Transcript fisica derivada - FÍSICA PARA POUCOS
COLÉGIO FAMÍLIA STELLA GRUPO DE ESTUDOS AVANÇADOS - GEA A APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NOS PROBLEMAS DE FÍSICA CLÁSSICA PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada Noções de Função
Definição: se uma variável de tal forma que cada valor de um valor de y y depende de outra variável , então dizemos que x y determina exatamente é uma função de x .
x , Exemplo
y
x
2
Saída y Entrada x função PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
x y
y
x
2 0 1 4 -1 -2 0 1 2 1 4
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Noções de Função e Derivada
EXEMPLOS:
y
cos
x ou y
(
x
) cos
x x
x o
v o t
1 2
at
2
ou x
(
t
)
x o
v o t
1 2
at
2
E
(
r
) 4 1 0
q
1
q
2
r
2
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Noções de Função e Derivada
Seja a posição tempo t x de um móvel em MRUV em função do dada pela equação
x
(
t
) 5 10
t
2
t
2 Então, a posição do móvel no instante t = 1,0 s é
x
( 1 , 0 ) 5 10 ( 1 , 0 ) 2 ( 1 , 0 ) 2
x
( 1 , 0 ) 5 10 , 0 2 , 0
x
( 10 ) 13
m
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Noções de Função e Derivada
Função Linear:
y y 1 y 0 a (x 0 ,y 0 )
x 1 -x 0 x 0 (x 1 ,y 0 ) y 1 -y 0 tg
m
y
1
x
1
y x
0 0
x 1 x
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Noções de Função e Derivada
y
1
y
0
m
(
x
1
x
0 )
y
1
y
0
m
(
x
1
x
0 )
y
a
mx
com a = y 0 – mx 0
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Noções de Função e Derivada
y y
a
mx a x
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Noções de Função e Derivada
NOCÕES DE DERIVADA Origens do Cálculo -KEPLER, GALILEU, SIMON STEVIN, PIÈRRE DE FERMAT, RENÉ DESCARTES, BLAISE PASCAL ....
Isaac Newton (1642 – 1727) Gottfried Wilhelm Leibnz (1646 – 1716) CRIADOR DO CÁLCULO
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Noções
de Função e Derivada
O “PROBLEMA DOS MATEMÁTICOS” Como traçar a reta tangente a uma curva dada num determinado ponto das curva?
P
tangente Circunferência
raio
1 – A tangente em P é uma reta que passa por P, perpendicularmente ao raio por esse mesmo ponto.
2 – A tangente em P é a reta que só toca a circunferência neste ponto
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Noções de Função e Derivada OUTRAS CURVAS: PROBLEMAS!
P Qual o raio?
P Tangente?
P Tangente. Mas toca duas vezes a reta
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Noções de Função e Derivada
y Definindo a tangente em P: secante y = f(x) f(x+
x) Q f(x+
x)-f(x) P f(x) x
x x+
x x Logo, a secante m sec é dada por m
sec
f
(
x
x
x
)
f
(
x
)
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Noções de Função e Derivada
y f(x+
x) f(x+
x)-f(x) Definindo a tangente em P: Q 1 Q secante y = f(x) P f(x) x
x x+
x x
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Noções de Função e Derivada
y = f(x) Definindo a tangente em P: y Q f(x+
x) f(x) secante Q 1 f(x+
x) - f(x) P x
x Q 2 x+
x x
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Noções de Função e Derivada
A tangente m tang é definida por m
tan
g
lim
x
0
f
(
x
x
)
x
f
(
x
)
secante Q f(x+
x) tangente em P P f(x) x x+
x
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Noções de Função e Derivada
“PROBLEMA DOS FÍSICOS”: Como calcular a velocidade instantânea?
Seja tempo t.
x(t) a posição de uma partícula em função do x(t) x(t) t
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Noções de Função e Derivada
x(t) x(t 0 +
t) Q x(t)
x v m
x
t
x
(
t
t
)
t
x
(
t
)
P x(t 0 )
t t 0 t 0 +
t x(t 0 ) = posição da partícula no instante t 0 x(t 0 +
t) = posição da partícula no instante t 0 t
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Noções de Função e Derivada
Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t?
Paradoxo do Zenão de Eléia
x(t) Q x(t 0 +
t)
x P x(t 0 )
t t 0 t t 0 +
t v
(
t
) lim
t
0
x
(
t
t
)
t
x
(
t
)
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Noções de Função e Derivada
DEFINIÇÃO DE DERIVADA A derivada de uma função f é a função f´ tal que o seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por
f
´
df dx
t
lim 0
x
(
t
t
)
t x
(
t
) se este limite existir
Uma função derivável em um ponto pode ser não-derivável em outro!!!!
