Transcript Pemrograman Kuadratik

Pemrograman Kuadratik
Eni Sumarminingsih, Ssi, MM
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
1
Pemrograman Kuadratik
Derajat (degree) dari 𝑥1𝑘1 𝑥2𝑘2 … 𝑥𝑛𝑘𝑛 adalah
k1 + k2 + … + kn .
Maka derajat dari 𝑥12 𝑥2 adalah
3
Derajat dari x1x2 adalah
2
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
2
Pemrograman kuadratik adalah NLP yang
memiliki kendala linier dan fungsi objective
yang merupakan penjumlahan term dengan
bentuk 𝑥1𝑘1 𝑥2𝑘2 … 𝑥𝑛𝑘𝑛 (dengan setiap term
memiliki derajat 2, 1, atau 0)
Salah satu metode yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan masalah Pemrograman
Kuadratik adalah Metode Wolfe
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
3
Metode Wolfe
Metode Wolfe akan dijelaskan dengan
contoh berikut:
Min z = −𝑥1 − 𝑥2 +
1
2
𝑥12 + 𝑥22 − 𝑥1 𝑥2
s.t 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 3
2𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 6 𝑎𝑡𝑎𝑢 − 2𝑥1 − 3𝑥2 ≤ −6
𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
Gunakan syarat Kuhn –Tucker dan
tambahkan kendala awalnya
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
4
Penyelesaian
𝑥1 − 1 − 𝑥2 + 1 − 22 − 𝜇1 = 0
2𝑥2 − 1 − 𝑥1 + 1 − 32 − 𝜇2 = 0
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 3
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑒2 = 6
Semua variable nonnegative
1 𝑠1 = 0 2 𝑒2 = 0 𝜇1 𝑥1 = 0 𝜇2 𝑥2 = 0
Empat persamaan terakhir adalah kondisi
complementary of slacness pada pemrograman
kuadratik
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
5
Untuk menemukan titik yang memenuhi
semua syarat K-T (kecuali kondisi
complementary of slackness), metode wolfe
mengaplikasikan modifikasi Phase I pada
metode simpleks dua phase
Pertama kita tambahkan artificial variable
pada setiap kendala pada syarat K-T yang
tidak memiliki basic variable
Kemudian kita minimumkan jumlah dari
artificial variable tersebut
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
6
Untuk memastikan bahwa solusi optimal yang
didapat nantinya memenuhi kondisi
complementary of slackness maka metode
wolfe melakukan modisikasi metode simpleks
dalam hal pemilihan variabel yang akan masuk
sebagai basic variabel, yaitu:
1. Jangan melakukan pivot yang akan membuat
i dan xi keduanya menjadi basic variabel
2. Jangan melakukan pivot yang akan membuat
si (atau ei) dan I keduanya menjadi basic
variabel
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
7
Untuk menyelesaikan masalah dalam contoh
kita harus menyelesaikan LP berikut:
Min 𝑤 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎4
𝑥1 − 𝑥2 + 1 − 22 − 𝜇1 + 𝑎1 =1
2𝑥2 − 𝑥1 + 1 − 32 − 𝜇2 + 𝑎2 =1
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 3
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑒2 + 𝑎4 = 6
Semua variabel nonnegative
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
8
Min 𝑤 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎4
𝑥1 − 𝑥2 + 1 − 22 − 𝜇1 + 𝑎1 =1
2𝑥2 − 𝑥1 + 1 − 32 − 𝜇2 + 𝑎2 =1
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 3
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑒2 + 𝑎4 = 6
