função decresce? E no intervalo em que f é
crescente?
Grupo A:
Coeficiente angular da reta tangente positivo - derivada positiva – função crescente
Coeficiente angular da reta tangente negativo - derivada negativa – função decrescente
Grupo B:
Quando a função decresce a derivada é negativa e quando a função cresce a derivada é
positiva.
Grupo E:
É decrescente no intervalo em que o coeficiente angular da reta tangente é positivo e crescente
onde o coeficiente angular da reta tangente é negativo.
Grupos C, D e F:
Não responderam a questão.
Podemos observar nessas questão que apenas o grupo A registrou corretamente.
Observamos que a maioria dos alunos não conseguiram se apropriar dos recursos
que o aplicativo oferecia para visualizar o comportamento da reta tangente ao
gráfico da função nos intervalos em que a função decresce ou cresce.
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Análise das soluções
c) Analisando a reta tangente é possível determinar os pontos de máximo e de
mínimo da função?
Grupo A:
Grupo D:
Ponto de máximo: (0, 1)
Pontos de mínimo: (-1, 0) e (0, 1)
Não respondeu.
Grupo E:
Grupo B:
Máximo: (0, 1)
Mínimo: (-1, 0) e (0, 1)
Os pontos de máximo é (1.5, 1) e de mínimo é
(-1, -2)
Grupo F:
Grupo C:
(-1,0) ; (0, 1)
Ponto máximo: 0, 1
Pontos mínimo: -1, 0 e 1,0
Observe que novamente alguns alunos não usaram uma linguagem matemática
correta e também não apresentaram alguma justificativas para verificar os pontos de
máximo e mínimo da função.
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Análise das soluções
d) Identifique o(s) ponto(s) de inflexão da função f .
Grupo A:
Grupo D:
Pontos de inflexão são
(- 0.58, 0.44) e (0.58, 0.44).
Os pontos de inflexão são -0,6 e 0,4 e 0,6 e 0,4.
Grupo E:
Grupo B:
No ponto x = -1 e no y no ponto 1
Pontos de inflexão são
- 0.58, 0.44 e 0.58, 0.44
Grupo F:
(-0,5; 0,5) e (0,5; 0,5)
Grupo C:
O ponto de inflexão é (0, 1).
Apenas os grupos A e F descrevem corretamente porém não justifica o
comportamento da reta tangente quando ocorre um ponto de inflexão, os de mais
grupos a linguagem matemática usada não está correta .
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Análise das soluções
e) É possível identificar os intervalos em que a função apresenta uma
concavidade voltada para cima ou para baixo?
Grupo A:
Grupo D:
Reta tangente positiva: ponto de
máximo. Reta tangente negativa:
ponto de mínimo.
Concavidade para cima a reta tangente se
encontra abaixo da curva, quando a
concavidade está para baixo a reta tangente está
a cima da curva.
Grupo B:
Grupo E:
Concavidade para cima reta tangente
para baixo. Concavidade para
baixo reta tangente para cima.
Na concavidade para cima a reta tangente fica
abaixo do ponto F e na concavidade para baixo
a reta fica para baixo também.
Grupo F:
Grupo C:
Concavidade para cima -1,0 a
– 0,5 e 0,5 a 1.5 e concavidade
para baixo -0,5 a 0,5.
No intervalo onde a curva apresenta
concavidade voltada para cima o coeficiente
angular da reta tangente é crescente. No
intervalo onde a curva apresenta concavidade
voltada para baixo o coeficiente angular da reta
tangente está decrescendo.
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Nesta questão alguns alunos não conseguiram visualizar o que estava
acontecendo com o coeficiente angular da reta tangente nos intervalos onde a
função tem concavidade voltada para cima ou para baixo. O grupo D registro suas
observações de uma maneira diferente do grupo F, no entanto, os dois grupos
responderam corretamente. Já os grupos A, B e F não foram claros em suas
descrições.
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Avaliação
Os alunos foram avaliados pela lista de atividades entregue por
cada grupo, levando em consideração os seguintes pontos:
1. Respostas sobre o conteúdo em questão;
2. Símbolos matemáticos representados corretamente;
3. O resumo deveria conter todos os tópicos que o aluno pode observar no
decorrer da atividade;
4. Gráficos reproduzidos corretamente.
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Dificuldades enfrentadas pelo professor
1.
2.
3.
Dar atendimento individual adequado devido ao número de alunos
presentes;
Tempo utilizado no decorrer da atividade;
A falta de alguns conceitos fundamentais que os alunos deveriam
supostamente saber (como por exemplo, domínio de uma função,
representar um intervalo, localizar um ponto no plano, ponto de
máximo e mínimo...).
Dificuldades enfrentadas pelos alunos
I.
II.
III.
IV.
V.
Manuseio no GeoGebra;
Interpretar um gráfico;
Localizar pontos no plano cartesiano e representar intervalos;
Dificuldades em descrever a concavidade da curva usando a derivada;
Fazer um resumo do que foi analisado na atividade.
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Referências
HOWARD, Anton. Cálculo – Um Novo Horizonte. V. 1. Sexta edição. Editora
Bookman, 2000.
ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO. N. S. G. Pesquisa em Resolução de Problemas:
Caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema, Rio Claro. SP, v. 25, p. 73-98,
dez. 2011.
ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensinoaprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO,
M. A. V.; BORBA, M. C. (Org). Educação Matemática-pesquisa em
movimento. 2ed. São Paulo: Cortez, 2005. p.213-231.
POLYA, George. A arte de Resolver Problemas. Tradução: Heitor Lisboa de
Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. 196p. 31 ilust.
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