Transcript Document
•
Пусть – функция, и независимой переменной из - два значения ; тогда разность называется ) в точке х 0 (или и обозначается
х . Таким образом, Откуда следует, что
•
Вследствие этого приращения значение функции изменится на величину:
х Эта разность называется в точке , соответствующим приращению
х , и обозначается
, т. е.
, Откуда
•
Пример Найдите приращение
х если f(x) = х 2 , x 0 и
f в точке = 2 и а) х=1,9 ; б) х=2,1 x 0 ,
•
а)
х= х- x 0 =1,9 - 2= - 0,1
f = f(х) – f (x 0 ) = f(1,9) – f (2) = 1,9 2 -2 2 = -0,39
•
б)
х= х- x 0 =2,1 - 2= 0,1
f = f(х) – f (x 0 ) = f(2,1) – f (2) = 2,1 2 -2 2 = 0,41
Задание №1
• •
Найдите приращение функции f а) f(х) точке х 0 , если: = 2х 2 – 3 , х 0 = 3,
х = - 0,2; в
•
б) f(х) = 3х + 1 , х 0 = 5,
х = 0,01;
•
в) f(х) = х 2 /2, х 0 = 2,
х = 0,1.
•
Непрерывность функции
Функция f(х) называется непрерывной в точке х 0 , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при х
х 0 равен значению функции в этой точке.
•
Функция , непрерывная в каждой точке заданного промежутка, называется непрерывной на всём промежутке .
•
Являются ли непрерывными в каждой из точек х 1 ,х 2 ,х 3 функции, графики которых изображены на рисунках?
Рассмотрим график функции y=f(x) геометрический смысл приращений
х и и
f Прямую l функции f , проходящую через любые две точки графика , называют секущей к графику f . Угловой коэффициент k
х и
f : секущей выражается через приращения
•
Выразим через приращения среднюю скорость движения за промежуток времени [t 0 ;t 0 +
t]: Выражение: называется средней скоростью изменения функции на промежутке с концами х 0 и х 0 +
х
Производная
•
Производной функции f в точке х 0 называется число, к которому стремится разностное отношение при
х , стремящемся к нулю.
• •
Функцию, имеющую производную в точке х 0 , называют дифференцируемой в этой точке.
Нахождение производной функции f называют дифференцированием .
Примеры: 1. х’=1; 2. С’=0; 3. (х 2 )’=2х; (х n )’=nх n-1 4. (х 3 )’=3х 2 ; 5.
6.
Производная
Правила вычисления производных 1. Производная суммы равна сумме производных:
(f+g)'=f'+g'
2. Производная произведения:
(f·g)
'
=f
'
g+fg
'
Правила вычисления производных 3. Производная частного: 4. Производная степенной функции:
Задание №2
Найдите производную функции f в точке х 0 , если: а) f(х)=х 3 , при х 0 = 2; -1,5; б) f(х)=4-2х, при х 0 = 0,5; -3; в) f(х)=3х-2, при х 0 г) f(х)=х 2 , при х 0 = 5; -2; = 2,5; -1.
Вар.48(5)
Найдите значение производной функции
•
Вар.8(5) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S= 5t-0,5t 2 (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 с после начала движения.
Вар.79(5) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S= 12t-3t2(м), где t время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится ?
•
Вар.86(5) Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S= 0,5t 2 +3t +2 (м), где t - время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15 м/с ?
•
Вар.4(4) Найдите угловой коэффициент касательной , проведённой к графику функции f(х)=3х 3 +2х-5 в его точке с абсциссой х=2.
•
Вар.31(5) Дана функция f(х)=5+4х-3х 2 . Найдите координаты которой угловой коэффициент касательной к нему равен -5 .
точки её графика, в Вар.23(5) f(х)=1/3х 3 +5х 2 -1. Найдите координаты точек абсцисс.
её графика, в которых касательные к нему параллельны оси
•
Найдите производную функции :
1.
2.
3.
4.
Вар. 4.162 Найдите значение производной функции в точке х 0 =-2.
Задание
Найдите значение производной функции в точке х 0 = -3 1) 7 2) -5 3) 1 4) 13
Задание
Найдите значение производной функции в точке х 0 = -1 1) -9 2) -8 3) 0 4) 10
Задание
Найдите значение производной функции в точке х 0 = -2 1) 1 2) -4 3) 7 4) -7
Производные тригонометрических функций
•
Вар.54(5) Найдите производную функции f(х)=2х 2 +sin x .
•
Вар.5 (4) f(х)=2х 2 Найдите производную функции + tg x .
•
Вар.39(5) Найдите значение производной функции f(х)= tg х-2sin x при х= ∏ / 4 .
•
Вар.52(5) Найдите значение производной функции f(х)= 4sin x – сos x при х= ∏ / 4 .
•
Вар.23(5) Найдите угловой коэффициент касательной , проведённой к графику функции f(х)= 4 cos x +3 в его точке с абсциссой х= ∏ / 3 .
•
Вар.62 (5) К функции проведены касательные в точках с абсциссами х 1 = ∏ / 2 и х 2 y=2sin x + 3cos x = 3∏ / 2 . Являются ли эти касательные параллельными прямыми?
•
Вар.4.157 Найдите значение производной функции y= sin (4x ∏ / 6 ) в точке х 0 = ∏ / 12 .
Задание
Решите уравнение f’(x)=0, если :
Формула производной сложной функции
•
Если h(x) = g(f(x)), то h’(x 0 ) = g’(f(x 0 ))·f’(x 0 ) Вычислите: 1. y= (3-5х+х 2 ) 50 2. h( x)= cos 3x 3. h(x) = sin(2x ∏ / 4 ) 4.
Задание
Найдите производную функции f:
Задание
Найдите значение производной функции y=sin(3x+7)-cos(3 π+7) в точке х 0 =0 1) 3cos 7 3) 3cos 1+3sin 7 2) 3cos 7-3sin 7 4) 3sin 7 Найдите значение производной функции y=sin(5x+2)+cos(5x +2) в точке х 0 =-1 1) cos 3-sin 3 3) cos 3+sin 3 2) 5cos 3-5sin 3 4) 5cos 3+5sin 3
Задание
Найдите значение производной функции y=x·sin(2x+1) в точке х 0 =-1 1) -2 cos 1-sin 1 3) -2cos 1+sin 1 2) 2cos 1-sin 1 4) -2cos 1 Вар. 4.160 Найдите значение производной функции в точке х 0 =0 .
Задание
Найдите производную каждой из функций:
Задание
Решите неравенства f’(x) >0, если :