Transcript Produção Pedagógica

Mestrado Profissionalizante em
Ensino de Física e Matemática
ANÁLISE GRÁFICA DA FUNÇÃO E
DE SUA DERIVADA
Profa: Silvia Prietsch Wendt Pinto
Orientadora: Profa Eleni Bisognin
2010
Precursores do Cálculo
Isaac Newton (1642 – 1727)
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646 – 1716)
Derivada
Este trabalho é composto por atividades que trazem um
retrospecto das noções sobre os estudo da derivada,
visando analisá-la sobre o aspecto gráfico.
Inicialmente será dada a noção de reta tangente ao
gráfico de uma função num determinado ponto e numa
sequência crescente as demais considerações sobre
derivada.
Objetivos
• Sessão 1 – Analisar como os alunos resolvem problemas
relativos ao conceito e aplicações da derivada.
• Sessão 2 – Analisar como os alunos utilizam o conceito e
as propriedades da derivada para o traçado de gráficos e
análise do comportamento das funções.
• Sessão 3 – Analisar como os alunos utilizam o conceito e
as propriedades da derivada para traçar o gráfico de uma
função a partir da análise do gráfico da função derivada.
QUESTÕES DESENVOLVIDAS NA SESSÃO 1
Questão 1:
Analisando o gráfico a seguir como determinar a
inclinação da reta tangente a curva y  f ( x) no
ponto P( x0 , f ( x0 )) ?
Clique aqui
para saber
mais sobre:
“o problema
da reta
tangente”
Para responder a essa pergunta foi tomado um ponto
Q(x1, f(x1)) sobre a curva e foi calculado a inclinação da reta secante PQ
O quociente
f ( x1 )  f ( x0 )
, fornece a inclinação da reta
x1  x0
secante, portanto fazendo o ponto Q aproximar-se de
longo da curva
isto é,
P
ao
y  f ( x) , implica que x1 se aproxima de x0 ,
f ( x1 )  f ( x0 )
lim
x1  x0
. Esse limite quando existe fornece
x1  x0
a inclinação da reta tangente à curva no ponto
( x0 , f ( x0 )) .
Questão 2:
Vamos analisar outra situação. Você está fazendo uma viagem
de carro e num determinado momento percebe que o velocímetro
enguiçou. Como você pode determinar a velocidade do carro para
que não se ultrapasse os limites permitidos?
Uma das estratégias é verificar a quilometragem que aparece
no painel do carro. Se no instante que você verificou, a
quilometragem era de 12.476 km e após 15 minutos 12.495 km,
então a velocidade média nesse intervalo de tempo, pode ser
calculada do seguinte modo:
distância percorridaem km 12 495 12 476

 76km / h
int ervalo de tem poem horas
0,25
Se o limite da quilometragem no tempo t é indicada
por
f (t ) , então a velocidade média no tempo t, relativa
ao
intervalo
de
tempo
de
15
minutos
é
f (t  0,25)  f (t )
.
0,25
Se
t é um intervalo de tempo qualquer então a
velocidade média relativa ao intervalo de tempo
f (t  t )  f (t )
.
t
t
é
Esse quociente é também denominado de taxa de
variação média da função f relativa ao intervalo de
tempo
t .
Como interpretar geometricamente a velocidade
média?
Para responder a essa pergunta vamos considerar a
quilometragem do carro num intervalo de tempo
t  t1  t0 ,
sendo f (t 0 ) a quilometragem no tempo
t 0 e f (t1 ) a quilometragem no tempo
t1 .
A velocidade média do carro é definida por:
f (t1 )  f (t0 )
vm 
t1  t0
A velocidade média para intervalos de tempos cada vez menores nos dá
a velocidade instantânea, isto é, a velocidade do carro no tempo t
qualquer.
Como definir a velocidade instantânea?
Para determinar a velocidade do carro no instante,
to, isto é, a velocidade instantânea, deve-se considerar
um intervalo de tempo cada vez menor, isto é, define-se
a velocidade instantânea por:
f (t1 )  f (t0 )
lim
t1t0
t1  t0
O que podemos observar geometricamente em
relação as velocidades média e instantânea?
