Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Centro de Ciências e Exatas da Terra – CCET Departamento de Estatística – DEST Programa de Educação Tutorial - PET

Cálculo Diferencial e Integral Derivada

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Retas tangentes e função derivada Derivada de funções e regras de derivação Derivada de ordem superior Estudo da variação de funções Aplicações de máximos e mínimos

Retas tangentes e função derivada

• Reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, é aquela que contém o ponto e que “melhor aproxima” o gráfico de 𝑓 nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

y x

• Seja 𝑥 0 𝑦 = 𝑓(𝑥) + Δ𝑥 a função que está representada no gráfico, e sejam 𝑥 0 dois valores de seu domínio.

e y f(x0+e) f(x0) • • x0 x0+e x A razão incremental é dada por: Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓 𝑥+Δ𝑥 −𝑓(𝑥) Δ𝑥 Denomina-se função derivada o limite de Δ𝑦 Δ𝑥 indica-se por: quando Δ𝑥 tende a zero. E

𝑓′ 𝑥 = lim Δ𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 𝑓 𝑥+Δ𝑥 −𝑓(𝑥) Δ𝑥 • A função derivada 𝑓′(𝑥) nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente com o gráfico de 𝑓(𝑥) no ponto 𝑥 .

OBS: Como a derivada é um limite, então se o limite existir no ponto especificado, a função é contínua naquele ponto e consequentemente é derivável também, caso contrário a função não é derivável no ponto.

Exemplo 1:

Dada a função 𝑓 𝑥 = 3𝑥² , definida em 𝑅 , calcular a função derivada 𝑓 𝑥 .

Solução

𝑓 ′ (𝑥) = lim Δ𝑥→0 3 𝑥+Δ𝑥 ²−3𝑥² lim Δ𝑥→0 6𝑥 + Δ𝑥 = 6𝑥 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 3 𝑥²+2𝑥Δ𝑥+ Δ𝑥 Δ𝑥 2 −𝑥² = lim Δ𝑥→0 6𝑥Δ𝑥+(Δ𝑥)² Δ𝑥 =

Exemplo 2:

Qual é a equação da reta tangente à curva y = 𝑥² − 3𝑥 abscissa 4?

no seu ponto de

Solução

𝑥 0 = 4 ⇒ 𝑓 𝑥 0 = 4² − 3 ∙ 4 = 16 − 12 = 4 Então 𝑃(4,4) é o ponto de tangência 𝑓 ′ 𝑥 0 = 𝑓 ′ 4 = lim Δ𝑥→0 16+8Δ𝑥+ Δ𝑥 𝑓 4+Δ𝑥 −𝑓(4) 2 −3Δ𝑥−16 Δ𝑥 lim Δ𝑥→0 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 4+Δ𝑥 ²−3 4+Δ𝑥 −4 = lim Δ𝑥→0 5 + Δ𝑥 = 5, Δ𝑥 =

Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é 5 e sua equação é: 𝑦 − 4 = 5 𝑥 − 4 𝑦 = 5𝑥 − 16

Exercícios

Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 ponto 𝑥 0 .

no a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1, 𝑥 0 = 3 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥² − 2𝑥, 𝑥 0 = 1 c) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 0 = 0

Derivada de funções e regras de derivação

• • • Derivada de função constante: 𝑓 𝑥 = 𝑘; 𝑘 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 0 Derivada da função identidade: Derivada da função potência: 𝑓 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 ′ 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ 𝑥 = 1 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1 • • • • Exemplos: 1.

𝑓 𝑥 = 𝑥³ ⇒ 𝑓 ′ 2.

𝑓 𝑥 = 4𝑥² ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥² 𝑥 = 8𝑥 3.

𝑓 𝑥 = 𝑥 −5 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = −5𝑥 −6 Derivada da função seno: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = cos 𝑥 Derivada da função cosseno: 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 ⇒ −𝑠𝑒𝑛(𝑥) Derivada da função exponencial: 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1) ⇒ 𝑎 𝑥 ln(𝑎) Derivada da função logarítmica neperiana: 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 1 𝑥

Regras de derivação

• Derivada da soma: 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + ℎ 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔 ′ 𝑥 + ℎ′(𝑥)

Exemplos

1.

