PENYIMPANGAN - PENYIMPANGAN BENTUK STANDAR ( METODE SIMPLEX )

• Masalah-masalah dalam linear programming dengan metode simplex tidak selalu dapat diformulasikan menjadi bentuk standar.

• Berikut adalah cara-cara mengatasi penyimpangan penyimpangan dari bentuk standar agar bisa diselesaikan dengan metode simplex.

1. Fungsi batasan dengan tanda sama dengan (=) Cara: menambahkan variabel buatan ( artificial variable )    Contoh Fungsi batasan: 2X1 3X2 6X1 + 5X2 ≤ 8 ≤ 15 = 30 => 2X1 +X3 => 3X2 +X4 => 6X1 + 5X2 + X5 = 8 = 15 = 30 Karena adanya variabel buatan (X5), maka fungsi tujuan harus disesuaikan dengan menambahkan bilangan M sehingga fungsi tujuan baru menjadi: Z = 3X1 + 5X2 => Z – 3X1 – 5X2 + MX5 = 0

M adalah koefisien dari fungsi tujuan besar (big M). Variabel

artificial artificial

yang bernilai nilainya nanti adalah 0 (dari hasil akhir yang akan dikeluarkan tabel simplex) Nilai setiap variabel dasar (X 5 ) harus sebesar 0, dengan cara mengalikan M dengan baris batasan yang bersangkutan (3).

[ -3 -M [ 6 -5 5 0 0 (-6M-3) (-5M-5) 0 0 0 0 M , 1 , 0 0 ] 30 ] (+) -30M

Tabel Simplex 1 Variabel Dasar Z X 3 X 4 X 5 X 1 -6M-3 2 0 6 X 2 -5M-5 0 3 5 X 3 0 1 0 0 X 4 0 0 1 0 X 5 0 0 0 1 NK -30M 8 15 30 Index 4 ~ 5

Tabel Simplex 2 Variabel Dasar Z X 1 X 4 X 5 X 1 0 1 0 0 X 2 -5M-5 0 3 5 X 3 3M+3/2 ½ 0 -3 X 4 0 0 1 0 X 5 0 0 0 1 NK -6M+12 4 15 6 Index ~ 5 6/5

Tabel Simplex 3 Variabel Dasar Z Z 1 X 1 X 4 X 2 0 0 0 X 1 0 1 0 0 X 2 0 0 0 1 X 3 -3/2 ½ 9/5 -3/5 X 4 0 0 1 0 X 5 NK Index M+1 0 -3/5 1/5 18 4 6/5 8 11 2/5 6 1/3 -2

Tabel Simplex 4 Variabel Dasar Z Z 1 X 1 X 3 X 2 0 0 0 Diperoleh hasil : X1 = 5/6 X2 = 5 Zmax = 27 ½ X 1 0 1 0 0 X 2 0 0 0 1 X 3 0 0 1 0 X 4 5/6 -5/18 5/9 1/3 X 5 NK M+1/2 1/6 -1/3 0 27 1/2 5/6 6 1/3 5

2. Fungsi tujuan : Minimisasi Cara: Soal minimisasi harus diubah menjadi maksimisasi dengan cara mengganti tanda positif dan negatif pada fungsi tujuan.

Contoh: Minimumkan Z = 3X 1 + 5X 2 Fungsi batasan: 1) 2X 1 2) 3) 6X 1 3X 2 + 5X 2 = 8 ≤ ≥ 15 30

Penyelesaian: Fungsi batasan: 1) 2X 1 + X 3 2) 3) 6X 1 3X 2 + 5X 2 + X 4 -X 5 + X 6 = 8 = 15 = 30 Fungsi tujuan menjadi: maksimumkan (-Z) = -3X 1 – 5X 2 diubah menjadi fungsi implisit => -Z + 3X 1 + 5X 2 + MX 3 + MX 6 –MX 3 – MX 6 = 0

Nilai – nilai variabel dasar (X 3 [ 3 5 M dan X 0 6 0 ) harus = 0, maka: M , 0 ] -M [ 2 -M [ 6 0 5 (-8M+3) (-5M+5) 1 0 0 0 0 0 0 -1 M 0 , 1 , 0 , 8 ] 30 ] -38M (+)

Tabel Simplex 1 Variabel Dasar Z X 1 -8M+3 X 2 -5M+5 X 3 X 4 X 6 2 0 6 0 3 5 X 3 0 1 0 0 X 4 0 0 1 0 X 5 M 0 0 -1 X 6 0 0 0 1 NK -38M 8 15 30 Index 4 ~ 5

Tabel Simplex 2 Variabel Dasar Z X 3 X 4 X 6 X 1 0 1 0 0 X 2 X 3 -5M+5 0 4M-3/2 ½ 3 0 5 -3 X 4 0 0 1 0 X 5 M 0 0 -1 X 6 0 0 0 1 NK -6M-12 4 15 6 Index ~ 5 6/5

Tabel Simplex 3 Variabel Dasar X 1 Z 0 X 2 0 X 3 X 4 X 6 1 0 0 0 1 1 X 3 M+3/2 ½ 9/5 -3/5 (karena –Z= -18, maka Z=18) Penyelesaian optimal: X1 = 4 X2 = 6/5 Zmin = 18 X 4 0 0 1 0 X 5 X 6 NK 1 M+1 0 0 3/5 -3/5 -1/5 1/5 -18 4 11 2/5 6/5