Observa-se que geometricamente:
t
- a velocidade média vm de uma partícula entre o e t1
é representada geometricamente pela inclinação da reta
secante à curva que passa pelos pontos
e
Q(t1 , f (t1 )) , ou seja,
f (t1 )  f (t0 )
vm 
t1  t0
P(t 0 , f (t 0 ))
- a velocidade instantânea v i de uma partícula no
instante
t0
é representada geometricamente pela
inclinação da reta tangente à curva que passa pelo
ponto
P(t 0 , f (t 0 )) , ou seja,
f (t1 )  f (t0 )
vi  lim
t1 t0
t1  t0
Analisando a expressão que fornece a inclinação da
reta secante a uma curva e a que fornece a velocidade
média do carro, as duas são escritas do mesmo modo
portanto define-se a taxa de variação média da função f
em relação a x, no intervalo [ x0 , x1 ] , como sendo a
inclinação msec da reta secante ao gráfico de f passando
pelos pontos P( x0 , f ( x0 )) e Q( x1 , f ( x1 )) , isto é,
f ( x1 )  f ( x0 )
msec 
x1  x0
Do mesmo modo defini-se então a taxa de variação
instantânea da função f em relação a x, como sendo a
inclinação
mtg da
reta tangente ao gráfico da função f
passando pelo ponto
P( x0 , f ( x0 )) , isto é,
f ( x1 )  f ( x0 )
mtg  lim
x1 x0
,
x1  x0
ou indicando por
x  x1  x0 , tem-se que
f ( x  x)  f ( x)
m tg  lim
x 0
.
x
Para entender o que vem a ser a,
Interpretação Geométrica da Derivada
e sua definição.
Clique aqui
Questão 3:
É possível traçar a tangente ao gráfico da função em qualquer
ponto? Nos gráficos a seguir tem-se exemplos onde a tangente não
pode ser traçada no ponto x0.
(a)
(b)
Em (a) a função apresenta um “bico” em e em (b) a função apresenta um
ponto de descontinuidade.
E ambos os casos não conseguimos traçar a tangente à curva no ponto x0 .
Nesse caso não existe f’(x0) .
Questão 4:
É possível analisar o
comportamento de uma função por
meio da análise da reta tangente?
É possível descobrir se uma função
é crescente ou decrescente
analisando o comportamento da
reta tangente?
Vamos analisar o comportamento da função quadrática, representadas nas
figura acima, a parábola possui a concavidade voltada para baixo. A função é
crescente, no intervalo ( , c ) e a reta tangente possui coeficiente angular
positivo. No intervalo (c,  ) a função é decrescente e a reta tangente possui
coeficiente angular negativo.
De modo análogo na figura abaixo observa-se que ao tomar-se um
ponto à esquerda de c, isto é, para x < c, a reta tangente a f, possui
declividade negativa.
•Além disso, o coeficiente angular da
reta tangente ao gráfico de nos
pontos em que ocorrem máximos ou
mínimos é zero, ou seja, f´(x) = 0 .
•No ponto x = c , a função assume
seu valor mínimo nesse ponto, a reta
tangente é paralela ao eixo x e seu
coeficiente angular é zero.
•Para os pontos à direita c, isto é,
para x > c , a função é crescente, e a
declividade da reta tangente é
positiva.
•Assim, concluímos que a função
derivada assume valores positivos
(f´(x) > 0) nos intervalos para os
quais f é uma função crescente e
assume valores negativos (f ´(x) < 0)
nos intervalos para os quais f é uma
função decrescente
Questão 5:
Vamos analisar o comportamento da função por meio da análise da
reta tangente?
Primeiramente vamos determinar a função derivada:
f ( x  x)  f ( x)
x  x  x
( x  x  x ) ( x  x  x )
 lim
 lim
.

x 0
x 0
x 0
x
x
x
( x  x  x )
x  x  x
1
1
 lim
 lim

x 0 x ( x  x 
x ) x0 x  x  x 2 x
lim
O que podemos observar?
Observa-se que, a função derivada f´ não está definida para x = 0 .
Nos demais pontos x > 0, f´(x) existe e é positiva, e a reta tangente
tem inclinação positiva. O gráfico a seguir ilustra essa situação.
Nessa questão
a função raiz
quadrada
é
positiva em todo
o seu domínio e
a derivada ou a
inclinação da
reta tangente é
sempre
positiva..
Gráfico da função y  x
Para mais
informações
clique aqui
Vamos analisar outras situações. Nas figuras (a) e (b) a seguir são mostrados
os gráficos de funções que apresentam um ponto onde a curva muda a
concavidade.