2.

3.

4.

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑓 ′ 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 3 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 1 + 0 = 1 𝑥 = 2𝑥 + 0 = 2𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥² − 𝑒 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Regras de derivação

• Derivada do produto: 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ∙ ℎ 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔 ′ 𝑥 ∙ ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙ ℎ′(𝑥)

Exemplos

1.

+ 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 1 3𝑥 2 + 1 𝑥 3 + 2𝑥 ⇒ 𝑓 ′ + 2 = 5𝑥 4 + 9𝑥² + 2 𝑥 = 2𝑥 𝑥 3 + 2𝑥 + 2.

3.

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑥² ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑥 = cos 𝑥² + 𝑒 𝑥 2𝑥 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥

Regras de derivação

• Derivada do quociente:

Exemplos

𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓 ′ ℎ(𝑥) 𝑥 = 𝑔 ′ 𝑥 ∙ ℎ 𝑥 − 𝑔(𝑥) ∙ ℎ′(𝑥) ℎ²(𝑥) 1.

2.

3.

𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑥² ⇒ 𝑓 𝑓 𝑥 = 𝑥²+1 𝑥+1 ′ ⇒ 𝑓 𝑥 = ′ 𝑒 𝑥 𝑥²−𝑒 𝑥 2𝑥 𝑥 4 = 𝑒 𝑥 (𝑥−2) 𝑥³ 2𝑥+1 𝑥+1 − 𝑥 2 +1 𝑥 = (𝑥+1)² 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑎 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ = 𝑥²+2𝑥−1 (𝑥+1)² 𝑥 = cos 𝑥 𝑎 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑎 𝑥 ln(𝑎) 𝑎 2𝑥 = cos 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 ln(𝑎) 𝑎 𝑥

Regras de derivação

• Regra da cadeia: (𝑓ᴏ𝑔)′(𝑥) = 𝑔 ′ 𝑥 𝑓′(𝑔 𝑥 )

Exemplos

• 1.

• 2.

• 3.

𝑓 𝑥 = cos 2𝑥 .

Fazendo 𝑔 𝑥 = 2𝑥 , então 𝑓′(𝑥) = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 Fazendo 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , então 𝑓 ′ 𝑥 = cos(𝑥)3𝑠𝑒𝑛 2 𝑓 𝑥 = 𝑒 7𝑥²−2𝑥 Fazendo 𝑔 𝑥 = 7𝑥² − 2𝑥 , então 𝑓 ′ 𝑥 𝑥 = (14𝑥 − 2)𝑒 7𝑥 2 −2𝑥 • 4.

𝑓 𝑥 = 6𝑥² + 𝑥 − 9 Fazendo 𝑔 𝑥 = 6𝑥² + 𝑥 − 9 , então 𝑓 ′ 𝑥 = (12𝑥 + 1) 1 2 (6𝑥 2 + 𝑥 −

Exercícios

1.

Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções 𝑎) 𝑓 𝑥 = 3 + 5𝑥² + 𝑥 4 𝑏) 𝑓 𝑥 = 3 + 2𝑥 𝑛 + 𝑥 2 𝑛 1 𝑐) 𝑓 𝑥 = 5 𝑥 + 𝑥 𝑑) 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 4𝑥³ 𝑒) 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 + cos(𝑥) 𝑓) 𝑓 𝑥 = 𝑥²+3𝑥+1 + 𝑥−2 𝑥²𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑔) 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 ℎ) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) 𝑥+2 𝑥+1 𝑖) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(7𝑥) 𝑥 𝑗) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛³(3𝑥) 𝑘) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 7 𝑥 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑥) 𝑙) 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 2 + 5𝑥 𝑚) 𝑓 𝑥 = ln(10𝑥²)

2.

Calcule a derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒 𝑥 ponto 𝑥 0 = 0 .

cos 𝑥 + 𝑥 3 3 no 3.

Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 𝑓 𝑥 = no ponto de abscissa -2.