Semua variabel nonnegative
w x1 x2 L1
MU MU
L2 1 2 s1
e2
a1
a2
rasi
a4 rhs o
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
0
0
1
-1
1
-2
-1
0
0
0
1
0
0
1
0
-1
2
1
-3
0
-1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
3
0
2
3
0
0
0
0
0
-1
0
0
1
6
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
9
w x1 x2 L1
MU MU
L2 1 2 s1
e2
a1
a2
rasi
a4 rhs o
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
0
0
1
-1
1
-2
-1
0
0
0
1
0
0
1
0
-1
2
1
-3
0
-1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
3
0
2
3
0
0
0
0
0
-1
0
0
1
6
Agar a1, a2 dan a4 dapat menjadi basic variabel maka koefisien variabel tersebut
pada baris nol harus sama dengan nol dengan cara dilakukan OBE
Baris nol baru = baris nol lama + baris 1 + baris2 + baris 4
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
10
w
x1 x2
L1
MU
L2 MU1 2
1
2
4
2
-5
-1
-1
0
-1
0
0
0
0
0
1
-1
1
-2
-1
0
0
0
1
0
0
1
0
-1
2
1
-3
0
-1
0
0
0
1
0
1
0.50
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
3
3
0
2
3
0
0
0
0
0
-1
0
0
1
6
2
s1
e2
a1
a2
a4
rhs rasio
BV : a1 = 1; a2=1 ; s1 = 3 ; a4 =6
X2 masuk sebagai basic variabel menggantikan a2
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
11
w x1 x2
L1
MU
L2 MU1 2
1
0
1
s1
e2
a1
a2
a4
0
-1
0
-2
0
6
1.5 -3.5 -1 -0.5
0
0
1
0.5
0
1.5
0 -0.5 1
0.5 -1.5
0
-0.5
0
0
0
0.5
0
0.5
0 1.5
0
-0.5 1.5
0
0.5
1
0
0
-0.5
0
2.5 1.67
0 3.5
0
-1.5 4.5
0
1.5
0
-1
0
-1.5
1
4.5 1.29
4
0 0.5
0
0
-1
1
rhs rasio
3
Basic Variabel : a1 =1.5; x2 = 0.5; s1 = 2.5; a4 = 4.5
X1 masuk sebagai basic variabel menggantikan a4
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
12
w
x1
x2
L1
L2 MU1 MU2
s1
e2
a1
1
0
0
1.71 -4.14 -1
0
0
0
-0.7
0
0.143
0
-0.29 -1.14 0.86
0 1.714 -4.14 -1
-0.7
0
0.143
1
0.714 -0.14 0.86
0
1 0.286 -0.86
0
-0.3
0
-0.14
0
0.286 0.14 1.14
0
0
0 0.143 -0.43
0
-0.1
1
0.429
0
0.143 -0.43 0.57 1.333
0
1
0
0
0.43
0
-0.29
0
-0.43 0.286 1.29
-0.43 1.286
a2
a4
rhs rasio
6
Basic Variabel : a1 =0.86 x2 = 1.14; s1=0.57; x1 = 1.29
L1 masuk sebagai basic variabel namun karena s1 menjadi basic
variabel maka L1 tidak boleh menjadi basic variabel sehingga yang
masuk menjadi basic variabel adalah e2 menggantikan s1
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
13
L1
MU
L2 MU1 2
w
x1
x2
1
0
0 1.667 -4
0
0
0
e2
a1
a2
a4
rhs rasio
-1 -0.7 -0.33
0
0
-0.33
-1
0.67
0 1.667 -4
-1 -0.7 -0.33
0
1
0.67
0
0.67 0.402
0
1 0.333 -1
0
-0.3 0.33
0
0
0.33
0
1.33 3.99
0
0
0 0.333 -1
0
-0.3 2.333
1
0
0.33
-1
1.33 3.99
0
1
0 -0.33
0
0.33 0.67
0
0
-0.33
0
1.67
1
s1
Basic Variabel : a1 =0.67 x2 = 1.33; e2=1.33; x1 = 1.67
L1 masuk sebagai basic variabel menggantikan a1
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
14
w
x1
x2
L1
L2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
MU1 MU2 s1
0
0
e2
a1
a2
a4
rhs
0
0
0
-1
-1
-1
0
1
-2.4 -0.6 -0.4
-0.2
0
0.6
0.4
0
0.4
1
0
-0.2
0.2 -0.2
0.4
0
-0.2
0.2
0
1.2
0
0
0
-0.2
0.2 -0.2
2.4
1
-0.2
0.2
-1
1.2
1
0
0
0.2 -0.2 0.2
0.6
0
0.2
-0.2
0
1.8
Karena pada baris nol semua koefisien tidak ada yang positif maka tabel sudah
optimal.
Basic Variabel L1 = 0.4; x2 = 1.2; e2 = 1.2; x1 = 1.8
Eni Sumarminingsih, SSi, MM
15