Transcript Ejercicios.- Curvas cónicas
CONSTRUCIONES GEOMETRICAS CÓNICAS
Construcciones elementales
Ejercicio Nº 1.-
Elementos de la elipse 1º La
circunferencia principal Cp
de la elipse es la que tiene por centro el de la elipse y radio
a
. Se define como el lugar geometrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes Las
circunferencias focales Cf y Cf'
de la elipse tienen por centro uno de los focos y radio
2a
Es decir si desde un foco trazamos perpendiculares a la
Cp
se dibujan las tangentes a la elipse.
En el otro lado el punto
T
es simetrico del foco
F
respecto a la tangente
t
, si unimos
T
con
F'
determinamos el punto
M
punto de tangente de la elipse y la recta
t
'
Ejercicio Nº2.- Hallar los focos de una elipse conociendo los ejes AB =70 y CD=55.
1.- Trazamos el eje mayor
AB =70 mm
, por ejemplo
2.-Trazamos la mediatriz del eje
AB
, que resulta ser el eje menor.
3. Con centro en la intersección de los ejes trazamos una de circunferencia de radio 27,5 que nos determina los extremos del eje menor
CD
.
4.- Con centro en un extremo del eje menor ( en C o en D) trazamos un arco de radio a=35 mm que nos determina los puntos F y F’ que son los focos de la elipse.
Ejercicio Nº 3.-Construcción de una elipse por puntos, de ejes AB=70 mm y el eje menor CD= 50mm.
1.- Trazamos la mediatriz del eje
AB
.
2.- Con centro en los puntos
C
y
D O
trazamos una circunferencia de diámetro
50
mm, que nos determina extremos del eje menor.
3.- Con centro en
C
trazamos un arco de circunferencia de radio a=
35 mm
, que nos determinan los focos de la elipse
F
y
F’
.
4.- Tomamos un punto
1
del eje mayor situado entre
F’
y
O
.
5.- Con centro en los focos trazamos una circunferencia de radio
1B
= 16 mm.
6.- Con centro en los focos trazamos un arco de radio
1A
, que corta a los anteriores en los punto
P P’
y
Q – Q’
, que son puntos de la elipse.( los arcos se hace centro uno en un foco y el otro en el otro foco)
7.- Tomamos otros puntos
2
y
3
Y obtenemos otros puntos.
… los que sean necesario y repetimos el mismo procedimiento.
8.- Unimos los puntos y obtenemos la elipse.
Ejercicio Nº 4. Trazado de la elipse por puntos mediante, la circunferencia principal y la de diámetro 2b. Dados los ejes
A C O D B
1.-Se trazan las circunferencias de diámetro
2a
y
2b
respectivamente.
A C O D B
2.-Se traza un radio cualquiera que corta en
T'
y
T''
a las circunferencias anteriores. Se traza por
T'
una paralela al eje
CD
y por
T''
la paralela a
AB
ambas se cortan en
T
que es un punto de la elipse.
A C T'' T' T D O B
3.- Se repite la operación el numero de veces que se considere necesario y se determinar tantos puntos como de precise.
A C T'' T' T O D B
Ejercicio Nº 5.- Construcción de la elipse por el método de los 12 puntos. Conociendo los ejes. AB y CD.
Vemos el dibujo de la circunferencia, el punto
M AB
). Unimos
E
con
B
es la mitad del radio de la circunferencia (cuarta parte del lado y el otro extremo del diámetro con
M
las rectas se cortan en el punto
P
un punto de la circunferencia. Podemos unir el diámetro vertical de la misma manera.
A E D O M P B N C O
1.- Vamos utilizar el mismo procedimiento de la circunferencia para la elipse. Se traza el rectángulo de lados igual a los ejes.
A E D M O P B N C A B E D O C
2.- Se dividen los lados en cuatro partes iguales el lado
AB BC
el punto
N
el punto
M
es la cuarta parte y el lado es también la cuarta parte, se procede igual en las otras mitades de los lados.
A M B P E O D N C M A B E D O N C
3.- Se une
M
punto
P
con el extremo del eje mayor punto
3
y el otro extremo
E
con el punto
B
punto de la elipse se repite la operación y tenemos cuatro puntos.
y nos da el M A B P E O D N C A M P B E D O 3 N C
4.- Se une
N
con el extremo del eje menor punto
6
punto
C
y nos da el punto
4,
punto de la elipse.
y el otro extremo punto
12
con el M A B P E O D N C A 12 M P B E O D 3 4 N C 6
5.-Se repite la operación en la parte izquierda de la elipse y tenemos otros cuatro puntos.
6.- Con los otros cuatro puntos que faltan y los extremos de los ejes tenemos los doce puntos que unimos y tenemos dibujada la elipse.
A B P E O D N C A 10 11 12 M P 1 2 B E 9 D 8 7 6 O 3 5 4 N C
Ejercicio Nº5.- Trazado de las asíntotas de la hipérbola Conocidos los vértices A y B y los focos F y F‘.
1 º METODO OF
=
OF’
1.- Por
A
y
B
trazamos la perpendicular al eje
AB
y con centro en trazamos un circulo que corta a la perpendicular en los puntos
1
y
2 O
y radio que unido con
O
nos da las asíntotas buscadas.
2 º METODO
tangencia con
O
2.- Por tenemos las
F’
trazamos las tangentes a la asíntotas.
hipérbola uniendo los puntos de
3 º METODO
circunferencia de pasan las 3.- Hallamos el punto medio de diámetro
OF
que corta a la
Cp OF
y trazamos con centro en este punto una en los puntos 3 y 4 que son los puntos por donde asíntotas.
Ejercicio Nº 6.- Construcción de la hipérbola por puntos. Conocidos a=20 y b=15 mm.
