Transcript Презентация

Исследовательская
работа по математике
на тему:
«Производная и ее
применение»
Работу выполнила
Ученица 10 «А» класса
МКОУСОШ №6
г.Ипатово
Солопова Елена
Руководитель: Шевченко Л.А
2012 год
Содержание
1. Введение
2. Понятие производной
3. Физический смысл производной
4. Механический смысл производной
5. Геометрический смысл производной
6. Основные формулы дифференцирования
7. Правила дифференциации
8. Производная элементарных функций
9. Производная частных функций
10. Непрерывность
11. Максимумы и минимумы
12. Исследование функции с помощью производной
13. Практическая часть
14. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения
функции
15. Производная в химии
16. Производная в физике
17. Производная в биологии
18. Производная в географии
19. Заключение
20. Список литературы
Введение
На первых уроках алгебры при изучении темы числовые функции я заметила,что
наиболее трудным этапом при построении графиков и исследовании функции
является поиск и нахождение промежутков монотонности и точек экстремума.
Учитель отметил, что в конце учебного года при изучении темы «производная»
мы познакомимся с методами решения этих задач, основанными на применении
методов математического анализа. Посоветовавшись с учителем я решила
работать именно над этой темой.
Она интересна в изучении. С помощью производной можно довольно точно, а
главное просто строить графики, решать задачи и уравнения(примеры которых
будут приведены позднее), исследовать функции.
Понятие производной возникло как результат многовековых усилий,направленных
на решение таких задач,как задача о проведении касательной к кривой,о
вычислении скорости неравномерного движения.Подобными задачами
занимались математики с давних времен.В XVII веке в работах Ньютона и
Лейбница эта деятельность получила определенное теоретическое
завершение.Ньютон и Лейбниц создали общие методы дифференцирования и
интегрирования функции и доказали важную теорему,носящую их
имя,устанавливающую тесную связь между данными операциями.Однако надо
иметь в виду,что современное изложение этих вопросов существенно отличается
от того,как они излагались во времена Ньютона и Лейбница.
Современный математический анализ базируется на понятии предела.Большая
заслуга в этом принадлежит французскому математику О.Л.Коши
Цели и задачи
1. Изучить теоретический материал по теме производная и ее
применение
2. Научиться составлять математические модели к задачам
различного характера
3. Научиться решать задачи по теме «производная» в ЕГЭ
Понятие производной
f=(x0+ x) – f(x0)
Определение.
Производной функции f в точке
х0 называется число, к
которому стремится
разностное отношение
f
lim
X
0
Производная (функции в точке) — основное
понятие дифференциального исчисления,
характеризующее скорость изменения функции
(в данной точке)
Производная- предел отношения приращения
функции к приращению ее аргумента при
стремлении приращения аргумента к нулю,
если такой предел существует
x=
f(x0+
x) – f(x0)
x
Физический смысл производной
Пусть точка движется по некоторой прямой линии, так что ее
положение меняется с течением времени. Рассмотрим эту прямую как
числовую ось, тогда положение точки определяется её координатой, и с
течением времени эта координата меняется, являясь тем самым
функцией от времени. Уравнением движения называется запись у = f (t),
показывающая, каким образом меняется координата с течением
времени.
Скорость движения с уравнением у = f (t) в момент времени t
равна значению производной f '(t) в этот момент времени. В этом состоит
физический смысл производной.
S (t )  v(t ) или х(t )  v(t )
Механический смысл производной
Скорость движения при
неравномерном движении
изменяется с течением времени.
Скорость изменения скорости
называется ускорением,
То есть f ' '(t). В этом состоит
механический смысл производной.
V’(t)=a
«Когда величина является
максимальной или минимальной, в
этот момент она не течет ни вперед,
ни назад.»
И.Ньютон
Геометрический смысл производной
Пусть задана функция y = f(х), которая имеет производную в точке х = а. Через
точку (а; f(a)), проведена касательная к графику функции y = f(х). Угловой
Коэффициент или тангенс угла между касательной и положительным
направлением оси ОХ будет равен производной функции y = f(х) в точке х = а,
то есть k = tg = f /(a) .
y
Y = f(х)
Y= f (a) + f /(a) (х-a)
Уравнение касательной
f (a)

О
a
х
«Если продолжить одно из
маленьких звеньев
ломаной, составляющей
кривую линию, то эта
продолженная таким
образом сторона будет
называться касательной к
кривой»
И.Ньютон
Основные формулы дифференцирования
Правила дифференцирования
Основные правила
дифференцирования
(u + v)/ = u/ + v/)
( v )=
U
(u v)/ = u/ v + v/u
(C u)/ = Cu/
(f (u(х)))/ = f / (u (х))· u /(х)
u/v-v/u
v2
Производная частных функций
(x)/ = 1, x - переменная
(x3)/=3x2
(x2)/=2x
(3 х)/=1/ 3 х)
(c)/=0, c - const
Частные функции
(1/х)/ =-1/х2
( x)/=1/2 x
Непрерывность
Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке, если она
определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке
промежутка.
