Transcript Disini - Denny Agustiawan

Denny Agustiawan
@STMIK ASIA
2012
+
Mudah dalam pengerjaan
Metode substitusi
Permasalahan sederhana
Maks. 2 variabel (X, Y)
Informasi sedikit
Dibentuk Kurva Kartesius
Memiliki Fungsi Tujuan
Memiliki Fungsi Batasan
Memiliki Area Visible
Contoh 1.
 PT Dimensi adalah Sebuah perusahaan furniture produsen meja dan kursi
yang harus diproses melalui perakitan dan Pengecatan. Proses perakitan
memiliki batas pengerjaan selama 60 jam dalam sekali proses, dan proses
Pengecatan memiliki batas pengerjaan selama 48 jam. Untuk menghasilkan
suatu meja dibutuhkan masing – masing 4 jam proses perakitan dan 2 jam
proses Pengecatan, sedangkan satu kursi membutuhkan masing – masing 2
jam proses perakitan dan 4 jam proses Pengecatan. Laba untuk setiap meja
sebesar $8 dan tiap kursi $6. Perusahaan ingin menentukan kombinasi terbaik
dari jumlah meja dan kursi yang diproduksi sehingga menghasilkan laba
maksimal.
 Langkah – langkah Penyelesaian :
1. Merumuskan permasalahan kedalam model matematis
a) Fungsi Tujuan
b) Fungsi – fungsi yang menjadi batasan/kendala
2. Menggambarkan semua model yang terbentuk
3. Menentukan area yang menjadi solusi (feasible)
4. Mencarii koordinat yang optimal dari fungsi tujuan
5. Terakhir memasukkan nilai koordinat yang optimal kedalam fungsi tujuan
Informasi Produksi PT Dimensi
Waktu kerja(jam) Total jam
Meja
Kursi
tersedia
Perakitan
4
2
60
Pemolesan
2
4
48
Laba/unit
$8
$6
Titik O(0,0)  : Z = 8(0) + 6(0) = 0
Titik A(15,0)  : Z = 8(15) + 6(0) = 120
Titik B(12,6)  : Z = 8(12) + 6(6) = 132
Titik C(0,12)  : Z = 8(0) + 6(12) = 72
Latihan Soal :
Sebuah toko yang menjual keperluan pertanian menyediakan dua merek pupuk
kimia yaitu super dan top. Setiap jenis mengandung campuran bahan nitrogen
dan fosfat dalam jumlah tertentu.
Penjualan pupuk
Jenis
kandungan bahan
Harga
N(kg/sak) P(kg/sak) (Kg/sak)
Super
2
4
$6
Top
4
3
$3
Seorang petani sering membutuhkan paling sedikit 16Kg nitrogen dan 24Kg
fosfat untuk lahan pertaniannya. Petani tersebut ingin mengetahui berapa sak
masing-masing jenis pupuk harus dibeli agar total harga pupuk menjadi
minimal dan kebutuhan pupuk untuk lahannya terpenuhi.
Selesaikan dengan metode Grafik.
•Tentukan daerah feasible dari permasalahan berikut :
Fungsi tujuan : maks Z = 400x1 +200X2
Fungsi batasan :
x1 + x2 = 30
2x1 + 8x2 ≥ 80
x1 ≤ 20
x1,x2 ≥0
•Tentukan daerah feasible dari permasalahan berikut :
x1 + x2 ≤ 4
4x1 + 3x2 ≤ 12
-x1 + x2 ≥ 1
x1 + x2 ≤ 6
x1, x2 ≥ 0
manakah yang termasuk batasan redundan?
Reduksi system batasan sehingga menjadi fungsi yang lebih sederhana.
Sebuah industry keramik membuat dua buah jenis produk unggulan yaitu jenis A dan jenis
B. untuk menghasilkan satu buah jenis A diperlukan waktu pengerjaan 1 jam, dan bahan
baku 4 kg, sedangkan jenis B membutuhkan 2 jam dan bahan baku 3 kg. waktu dan bahan
baku yang tersedia masing-masing 40 jam dan 120 Kg. keuntungan untuk tiap unit A dan B
masing masing adalah $40 dan $50.