Calculamos la distancia focal c
1. Sobre el eje real marcamos los focos F y F’ y el eje real A-B.
2. Sobre el eje real a partir de F o F’ en este caso a partir de F tomamos unos puntos cualesquiera 1, 2, 3,…
3.- Tomamos la medida circunferencia de radio
1B
=
1B 11
=(11) y con centro en mm.
F
trazamos un arco de
4.- Tomamos la medida
1A
=
51 1A
=(51) y con centro en mm. Que corta al otro circulo en los puntos
F’ M
trazamos un arco de circunferencia de radio y
P
que son dos puntos de la hipérbola.
5.- Se repite el procedimiento pero a la inversa y hallamos los puntos
M
y
Q
.
6.- Se repite en procedimiento para los puntos 2, 3, hipérbola hasta que consideremos suficientes.
… y se obtienen otros puntos de la
7.- Unimos los puntos y tenemos la hipérbola por puntos.
Ejercicio Nº 7.- Construcción de una hipérbola por haces proyectivos dados el ejes AB=30 mm y la distancia focal FF'= 40 mm.
1.- Se determina un punto cualquiera
P
de la curva, por el método de los puntos.
2.- Se traza un rectángulo
BMPN
.
3.- Se dividen en partes iguales los segmentos
MP
y
NP
y se unen el extremo
B
del eje mayor dado y con el otro extremo
A
de la forma que vemos, los puntos de intersección son puntos de la hipérbola.
4.- Se unen los puntos y tenemos la parte de la hipérbola.
5.- Por la parte inferior se puede repetir los mismo ó se llevan sobre la prolongación de
NP
simétricos de
1
,
2
,
3
,
4
y se unen con el punto
B
de la forma que como se ve en la Fig..
los
6. Por la parte izquierda se vuelve repetir el mismo procedimiento y tenemos la hipérbola.
Ejercicio Nº 8.- Construcción de una hipérbola por envolventes dados los focos y los vértices A y B.
1.- Se traza la
Cp
de centro
O
y radio
a
=
OA
=
OB
.
2.- Se trazan las asíntotas, por
A
levantamos una perpendicular al eje
AB
, trazamos un arco de centro
O
y radio la asíntota
t’
y
t OF
, las asíntotas son simétricas
AM
=
AN M
y
N
por el que pasa
3.- Unimos M y N con O y tenemos las asíntotas
t’
y
t.
(vemos la posición de
a
,
b
y
c
).
4.- Tomamos un punto cualquiera
1
perpendicular a
1F
de la
Cp
que unimos con el foco
F
por
1
, esta recta es la tangente a la hipérbola.
y trazamos la
5.- Tomamos otra serie de puntos cualesquiera como se representa en la Fig. y repetimos el procedimiento anterior y tenemos las tangentes a la hipérbola, dibujando la hipérbola a continuación.
6.- Repetimos el procedimiento en la parte inferior.
5.- Se repite el procedimiento en la parte izquierda y tenemos las tangentes a la dibujando la hipérbola a continuación.
hipérbola,
Ejercicio Nº 9.- Elementos de la parábola.
Elementos de la parábola.
Elementos de la parábola.
Elementos de la parábola.
Elementos de la parábola. Distancia FV = AV
Elementos de la parábola.
Elementos de la parábola.
Ejercicio Nº10.- Construcción de la parábola por puntos. Conocidos el eje, el foco y la directriz.
1.- Hallamos el vértice y la tangente en el vértice. Trazando la mediatriz del foco punto
A
.
F
a la directriz
2.- Por un punto cualquiera del eje
1
trazamos una perpendicular al eje, hallamos la distancia a la directriz y con esta distancia de radio y centro en perpendicular en los puntos
P
y
P1 F
trazamos una circunferencia que corta a la , que son puntos de la parábola.
3.- Vemos que la distancia del punto
P
al foco
F
.
P
a la directriz
d
es la misma que la distancia del punto
4.- Repetimos el procedimiento las veces que sean necesarias para trazar la parábola.
5.- Unimos los puntos y obtenemos la Parábola.
Ejercicio Nº 11.- Trazar una parábola por envolventes. Tenemos una parábola definida por el eje, el vértice V y el foco F.
V F eje
1.- Se traza la directriz
d
focal de la parábola
Cf.
sabiendo que
FV
=
AV
y que la directriz es la circunferencia d A V F eje
2.- Se traza la tangente
t v
en el vértice
V
, que sabemos que es perpendicular al eje y es así mismo la circunferencia principal
Cp
.
d t v A V F eje
3.- Situamos un punto
T
perpendicular por
T
.
en la tangente ,unimos este punto con el foco
F
y trazamos una d t v T A V F eje
4.- Situamos otros puntos, en la tangente, unimos estos puntos con el foco perpendicular por la intersección con la tangente.
F
y trazamos una
5.- Situamos otros puntos, en la tangente, unimos estos puntos con el foco de la misma manera.
F
y procedemos
5.- Repetimos la operación por la parte inferior y trazamos la parábola que es la tangente a las perpendiculares.
Ejercicio Nº 12.- Trazar una parábola dados el eje, el vértice y un punto de la curva.
P eje V
1.- Trazamos la tangente en el vértice
VN
y la paralela
PN
al eje.
N P V eje
2.- Se divide
PN
y
VN
en un numero de partes iguales.
3.- Por las partes de
VN
se trazan paralelas al eje y por las divisiones de
NP
se unen con
V
.
4.- La paralela por
7
y el rayo
7V
se cortan en
R
que resulta ser un punto de la parábola. De la misma forma se obtienen los demás puntos
5.- La otra rama se determina de la misma forma, por ser la parábola simétrica respecto al eje.
6.- Unimos los puntos y tenemos la parábola.