Геометрическая непрерывность функции на промежутке означает, что
график этой функции на данном промежутке изображен сплошной
линией без скачков и разрывов. При этом малому изменению аргумента
соответствует малое изменение функции.
Если при x = a функция y = f(x) существует в окрестности этой точки, но
в самой точке x = a не выполняется условие непрерывности, говорят,
что точка x = a есть точка разрыва функции. В самой точке x = a
функция может существовать, а может и не существовать.
у
y = f(x)
у
у
y = f(x)
y = f(x)
О
а
О
b
х
а
х
О
а
х
Схема исследования:
1. Область определения.
2. Чётность.
3. Периодичность.
4. Критические точки.
5. Значение функции в критических точках.
6. Промежутки возрастания и убывания.
7. Экстремумы.
8. Наибольшее и наименьшее значение функции.
9. Дополнительные точки.
Пример: исследовать функцию у = - х3 + 3х - 2 и построить её график
•
Решение:
1. Область определения: DУ = (- ∞; +∞ ).
2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Функция не является периодической.
4. Производная: у‘ = 0 при х = 1 и х = -1.
6. У ‘(1) = 0; у(-1) = - 4.
7. у‘ < 0 при х є ( - ∞ ; -1), следовательно, на промежутке ( - ∞ ; -1) функция убывает;
у‘ > 0 при х є ( - 1; 1) функция возрастает;
у‘ < 0 при х є ( 1; +∞ ), следовательно, на промежутке ( 1; +∞) функция убывает.
Так как в точка х = -1 и х = 1 функция непрерывна, то эти точки присоединим к промежуткам
убывания и промежутку возрастания.
(- ∞ ; - 1]; [ 1; + ∞ ) – промежутки убывания. [-1;1] – промежуток возрастания.
8. Так как в точке х = -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то х = -1 –
точка минимума
Так как в точке х = 1 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х = 1 –
точка максимума
y
Минимум функции:
ymin= - 4
Максимум функции:
ymax = 0.
9. Дополнительные точки:
Если х = 0, то y = -2;
1
Если х = -2, то y = 0.
-2
-1
Построим график функции:
1
2
o
-1
х
-2
y = -х3 +3х - 2
-3
-4
-
Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке[a; b]. Говорят, что
функция имеет максимум в точке x0  [a; b], если существует окрестность точки
x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего
этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Под окрестностью точки x0 понимают интервал длины 2e с центром в точке x0, т.
е. (x0 – e ; x0 + e), где e – произвольное положительное число.
y
y = f (x)
max
max
max
x max
min
O
x max
min
min
x min x max x max x min
x
Определение 2. Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a; b]. Говорят,
что функция имеет минимум в точке x0 [a; b], если существует окрестность
точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x,
принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f (x) > f(x0).
Максимумы и минимумы функции не являются обязательно наибольшими и
наименьшими значениями этой функции во всей области определения.
Например, функция y = f (x) определена на отрезке [a; b], имеет четыре
экстремума: два минимума (x = C1 и x = C3) и два максимума (x = C2 и x = C4).
Вместе с тем, функция достигает наибольшего значения при x = a и
наименьшего при x = b.
Признак максимума функции:
Если функция непрерывна в точке x0
и ее производная, переходя через нее,
меняет знак с плюса на минус,
то x0 есть точка максимума.
Признак минимума функции:
Если функция непрерывна в точке x0
и ее производная, переходя через нее,
меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть
Точка минимума.
y
y = f (x)
O a C C
1 2
C3
C4
b
x
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Решение: данная функция непрерывна и дифференцируема в
каждой точке отрезка
[ -1; 2].
Найдём производную: у/ = х2 – 4х + 3.
Найдём критические точки: у/ = 0 при х = 1 и х = 3, [ -1; 2].
Найдём значение функции в точке х = 1 и на концах отрезка [ -1; 2]:
1
У (1) = 13 /3 – 2 · 12 + 3 · 1 + 1 = 1/3 – 2 + 3 + 1 = 2
У(-1)=(-1)3/3 - 2· (-1)2 + 3· (-1) + 1= - 4
У(2)= 23/3 – 2 · 22 + 3 · 2 + 1 = 1
2
3
1
3
1
1
Ответ: max у(х) = 2 ; min у(х) = - 4 .
3
3
[-1;2]
[-1;2]
3
Пусть функция у = f (х), х є [а; b], непрерывна на отрезке [а; b],
дифференцируема во всех точках этого отрезка и имеет конечное число
критических точек на этом отрезке.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции у = f (х), на
отрезке [а; b], необходимо:
1. Найти критические точки;
2. Вычислить значение функции на концах отрезка и в критических точках;
3. Выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее.
если функция у = f (х) возрастает на отрезке [а; b], то f (a) – наименьшее
значение, f (b) – наибольшее значение функции на этом отрезке.
если функция у = f (х) убывает на отрезке [а; b], то f (а) – наибольшее
значение, f (b) - наименьшее значение функции на этом отрезке.
Решение:
уравнение касательной функции у = f (х) в точке х = a: у = f (а) + f / (а)( х – а)
2
Найдём производную функции f ( Х) = 2 х – 12х + 20: f/ (х) = 4х – 12.