1. Tentukan model program linier untuk persoalan diatas.
2. Tentukan solusinya dengan menggunkan metode grafik.
variabel Tujuan
dasar
s1
0
s2
0
…
…
…
…
sm
0
Zj
Cj
k
q
Bentuk Tabel Dasar
C1
C2
…
Cn
x1
x2
…
xn
b1
a11 a12
b2
a21 a22
…
…
…
…
…
…
bm am1 am2
0
0
0
Cj-Zj C1
C2
…
…
…
…
…
…
…
a1n
a2n
…
…
amn
0
Cn
0
s1
0
s2
…
…
0
sm
1
0
…
…
0
0
0
0
1
…
…
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
0
0
…
…
1
0
0
Contoh pada Kasus PT Dimensi
Formulasi dan standarisasi model program linier dalam bentuk model simplek.
Maks Z = 8x1 + 6x2 + 0s1 + 0s2
Batasan-batasan :
4x1 + 2x2 + 1.s1 + 0.s2 = 60
2x1 + 4x2 + 0.s1 + 1.s2 = 48
X1,x2,s1,s2 ≥ 0.
Susunan Tabel Simpleks Sebagai berikut :
Cj
k
variabel dasar Tujuan q
s1
0
60
s2
0
48
Zj
0
Cj-Zj
8
x1
6
x2
0
s1
0
s2
4
2
0
8
2
4
0
6
1
0
0
0
0
1
0
0
NB:
Variabel dasar (s1, s2
atau yang lain harus
selalu
positif bila negatif maka
yang masuk variabel
dasar
adalah selain s yang
Cj
k
variabel dasar Tujuan q
s1
0
60
s2
0
48
Zj
0
Cj-Zj
8
x1
6
x2
0
s1
0
s2
4
2
0
8
2
4
0
6
1
0
0
0
0
1
0
0
Langkah – langkah penyelesaian :
1. Menetukan kolom kunci.
Untuk maksimalisasi cari nilai (cj – Zj) yang positif dan terbesar
sedang untuk minimasi kebalikannya.
Sehingga diperoleh kolom x1 sebagai kolom kunci dimana nilai
(cj – Zj) = 8
2. Menentukan baris kunci.
Kriteria baris kunci adalah baris yang memiliki nilai rasio
kuantitasnya adalah positif terkecil. Dari tabel diatas s1
merupakan
baris kunci karena memiliki nilai rasio paling kecil
yaitu 15.
3. Transformasi baris – baris variable.
Dari langkah 3 dan 4 diperoleh hasil bahwa nilai kunci adalah 4.
4. Transformasi baris s1
Karena yang terpilih adalah baris s1 maka variable dasar s1
digantikan dengan variabel x1, sedangkan nilai-nilai baris
tersebut di bagi dengan nilai kuncinya (4).
Sedangkan selain baris kunci dilakukan transformasi dengan
cara :
Baris baru selain baris kunci = baris lama – (rasio kunci x baris
kunci lama)
v. dasar Tujuan
s1
0
s2
0
Zj
Iterasi 1
Cj
k
q
60
48
0
Cj-Zj
Cj
k
v.dasar Tujuan q
x1
8
15
s2
0
18
Zj
120
Cj-Zj
8 x 15 = 120
C1
x1
C2
x2
0
s1
0
s2
Rasio
4
2
0
8
2
4
0
6
1
0
0
0
0
1
0
0
60/4=15
48/2=24
8
x1
6
x2
0
s1
0
s2
1
0
8
0
1/2
3
4
2
1/4
-1/3
2
-2
0
1
0
0
8x1=8
8 x 1/2 = 4
Rasio
baru
15:1/2=30
18/3=6
Semua dibagi dengan 4
[48 2 4 0 1]
[60 4 2 1 0] x (2/4) [18 0 3 . . .]