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Noções de Função e Derivada
Duas Interpretações: 1- A derivada f´ de uma função é uma função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x.
2 – A derivada f´ é uma função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y com relação a x no ponto x.
: Exemplos
v
(
t
)
dx dt I
(
t
)
dQ dt
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Noções de Função e Derivada
x(t) v
(
t
)
d dt
[
x
(
t
)]
v(t 1 )= 0 v(t 1 ) v(t 0 )
0 v(t 0 ) v(t 2 ) v(t 2 )
0 t 0 t 2 t t 1
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Noções de Função e Derivada
Exemplo usando a definição: calcule a derivada da função
f(x) = 3+x 2 f
´ lim
x
0
f
(
x
x
)
x f
(
x
)
f
(
x
x
) 3 (
x
x
) 2
x
3
x
2
x
2
x
2
x
x f
´ lim
x
0 [
x
2
x
2
x
x
] lim
x
0 [
x
2
x
] 2
x f
´
df dx
d dx
[
f
(
x
)]
d dx
[ 3
x
2 ] 2
x
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Noções de Função e Derivada
ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra da Constante:
para qualquer constante c
y d dx
(
c
) 0
c y = c Inclinação = 0
Regra da Potência: para qualquer número real n
x d dx
(
x n
)
nx n
1
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Noções de Função e Derivada
Regra da Multiplicação por uma constante e f(x) é uma função derivável no ponto x, cf(x) também é uma função derivável e Constante:se c é uma Exemplo: seja
d dx
[
cf
(
x
)]
cf
(
x
)
f
(
x
)
cx
2
d
(
cx
2 ) 2
cx dx
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Noções de Função e Derivada
Regra da Soma: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, a soma s(x) = f(x) + g(x) também é derivável.
d dx
[
f
(
x
)
g
(
x
)]
d dx
[
f
(
x
)]
d dx
[
g
(
x
)] Exemplo: seja a função
x
(
t
) 10 4
t
5
t
2
f(x) = 10 g(x) = 4t h(x) = -5t 2 d dx
( 10 4
t
5
t
2 ) 0 4 10
t
4 10
t
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Noções de Função e Derivada
Regra da Produto: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, o produto P(x) = f(x) . g(x) também é derivável .
(
f
.
g
)´
fg
´
g
.
f
´
d dx
[
f
(
x
).
g
(
x
)]
f
(
x
).
dg dx
g
(
x
).
df dx
Exemplo: seja a função
P
(
x
)
x
2 ( 3
x
1 )
f(x) = x 2 g(x) =3x+1 P
´(
x
) (
x
2 ).( 3 ) ( 3
x
1 ).( 2
x
) 9
x
2 2
x
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Noções de Função e Derivada
Regra da Quociente: deriváveis no ponto x, o quociente P(x) = f(x) / g(x) também é derivável.
se f(x) e g(x) são duas funções (
f g
)´
g
.
f
´
g
2
fg
´
com
0
d dx
f g
( (
x
)
x
)
g
(
x
).
df
f dx g
2 (
x
) (
x
).
dg dx
Exemplo: seja a função
y
(
x
2 2
x
21 ) /(
x
3 )
Q
´(
x
) (
x
3 ).( 2
x
2 ) (
x
2 (
x
3 ) 2 2
x
21 .( 1 )]
x
2 6
x
15 (
x
3 ) 2
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Noções de Função e Derivada
Regra da Cadeia: derivável em g(x), então a função composta f o g será derivável em x, e se g(x) for derivável em x e a função f for (
f
g
)`(
x
)
f
´(
g
(
x
)).
g
´(
x
) Exemplos: a) Seja a função
dx u
x
2 1
dy
dy du
y
du dx x
2 1
y
u
(
u
) 1 2
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Noções de Função e Derivada
dy du
1 2 (
u
) 1 2 1 2 (
x
2 1 ) 1 2 2 1
x
2 1
dy dx
2
du dx
2
x
1
x
2 1 ( 2
x
)
x
2
x
1
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Noções de Função e Derivada
b) Seja a função geral do tipo
y
f
(
x
)
n u
f
(
x
)
e y
u n dy du
nu n
1
du
dx f
´(
x
)
dy dx
dy du du dx
nu n
1
f
´(
x
)
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