Найдём значение производной и функции при х = 4:
f/ (4) = 4· 4 – 12 = 4
f (х) = 2 · 42 – 12 · 4 + 20 = 4.
Составим уравнение касательной:
У = 4 + 4 (х – 4);
У = 4 + 4х – 16;
У = 4х – 12
У = 4х – 12 - уравнение касательной к параболе у =2 х2 – 12х + 20 в точке
с абсциссой х = 4.
Ответ: У = 4х – 12.
Решение:
Тангенс угла наклона равен производной функции в точке касания,
то есть t g 135o =
f /(х), t g 135o = -1
f /(х) = (3/2 х2 - 4х + 5 )/ = 3х – 4, 3х – 4 = - 1; 3х = 3; х = 1.
Значит, 1 – абсцисса точки касания. Найдём ординату этой точки:
f (1) = 3/2 · 12 – 4 · 1 + 5 = 3/2 – 4 + 5 = 2,5
(1; 2,5) – координаты точки касания.
Ответ: (1; 2,5).
Решение: Скорость движения с уравнением х (t) = 1/3 t3 – ½ t2 + 2 в
момент времени t равна значению производной х/ (t) в этот
момент времени.
Поэтому:
V = х/ (t) = t2 - t
Найдём скорость в момент времени t = 5;
V (5) = 52 – 5 = 25 – 5 = 20 (м/с).
Ответ: V = 20 (м/с).
Решение: Найдём производную данной функции: у/ = 4х + 4.
Так как у/ > 0 на ( - 1; + ∞), значит, на этом интервале функция возрастает.
Так как у/ < 0 на ( - ∞; - 1), значит, на этом интервале функция убывает.
у = 2х2 + 4х + 1 непрерывна, то эту точку
присоединим к промежутку возрастания и промежутку убывания,
то есть на промежутке [ - 1; + ∞), функция возрастает, на промежутке ( - ∞;
Так как в точке х = - 1 функция
- 1],
функция убывает;
Так как в точке х = - 1 производная меняет знак с минуса на плюс, то х = - 1
является точкой минимума.
Найдём минимум функции:
уmin = 2*( - 1)2 + 4 (- 1) + 1 = - 1.
Ответ: на [ - 1; + ∞), функция возрастает, на промежутке ( - ∞; - 1],
функция убывает; хmin = - 1; уmin = - 1.
Производная в химии
Пусть количество вещества, вступившего в
химическую реакцию задается зависимостью:
р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)
Найти скорость химической реакции через 3
секунды.
Решение
Понятие на языке
химии
Обозначение
Понятие на языке
математики
Количество в-ва в
момент времени t0
p = p(t 0)
Функция
Интервал времени
∆t = t– t0
Приращение аргумента
Изменение
количества в-ва
∆p= p(t0+ ∆ t ) – p(t0) Приращение функции
Средняя скорость
химической
реакции
∆p/∆t
Отношение приращёния
функции к приращёнию
аргумента
V (t) = p ‘(t)
Производная в физике
. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела
массой 1 кг от 00С до температуры t0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне
00 <= t <= 950, формула Q (t) = 0,396t+2,08110-3t2-5,02410-7t3 дает хорошее
приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды
от t.
Решение. C (t) = Q / (t) = 0,396 + 4,162*10 -3 t – 15,072*10 -7 t2
Производная в Биологии:
По известной зависимости
численности популяции x (t)
определить относительный
прирост в момент времени t.
Решение
Понятие на языке
биологии
Численность в
момент времени t1
Интервал времени
Изменение
численности
популяции
Скорость
изменения
численности
популяции
Относительный
прирост в данный
момент
Обозначение
Понятие на языке
математики
Функция
x = x(t)
∆t = t2 – t1
Приращение
аргумента
∆x = x(t2) – x(t1)
Приращение
функции
Отношение
приращения
функции к
приращению
аргумента
∆x/∆t
Lim ∆x/∆t
t 0
Р = х‘ (t)
Производная
Производная в географии
Вывести формулу для
вычисления численности
населения на
ограниченной
территории в момент
времени t.
Решение
Пусть у=у(t)- численность населения.
Рассмотрим прирост населения за t=tt0
y=k y t, где к=кр – кс –коэффициент
прироста (кр – коэффициент
рождаемости,
кс – коэффициент смертности)
y/ t=k y
При t0 получим lim y/ t=у’
у’=к у
Заключение
Решая задачи, очень далекие друг от друга по содержанию, мы
приходим к одной и той же математической модели –пределу
отношения приращения функции к приращению аргумента при
условии ,что последнее стремится к нулю. Многие задачи из
курса физики, химии, географии, экономики, биологии приводят
нас в процессе решения к этой же модели
Список литературы
http://ru.wikipedia.org/
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10 класс
А.Г.Мордкович проф.уровень 2008 год
proizvodnaia.narod.ru
Энциклопедия для детей Т-11. М. Аванта+, 2002
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. М. Просвещение,
1993
Г.И.Глейзер «История математики»
С.М.Никольский «Элементы математического анализа»