Kütle ortalamasının (µ) testi

• • • • • • • • Varyansı bilinen normal dağılan bir kütle ortalamasının testi Varyansı bilinen ve ortalaması µ olan bir normal kütleden çekilen n birimlik bir örneğe dayanarak test yapmak için 1) Hipotezler oluşturulur.

H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 veya H 1 2) anlam düzeyi  : µ < µ seçilir.

0 veya H 1 : µ ≠ µ 0 3) Olasılık dağılımı belirlenir. Varyansı bilinen bir kütleden seçilen örneklerin ortalamalarının dağılımı normal dağılıma sahiptir.

4) Kritik dağılım değeri belirlenir. Normal dağılımdan verilen anlam düzeyine ve alternatif hipotezin yönüne göre Z  veya Z  /2 değeri bulunur.

Kütle ortalamasının (µ) testi

• 5) Test istatistiği hesaplanır.

Z



X

  

n

• 6) İstatistik karar: Kritik dağılım değeri Z olarak hesaplanan Z test istatistiği karşılaştırılarak karar verilir.  ile deneysel

Kütle ortalamasının (µ) testi –Örnek-

• •

Örnek:

Bir firma tarafından üretilen pillerin ömürlerinin ortalaması 300 saat ve standart sapma 49 saat olarak belirlenmiştir. Bu pillerin satıcısı bir bayi pillerin ömürlerinin 300 saatten az olduğunu düşünmektedir.

Bunu araştırmak için üretilen pillerden rastgele 49 pil seçilerek ömür testine tabi tutulmuş ve ortalama ömrün 295 saat olduğu görülmüştür.

a) Çekilen bu 49 birimlik bir örneğe göre ortalama ömrünün 300 saat olduğu iddiasını %5 anlam düzeyinde test ediniz.

Kütle ortalamasının (µ) testi –Örnek-

• • b) 49 birimlik örneğin ortalaması en fazla ne kadar olursa %1 anlam düzeyinde hipotez reddedilerek µ<300 alternatif hipotezi kabul edilir?

c) %5 anlam düzeyi karar kriteri için proseste bir değişiklik olduğu ve pillerin ömrünün 280 saate düşmesine ve pillerin ömrünün standart sapmanın hala 49 saat olması durumuna göre, pillerin ortalama ömrünün 300 saat olduğu hipotezinin kabul edilme olasılığını bulunuz.

( yanlış hipotezin kabulü II. Tip hata (β)) Testin gücünü belirleyiniz (1- β).

Kütle ortalamasının (µ) testi –Örnek-

• • Çözüm: a) 1) H 0 : µ = 300 saat H 1 : µ < 300 saat 2)  = 0,05 3) Ortalamaların örnekleme dağılımı için normal dağılım kullanılır.

4) Kritik dağılım değeri Z  = Z 0,05 = -1,65

Z

5) Test istatistiğinin hesaplanması 

X

    295  300  49  5 

Z

7   0 , 713

n

49

Kütle ortalamasının (µ) testi –Örnek-

6) İstatistik karar: Z

deneysel

=-0.713> Z

0,05

=-1,65 olduğundan H

0

kabul edilir.

Kütle ortalamasının (µ) testi –Örnek-

• b)  = 0,01 sol taraf testi için kritik dağılım değeri normal dağılımdan elde edilir.

• Z 0,01 = -2,33 olur.

Z



X

     2 , 33 

X

 300 49  2 , 33 

n X

 300 7 49

X

 283 , 69

saat

Kütle ortalamasının (µ) testi –Örnek-

• c) H 0 : µ = 300 saat H 1 : µ =280 saat  = 0,05 için µ= 300 olan bir kütleden çekilen 49 pile ait örneğin ortalaması en az ne kadar olursa H edilir?

0 kabul Z  = Z 0,05 = -1,65 olur.

 1 , 65 

X

 300  49

X

 288 , 45

saat

49

Kütle ortalamasının (µ) testi –Örnek-

• Ortalama ömrü 280 saat olan bir kütleden ortalama ömrü en az 288,45 saat olan 49 birimlik örnek çekme olasılığı H 0 edilmesine hipotezinin (yani yanlış hipotezin) kabul sebep olacaktır.