Figura (a): Curva crescente
Podemos verificar na Figura (a) que
a curva é crescente e a concavidade
é voltada para baixo, para valores à
esquerda de c. No ponto de abscissa
x =c , ela muda sua concavidade, e
para valores à direita de c , isto é,
para x > c , a concavidade é voltada
para cima. Analisando a derivada de
f observa-se que a inclinação da
reta tangente é sempre positiva,
tanto para valores à esquerda como
para valores à direita de c anulandose no ponto .
Figura (b): Curva decrescente
•No gráfico da Figura (b) a curva é
decrescente com a concavidade voltada
para cima para valores à esquerda de c.
•No ponto de abscissa x = c , ela muda
sua concavidade voltando-se para baixo,
para valores à direita de c , isto é, para
x > c . A derivada neste caso não muda
de sinal ela é sempre negativa e anulase no ponto x = c .
•O ponto x = c, onde a curva muda sua
concavidade ora voltada para cima, ora
voltada para baixo dá-se o nome de
ponto de inflexão.
Das situações analisadas pode-se concluir que quando a derivada de uma
função é positiva, isto é, f´(x) > 0, então a função é crescente. E quando a
derivada é negativa, f´(x) < 0, então a função é decrescente.
Questão 6:
O gráfico abaixo representa a curva posição de uma partícula em
função do tempo, que move-se ao longo de uma linha reta.
Pergunta-se: Qual é a velocidade média no intervalo de tempo
0  t  3?
Solução:
clique aqui
Questão 7: Analise o gráfico abaixo ele representa a curva posição
de uma partícula em função do tempo, que move-se ao longo de uma
linha reta.
Pergunta-se: Em que instantes a partícula
rapidamente,no ponto t0 ou no ponto t2 ? Explique.
se
move
Solução: clique aqui
mais
Questão 8: Observem o
gráfico ao lado. Esse
gráfico apresenta pontos de
inflexão?
Apresenta
pontos
de
máximo ou de mínimo?
Em que intervalo a função é
crescente ou decrescente?
Essa
curva
apresenta
concavidade voltada para
cima ou para baixo?
Solução:
clique aqui
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS PARA A SESSÃO 1
Atividade 1
Vocês conseguem desenhar o gráfico o gráfico de uma função
que tenha um ponto de máximo local em e que seja possível
desenhar a reta tangente nesse ponto? E outro gráfico que não
seja possível traçar a reta tangente nesse ponto?
Solução:clique aqui
Atividade 2.
Vocês conseguem esboçar o gráfico de uma função f, contínua
no intervalo fechado [1,5] e que satisfaça a seguinte condição:
f não tem ponto de máximo e nem de mínimo local, mas x = 2 e
x = 4 são pontos críticos.
Solução: clique aqui
Atividade 3.
 1 
 ,7
Analisem o gráfico da função no intervalo  2  .


•A
função
apresenta
pontos de máximo?
• Apresenta
mínimo?
pontos
de
•Apresenta
inflexão?
pontos
de
•Quais
são
as
coordenadas
desses
pontos? Justifique suas
respostas.
Solução: clique aqui
QUESTÕES DESENVOLVIDAS NA SESSÃO 2
Questão 1: Consideremos a função identidade f(x) = x. O
gráfico dessa função é a reta y = x. Como é o traçado do gráfico
da função derivada?
Solução: O traçado do
gráfico da função f é
crescente para todo o valor
de x, logo a derivada é
positiva, f´(x) > 0 para todo o
x, ou seja, seu traçado está
acima do eixo x, e nesse
caso sua derivada é a função
constante, a reta y´ = 1.
Questão 2: Se a função é constante, isto é, f(x) = c. Como é o
traçado do gráfico de sua função derivada?
Solução: A função f
sendo uma constante, tem
por função derivada a reta
y´ = 0, localizada sobre o
eixo do x.
Questão 3: Qual é o gráfico da derivada da função quadrática
f(x) = x2 ?
Solução: Estuda-se os sinais de f e f´,
antes e depois de x = 0 e constatase que para x < 0, f é decrescente,
logo, f´(x) < 0, ou seja, o traçado de
seu gráfico está abaixo do eixo x para
valores de x < 0.
Para valores de x > 0, f é crescente,
logo f´(x) > 0, ou seja, o traçado de
seu gráfico está acima do eixo x para
valores de x > 0.
Em x = 0, f tem sua raiz, um ponto de
mínimo.