2

Derivada de ordem superior

• Suponha que 𝑓 é uma função derivável no intervalo I. Se a função chamada de derivada primeira de 𝑓 ’(x), 𝑓(𝑥) , é derivável no mesmo intervalo, então existe a função derivada de chamada de derivada segunda de 𝑓′(𝑥) , indica como 𝑓(𝑥) . Diz-se então que 𝑓′′(𝑥) 𝑓(𝑥) que é é duas vezes derivável.

• Seguindo esse procedimento sucessivamente e, supondo que 𝑓(𝑥) é n vezes derivável, obtém-se a função derivada enésima, ou derivada de ordem n, de 𝑓 𝑛 (𝑥) 𝑓(𝑥) indicada como 𝑓 , são as derivadas sucessivas de 𝑛 (𝑥) 𝑓 𝑥 . As funções .

𝑓 ′ 𝑥 , 𝑓 ′′ 𝑥 , … ,

Estudo da variações de funções

Extremos de uma função: Máximos e mínimos

• Diz-se que a função 𝑓(𝑥) admite um máximo em um ponto 𝑥 = 𝑥 0 , se o valor da função em 𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 ) , é maior que aqueles valores da função em todos os pontos de uma vizinhança de 𝑥 0 .

• Diz-se que a função 𝑓(𝑥) admite um mínimo em um ponto 𝑥 = 𝑥 0 , se o valor da função em 𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 ) , é menor que aqueles valores da função em todos os pontos de uma vizinhança de 𝑥 0 .

OBS: Não confundir máximo/ mínimo com o maior/menor valor da função num intervalo.

X 1 + D X X 1 + D X X 1 + D X x 1 X 1 + D X • Se a função 𝑓(𝑥) , derivável no intervalo [𝑎, 𝑏] , tem um máximo ou um mínimo no ponto seja, 𝑓′ 𝑥 0 = 0 𝑥 = 𝑥 0 , então a derivada de . Se 𝑓 ′ 𝑥 0 então existe um máximo em > 0 𝑥 0 para e se 𝑓 ′ 𝑥 < 𝑥 𝑥 0 0 < 0 𝑓 𝑥 e 𝑓 ′ para é nula em 𝑥 0 < 0 𝑥 < 𝑥 0 e 𝑥 = 𝑥 para 𝑓 ′ 𝑥 0 0 , ou 𝑥 > 𝑥 0 > 0 para 𝑥 > 𝑥 0 então existe um mínimo em 𝑥 0 . Outro modo de verificar se um ponto é de máximo ou de mínimo é fazendo o cálculo de derivadas sucessivas, se 𝑓 ′′ 𝑥 0 > 0 então existe um mínimo em 𝑥 0 e se 𝑓 ′′ 𝑥 0 < 0 então existe um ponto de máximo em 𝑥 0 .

MÁXIMO f´(x 1 )=0 X D 1 X + x 1 X D 1 X + 1 X X 2 3 X 4 X MÍNIMO X 1 + D X x 1 X 1 + D X f´(x 1 )=0 MÁXIMOS E MÍNIMOS

Crescimento e decrescimento de uma função

• • Uma função é crescente num ponto se 𝑓 ′ 𝑥 > 0 .

Uma função é decrescente num ponto se 𝑓 ′ 𝑥 < 0 .

Concavidade

Seja 𝑓 uma função contínua no intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] e derivável no ponto 𝑥 0 𝑥 0 ∈ ]𝑎, 𝑏[ . Dizemos que o gráfico de se, e somente se, existirem uma vizinhança 𝑓 𝑉 tem concavidade positiva em de 𝑥 0 tal que, para 𝑥 ∈ 𝑉 ,os pontos do gráfico de 𝑓 estão acima da reta tangente à curva no ponto 𝑥 0 .