O halde normal dağılımdan ortalaması 280 saat olan bir kütleden örnek hacmi 49 olan ve ortalaması en az 288,45 saat olan bir örnek çekme olasılığı bulunur.

Z



X

    288 , 45  280 49  8 , 45 7 

Z

 1 , 21

n

49

Kütle ortalamasının (µ) testi –Örnek-

P

(

Z

 1 , 21 )  1 ,   21

f

(

z

)

dz

 0  

f

(

z

)

dz

 1 , 0  21

f

(

z

)

dz

 0 , 5  0 , 3869

P

(

Z



1 , 21 )

  

0 , 1131 Testin gücü



1

  

1



0 , 1131



0 , 8869

II. Tip hata riski (β) ve testin gücü (1- β)

• Hipotezin reddedilmesi halinde II. Tip hata yani yanlış hipotezin kabulü olasılığı (β) ve bunun tersi olan yanlış hipotezin reddi yani testin gücünün (1- β) belirlenmesi gerekir. Bunun için çift taraflı hipotezler için aşağıdaki genel formülü yazabiliriz. Tek taraflı testler için hipotezin yönüne göre dağılımın uygun tarafı seçilerek β ve 1- β belirlenir.

 

P

    

Z

1   2   0    1 

N X

   1 

Z

 2

N

  0  

N

 1     

• •

β hatası ve testin gücü (1- β)

Yukarıdaki örneğin anlam düzeyi 0,05, alternatif hipotezi çift yönlü olursa ve prosesin ortalaması aşağıdaki değerleri alırsa β hatası ve testin gücünü belirleyiniz.

H 1 : µ ≠ 300 saat  280 Z 1 -4,8171 Z 2 -0,897  0,184821 Testin gücü 0,8151786 285 -4,1029 -0,183 0,427434 0,5725665 290 -3,3886 0,5314 0,702088 0,2979121 295 -2,6743 1,2457 0,889821 0,1101791 300 -1,96 1,96 0,950004 0,0499958 305 -1,2457 2,6743 0,88982 0,1101799 310 -0,5314 3,3886 0,702088 0,2979117 315 0,1829 4,1029 0,427435 0,5725653 320 0,8971 4,8171 0,184821 0,8151794 325 1,6114 5,5314 0,053543 0,9464569

β hatası ve testin gücü (1- β)

Örnek

• • • Örnek: Bir paketleme makinesi otomatik olarak tartım yaparak mamulleri paketlemektedir. Bu makine ile yapılan tartımların ortalamasının 1000 gr, standart sapmasının 8 gr olduğu bildirilmiştir. Üretim mühendisi bu durumu kontrol amacıyla bu makine ile paketlenen 36 paket tartılıyor ve ortalamasının 997 gr olduğu görülüyor. Bu verilere göre: a) Paketleme makinesinin doğru çalışıp çalışmadığını %5 anlam düzeyinde test edip karar veriniz.

b) Prosesin ortalaması en az kaç gram olursa Ho hipotezi kabul edilir.

c) %5 anlam düzeyi için paketleme makinesinin ayarı bozulduğu ve paketleri 997 gr tarttığı halde makinenin doğru çalışıp çalışmadığı hipotezini kabul etme olasılığı ne olur. Yani II. Tip hata riski ne olur? Testin gücünü belirleyiniz.

• c) β hatası (II.tip hata)   

P

    

Z

1   2   0  

N

 1 

P

    

Z

0 , 975  1000 8  997 36  

X

 

N X

   1

N

 1 

Z



Z

 2   0  

N

 1      

Z

0 , 025  1000 8  36 997       

P

      1 , 96  2 , 25 

X

   1

N



Z

 1 , 96  2 , 25     

P

( 0 , 29 

Z

 4 , 21 )   0 , 1141  0 , 5  0 , 3859

t dağılımı

• Araştırmaların bir çoğunda araştırmaya ayrılan para, zaman ve diğer imkanların sınırlı olması gibi nedenlerle, örneklem hacmini, daha önceki açıklamalarımızda belirtilen büyüklükte (genellikle n ≥ 30 birim) sağlamak mümkün olmayabilir. Örneğin; çok nadir görülen bir hastalıkla ilgili araştırmada vaka sayısını, uzun süren deneylere dayanan araştırmalarla ve maliyeti yüksek olan laboratuar çalışmalarında örneklem hacmini arttırmak çok güçtür. Örneklem hacminin az olduğu bu gibi durumlarda, küçük örneklemler için geliştirilmiş test yöntemlerine başvurulur.

t dağılımı (Küçük örneklerin dağılımı )

• • • • Standart normal dağılmış bir rassal değişkenle ki- kare dağılmış bir rasgele değişkenin özel bir fonksiyonu şeklinde tanımlanan yeni rassal değişken t ya da student t dağılımı olarak bilinir.