8 x 1/4 = 2
Iterasi 2
Cj
k
v. dasar Tujuan q
x1
8
12
x2
6
6
Zj
132
Cj-Zj
8
x1
6
x2
0
s1
0
s2
1
0
8
0
0
1
6
0
1/3
-1/6
5/3
-5/3
-1/6
1/3
2/3
-2/3
Rasio
baru
Hasil adalah sebagai berikut :
1. Pada baris x1 diperoleh jumlah produksi sebesar 12 buah meja
2. Pada baris x2 diperoleh jumlah produksi sebesar 8 buah kursi
3. Hasil ini sama dengan hasil dari metode Grafik.
Sebuah industry keramik membuat 2 jenis produk unggulan, jenis A dan B.
untuk
menghasilkan satu buah jenis A diperlukan waktu pengerjaan 1 jam dan bahan
baku
4 kg, sedangkan jenis B membutuhkan 2 jam dan bahan baku 3 kg. waktu dan
bahan
baku yang tersedia masing-masing 40 jam dan 120 kg. Keuntungan tiap unit A
dan B
Penyimpangan – penyimpangan dari bentuk standard :
Minimumkan Z = - 3X1 + X2 + X3
dengan batas :
X1 - 2X2 + X3 ≤ 11
- 4X1 + X2 + 2X3 ≥ 3
2X1 X3 = -1
X1 , X2 , X3 ≥ 0
Bentuk model Simpleks big M :
Minimumkan Z = - 3X1 + X2 + X3 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Batasan :
X1 - 2X2 + X3 + S1
= 11
-4X1 + X2 + 2X3 - S2 + A1
= 3
-2X1 +
X3
+ A2 = 1
V.D
s1
A1
A2
T
0
0
0
Zj
V.D
s1
A1
x3
T
0
0
1
Zj
V.D
s1
x2
x3
T
0
1
1
Zj
V.D
x1
x2
x3
T
-3
1
1
Zj
Cj
k
q
11
3
1
4M
Cj-Zj
Cj
k
q
10
1
1
1+M
Cj
k
q
12
1
1
2
Cj
k
q
4
1
9
-2
-3
x1
1
x2
1
x3
0
s1
0
s2
M
A1
M
A2
1
-4
-2
3-6M
-2
1
0
-1+M
1
2
1
-1+3M
1
0
0
0
0
-1
0
-M
0
1
0
0
0
0
1
0
-3
x1
1
x2
1
0
s1
0
M
M
s2
3
0
-2
1
-3
x1
-2
1
0
-1+M
1
x2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
s1
0
-1
0
-M
0
0
1
0
0
M
-1
-2
1
1-3M
M
s2
*
1/1=1
*
3
0
-2
1
-3
x1
0
1
0
0
1
x2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
s1
-2
-1
0
1
0
2
1
0
1-M
M
-5
-2
1
1-M
M
s2
12/3=4
*
*
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1/3
0
2/3
-1/3
-2/3
-1
-4/3
-1/3
2/3
1
4/3
(1/3)-M
-5/3
-2
-7/3
(2/3)-M
Rasio
,11/1=11
3/2=1,5
1/1=1
Persoalan Primal
Persoalan Dual
Fungsi Tujuan :
Fungsi Tujuan :
Maks Z = 8x1 + 6y2
Min yo = 60y1 + 48 y2
Batasan :
Batasan :
4x1 + 2x2 ≤ 60
4y1 + 2 y2 ≥ 8
2x1 + 4x2 ≤ 48
2y1 + 4y2 ≥ 6
Pada dasarnya perubahan perubahan yang mungkin terjadi setelah
tercapainya penyelesaian optimal terdiri dari beberapa sebab yakni :
1. Keterbatasan kapasitas sumber. (nilai kanan fungsi batasan)
2. Koefisien fungsi tujuan. (perubahan nilai keutungan perunit)
3. Koefisien fungsi batasan. (perubahan komposisi produksi)
4. Penambahan variabel baru. (muncul produk baru)
5. Penambahan batasan baru.(muncul kendala baru dalam memproduksi
akibat perubahan ekonomi)