Analogamente, se existe uma vizinhança os pontos do gráfico de 𝑓 𝑉 de 𝑥 0 tal que, para 𝑥 ∈ 𝑉 estão abaixo da reta tangente à curva no ponto 𝑥 0 , , dizemos que o gráfico de 𝑓 tem concavidade negativa.

y concavidade positiva concavidade negativa y x x • Se 𝑓 é uma função derivável até segunda ordem no intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] , 𝑥 0 é interno a [𝑎, 𝑏] e 𝑓′′(𝑥 0 ) ≠ 0 , então: a) Quando 𝑓 ′′ b) Quando 𝑓 ′′ 𝑥 0 𝑥 0 > 0 , o gráfico de 𝑓 tem concavidade positiva em 𝑥 0 ; < 0 , o gráfico de 𝑓 tem concavidade negativa em 𝑥 0 .

Ponto de Inflexão

• Seja 𝑓 uma função contínua no intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] e derivável no ponto 𝑥 0 ∈ ]𝑎, 𝑏[ . Dizemos que 𝑃 0 (𝑥 0 , 𝑓(𝑥 0 )) de 𝑓 é um ponto de inflexão do gráfico se, e somente se, existe uma vizinhança 𝑉 de 𝑥 0 tal que nos pontos do gráfico de 𝑓 para 𝑥 ∈ 𝑉 e 𝑥 < 𝑥 0 a concavidade tem sempre o mesmo sinal, que é contrário ao sinal da concavidade nos pontos do gráfico para 𝑥 > 𝑥 0 .

y x

• Seja 𝑓 𝑥 0 uma função com derivadas, até terceira ordem em 𝐼 =]𝑎, 𝑏[ . Seja ∈ ]𝑎, 𝑏[ . Se 𝑓 ′′ 𝑥 = 0 e 𝑓′′′(𝑥) ≠ 0 , então 𝑥 0 é abscissa de um ponto de inflexão.

Variação das funções

• a) Para caracterizar como varia uma função 𝑓 , procuramos determinar: O domínio; b) A paridade c) Os pontos de descontinuidade d) As interseções do gráfico com os eixos 𝑥 e 𝑦 ; e) O comportamento no infinito; f) O crescimento ou decréscimo; g) Os extremantes; h) Os pontos de inflexão e a concavidade; i) O gráfico

Exemplo

1.

Estudar a variação da função 𝑓 𝑥 = 𝑥³ + 𝑥² − 5𝑥 .

a) Seu domínio é 𝑅 b) A função não é par nem ímpar, pois: 𝑓 −𝑥 = −𝑥 3 + −𝑥 não é idêntica a 𝑓(𝑥) 2 − 5 −𝑥 = −𝑥 nem a −𝑓(𝑥) .

3 + 𝑥 2 + 5 −𝑥 = −𝑥 3 + 𝑥 2 + 5𝑥 c) A função polinomial 𝑓 é contínua em 𝑅 .

d) Fazendo 𝑓 𝑥 = 0 , temos 𝑥³ + 𝑥² − 5𝑥 = 0 , isto é, 𝑥 = 0 ou 𝑥 = −1− 21 2 −1+ 21 ou 𝑥 = 2

As interseções com os eixos são os pontos 0,0 ; −1− 21 , 0 ; 2 −1+ 21 , 0 2 e) lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→+∞ 𝑥³ = +∞ lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→−∞ 𝑥³ = −∞ f) 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥² + 2𝑥 − 5 = 3 𝑥 − 1 𝑥 + 5 3 𝑥 ≤ 5 3 ou 𝑥 ≥ 1 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑓 crescente − 5 3 ≤ 𝑥 ≤ 1 ⇒ 𝑓′(𝑥) ≤ 0 ⇒ 𝑓 decresente

g) 𝑓 ′ 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 ou 𝑥 = − 5 3 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥 + 2 ⇒ 𝑓 ′′ 𝑓 ′′ − 1 = 8 > 0 5 3 = −8 < 0 Então 𝑓 tem um mínimo em 𝑥 = 1 e um máximo em 𝑥 = − 5 3 .

h) 𝑥 < − 1 3 𝑥 > − 1 3 ⇒ 𝑓 ′′ ⇒ 𝑓 ′′ 𝑥 < 0 ⇒ concavidade negativa 𝑥 > 0 ⇒ concavidade positiva Como o sinal da concavidade muda em 𝑥 = − 1 3 , o gráfico tem um ponto de inflexão em − 1 3 .

i) Gráfico de 𝑓 .

y −1− 21 2 − 5 3 − 1 3 1 x −1+ 21 2

Exercícios

Nos exercícios a seguir, determine o domínio, a paridade, os pontos de descontinuidade, as interseções do gráfico com os eixos, o comportamento no infinito, o crescimento ou decrescimento, os extremantes, a concavidade, os pontos de inflexão e o gráfico de 𝑓 .