A função derivada de f(x) = x2, é a
reta y´ = 2x.
Gráfico da Derivada
Questão 4: Como será o gráfico de sua derivada da função f, cujo
gráfico está na figura abaixo ?
Gráfico da Derivada
Observe o comportamento do coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico da função:
Gráfico da Derivada
Variação do coeficiente angular da
reta tangente ao gráfico da função
Gráfico de f ’(x)
Estudo do
sinal da
função f
Gráfico da função f
Estudo do
sinal da
função f´
Gráfico da Derivada
Questão 5: Como será o gráfico da derivada da função f que possui
esse gráfico?
Gráfico da Derivada
Observe o comportamento do coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico da função:
Gráfico da Derivada
Variação do coeficiente angular da
reta tangente ao gráfico da função
Gráfico de f ’(x)
Estudo do
sinal da
função f
Gráfico da função f
Estudo do
sinal da
função f´
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS PARA A SESSÃO 2
Atividade 1: Qual dos gráficos da função derivada corresponde
ao gráfico da função?
Gráfico das funções:
y
a
(a)
x
Gráfico das derivadas:
(s)
(r)
Solução:
Clique aqui
y
b
(b)
y
c
(c)
x
x
(t)
y
f
Atividade 2: Analisem o gráfico
da função f ao lado.
x
Qual dos gráfico a seguir pode ser o gráfico da sua derivada?
y
a
y
y
b
c
x
x
x
Solução:Clique aqui
Atividade 3: Associe o gráfico de cada uma das funções abaixo
representadas nos itens de (a) a (d), com o gráfico de sua derivada
em I a IV. Justifique suas escolhas.
Solução:Clique aqui
Gráfico das funções:
(a)
(b)
Gráfico das derivadas:
(I)
(II)
(c)
(III)
(d)
(IV)
Atividade 4: Como será o traçado do gráfico da função f´ ,
conhecendo os gráficos da função f ? Suponha os eixos com a
mesma escala, esboce o gráfico de f’.
(a)
(b)
(c)
Solução:Clique aqui
(a)
(b)
(c)
QUESTÕES DESENVOLVIDAS NA SESSÃO 3
Questão 1. Se f´(x) = 1, é possível descobrir uma função que
dá origem a esta derivada?
O gráfico de f´ é mostrado ao
lado e trata-se de uma função
constante.
O gráfico da função associada a ela é o
da função identidade f(x) = x, obtida
pela análise do sinal da derivada, uma
vez que a mesma é positiva, f´(x) > 0,
pois está acima do eixo x, sendo f
crescente para valores de x < 0 e x > 0.
Questão 2: Se tivermos f´(x) = - 2 x , como podemos obter o
gráfico da função f ? Em que intervalos a função f será crescente? E
onde f será decrescente?
O gráfico de f’ é mostrado ao
lado e trata-se de uma função
linear.
O gráfico da função associada a função
derivada, é o gráfico da função quadrática
f(x) = - x2, obtido pela análise do sinal da
derivada, uma vez que a mesma é positiva
para x < 0, pois está acima do eixo x, sendo
f crescente nesse intervalo, passa por x = 0,
que é uma raiz de f´, logo em f será um
ponto de máximo. É negativa para valores
de x > 0, pois f´ está abaixo do eixo x, sendo
f decrescente nesse intervalo.
Questão 3: Se a função derivada for da forma f´(x) =x2 como obter
graficamente a função f ? Em que intervalo a derivada é positiva? E
negativa? Em que intervalos a função f é crescente? E onde f é
decrescente?
O gráfico de f’ é mostrado ao lado
trata-se de uma função quadrática.
O gráfico da função associada a derivada é o da
função de terceiro grau, f(x) = 1/3x3, obtido pela
análise do sinal da derivada, uma vez que a
mesma é positiva para x < 0, pois f´ está acima do
eixo x, sendo f crescente nesse intervalo e tem a
concavidade voltada para baixo, passa por x = 0,
que é uma raiz de f´, logo em f será um ponto de
inflexão. A derivada continua sendo positiva para
valores de x > 0, pois continua acima do eixo x. A
função f continua crescente nesse intervalo,
contudo com a concavidade voltada para cima.
Questão 4. Se tivermos apenas o gráfico da função derivada, sem
conhecermos sua lei, é possível traçar o gráfico da função?
A cada intervalo analisa-se os
sinais da derivada. Se seu
gráfico estiver traçado abaixo
do eixo x, então f´(x) < 0 e f é
decrescente nesse intervalo.