1.

2.

3.

4.

5.

𝑥−1 𝑓 𝑥 = 2𝑥−5 𝑓 𝑥 = 2𝑥³ − 6𝑥 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)²(𝑥 + 2)³ 𝑓 𝑥 = 3𝑥 4 + 4𝑥³ + 6𝑥² − 4 9𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥²+9

Aplicações de máximos e mínimos

Exemplo

1.

Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de papelão para produzir caixas de volume V.

Solução

O que estamos interessados em fazer é minimizar a quantidade de papel utilizado que é dado pela lei encontrar 𝑙, 𝑐 𝑒 ℎ 𝑃 = 2𝑙ℎ + 2𝑐ℎ + 2𝑙𝑐 de modo que 𝑃 , onde 𝑙 , 𝑐 e ℎ é a largura, comprimento e a altura, respectivamente, da caixa. Para isso, precisamos seja mínimo. Para facilitar os cálculos escreveremos 𝑐 e ℎ variável independente.

em função de 𝑙 para trabalharmos apenas com uma

Sabemos que o volume é dado por 𝑐 = 3𝑙 𝑉 = 𝑙 ∙ 𝑐 ∙ ℎ conforme o problema nos informa, então: e o comprimento é dado por 𝑉 𝑉 = 𝑙 ∙ 𝑐 ∙ ℎ ⇒ ℎ = 𝑙𝑐 𝑉 = 𝑙∙3𝑙 𝑉 = 3𝑙² Dessa forma conseguimos escrever escrever P em função apenas de 𝑐 e ℎ em função de 𝑙 , lembrando que 𝑉 𝑙 , agora podemos é uma constante dada.

𝑉 𝑃 = 2𝑙ℎ + 2𝑐ℎ + 2𝑙𝑐 = 2𝑙 3𝑙² 𝑉 + 2 ∙ 3𝑙 3𝑙 2 + 2𝑙 ∙ 3𝑙 = 2𝑉 + 3𝑙 2𝑉 + 6𝑙 2 𝑙 Para encontrarmos o valor de 𝑙 que minimiza 𝑃 devemos derivar 𝑃 em relação a 𝑙 e igualar a zero e depois verificar se a segunda derivada é maior que zero no ponto encontrado que satisfaz a equação 𝑃 ′ = 0 .

𝑃 ′ 2𝑉 = − 3𝑙 2 − 2𝑉 𝑙 2 + 12𝑙 = 0 ⇒ −2𝑉−6𝑉+36𝑙 3 3𝑙 2 = 0 ⇒ −2𝑉 + 9𝑙 3 = 0 ⇒ 𝑙 3 = 2𝑉 9 𝑙 = 3 2𝑉 = 9 3 6𝑉 = 27 3 6𝑉 3 𝑃 ′′ = 4𝑉 3𝑙³ + 4𝑉 + 12 > 0 𝑙³ Como verificamos que 𝑃′′ é sempre maior que zero, então o valor de 𝑙 encontrado é aquele que de fato minimiza 𝑃 , sendo assim o valor de 𝑐 que minimiza P é dado por: e ℎ 𝑐 = 3𝑙 = 3 3 6𝑉 3 = 3 6𝑉 𝑉𝑙 ℎ = 3𝑙³ = 𝑉 3 6𝑉 3 3 2𝑉 9 = 3 6𝑉 2

Exercícios

1.

Calcule o raio da base e a altura do cone de máximo volume que se pode inscrever numa esfera de raio 𝑅 .

2.

Determine as dimensões do cone da área total mínima que pode circunscrever uma esfera de raio R.

3.

Ache o ponto 𝑃 0 situado sobre a hipérbole de equação mais próximo da origem.

𝑥𝑦 = 1 e que está