Se o seu traçado estiver acima
do eixo x, então f´(x) > 0 e f
é crescente nesse intervalo.
As
raízes de f´,
ou seja,
f´(x) = 0, serão serão os pontos
máximos e mínimos de f.
Questão 5. Se conhecermos algumas
coordenadas dos pontos do gráfico da
derivada f’, é possível traçar o gráfico da
função f ?
Temos os seguintes valores:
Ao tomar-se os pontos
dados, o gráfico de f´ fica
representado como ao
lado:
A cada intervalo analisa-se
os sinais da derivada. Se
f´(x) < 0, então f é
decrescente nesse intervalo.
Se f´(x) > 0, então f é
crescente nesse intervalo.
As raízes de f´, ou seja,
f´(x) = 0, serão serão os
pontos máximos e mínimos
de f.
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS PARA A SESSÃO 3
Atividade 1 Sendo dadas as coordenadas dos pontos do gráfico
da derivada f´, como será o traçado do gráfico da função f ?
Solução: Clique aqui
Atividade 2: É possível obtermos informações sobre o gráfico da
função f, analisando-se o gráfico da função derivada?
Tem-se o gráfico da função derivada.
a) Como podemos descobrir
quais os intervalos onde
a função é crescente ou
decrescente?
b) Quais são as abscissas
dos pontos de máximo,
de mínimo e de inflexão
da função f ?
c) Como ficará o esboço do
gráfico de f ?
Solução: Clique aqui
Atividade 3: Agora temos o gráfico de uma função derivada mais
elaborado. Analisando este gráfico é possível obter informações para
esboçar o gráfico da função que deu origem a esta derivada?
Para esboçar o gráfico da função f
vamos
respondendo
algumas
questões para obter informações.
a) Em que intervalos f é crescente?
Explique.
b) Em que valores de x a função f têm
um máximo ou um mínimo local?
Explique.
c) Em que intervalos f
tem
concavidade para cima e/ou para
baixo? Explique.
d) Quais são as coordenadas x dos
pontos de inflexão de f(x)?
Justifique.
Solução: Clique aqui
Referências
ANTON, H. Cálculo um novo horizonte. Tradução Cyro de Carvalho
Patarra e Márcia Tamanaha. 6 ed. v.1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo I. 5 ed. São Paulo: Pioneira Tomson Learning,
2006.
http://www.interaula.com/ap1au009_01m.html
http://www.interaula.com/matweb/gplana/214/ganalit.htm
www.pessoal.utfpr.edu.br/previero/CalculoI/derivada.pps
O problema da reta
tangente a uma curva num
ponto
O problema da tangente
Quais das duas retas é
tangente ao gráfico da curva
dada?
O problema da tangente
A reta em vermelho é
tangente ao gráfico da
função?
Mas essa reta toca o
gráfico da função em mais
de um ponto!
E agora?
O problema da tangente
Seja C uma circunferência e P um ponto, sendo P
pertencente a C. Você lembra como se define a reta
tangente a C no ponto P ?
- A tangente em P é uma reta que
P
passa por P, e é perpendicular ao
raio por esse mesmo ponto.
- A tangente em P é a reta que só
toca a circunferência neste ponto
O
- Podemos dizer que se trata da reta que passa por
P e toca a circunferência apenas neste ponto. Mas
também podemos afirmar que é a reta que passa
por P e é perpendicular ao raio OP, sendo O o
centro da circunferência.
O problema da tangente
Eis um desafio:
Definir a reta tangente a uma curva C no ponto P
pertencente a C, sendo C o gráfico de alguma função
contínua y = f (x) .
As idéias expostas para definir a tangente a uma
circunferência não podem ser aproveitadas. Se a curva
não é parte de uma circunferência, não faz sentido falar
em centro e raio.
O problema da tangente
Por outro lado, a reta
tangente a uma curva
qualquer C pode sim
interceptar a própria curva
em outro ponto. Veja a
figura:
Devido as dúvidas surgidas, devemos ter uma
definição mais precisa do conceito de reta
tangente ao gráfico da função num ponto dado.
Clique aqui para saber mais
Referências
http://www.interaula.com/ap1au009_01m.html
http://www.interaula.com/matweb/gplana/214/ganalit.htm
www.pessoal.utfpr.edu.br/previero/CalculoI/derivada.pps