X 1 ≈ N(0,1) ve X 2 ≈  2 v olup, v: serbestlik derecesi X 1 ve X 2 istatistik olarak bağımsız rassal değişkenler iken,

T



X

1

X

2

v

Şeklinde tanımlansın.

t dağılımı (Küçük örneklerin dağılımı )

•

Değişken dönüştürme tekniği ile T değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır.

f

(

t

)    

v

   

v

2    2 1    

v

   1 

t

2

v

   

v

 1 2   

t

 

t dağılımının özellikleri

• • • v serbestlik derecesi ile tanımlanan sonsuz sayıda t dağılımı vardır. v parametresi daima pozitif tamsayıdır.

t v : v serbestlik dereceli t rassal değişkenini ifade eder.

t v değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği merkezi 0 olan çan eğrisine benzeyen bir grafiktir.

v nin değeri artarken t v rassal değişkeninin varyansı azalır.

Böylece serbestlik derecesi artarken t dağılımı normal dağılıma yaklaşır. Esasen t dağılımı simetrik olmakla birlikte normale göre serbestlik derecesinin aldığı değere bağlı olarak daha basık veya daha sivri olabilir.

t dağılımının özellikleri

•

t dağılımı gösteren bir değişken standart değişkene şöyle dönüştürülür.

t



X S

 

n

Örnek

•

Örnek:

Belli bir parçanın üretimi için gereken ortalama zamanın 11,5 dakika olduğu biliniyor. İşe alınan 10 işçinin bu mamulü üretim süreleri gözlemleniyor ve aşağıdaki sonuçlar elde ediliyor.

Süre 10,5 12.8

13 12.7

11 14 10,4 13,6 12,7 13 • %0,05 anlam düzeyinde yeni işe alınan işçilerin bu mamulü üretim süresinin eski işçilerden daha fazla olup olmadığını araştırınız.

Örnek

• • Çözüm: Örneğin aritmetik ortalaması ve standart sapması hesaplanır.

Süre

X i



X

(

X i



X

) 2 10,5 -1,87 3,50 12,8 0,43 0,18 13,0 0,63 0,40 12,7 0,33 0,11 11,0 -1,37 1,88 14,0 1,63 2,66 10,4 -1,97 3,88 13,6 1,23 1,51 12,7 0,33 0,11 13,0 Topl 0,63 0,40 Topl 123,7 14,6

X S

  

n X i

 123 , 7 10  (

X i n

  1

X

) 2   12 , 37 14 , 6 10  1 

S

 1 , 27

• • • • • •

Çözüm

H 0 : µ = 11,5 dakika (Yeni işçileri üretim süresi de eskiler gibi 11.5 dakikadır.) H 1 : µ > 11,5 dakika (Yeni işçilerin üretim süresi 11, 5 dakikadan fazladır.) Anlam düzeyi: 0,05 Kritik tablo değeri: t 0,05,10-1 t 0,05,9 = 1,833

t

Deneysel dağılım değeri (test istatistiği) 

X



s

  12 , 37  1 , 27 11 , 5  2 , 17

n

Karar: t 0,05,9 10 = 1,833 < t deneysel =2,17 olduğundan H o hipotezi reddedilir.

Yeni işçilerin bu mamulü üretim süresi eskilerden yüksektir.

Oranlar İçin (Binom parametresi) Hipotez Testi

• • • • Bilindiği gibi uygun hal sayısının (x) mümkün hal sayısına (n) oranı 

x n

hacmi şeklinde ifade edilir ve örnek oranı olarak adlandırılır. Örnek yeterince büyük ve kütle normal dağılıyorsa p parametresinin testi normal dağılımdan yararlanarak yapılabilir.

Örnekten elde edilen dönüştürülür.

Z

 

p

( 1 

p p

)

n

p: kütle oranı değeri aşağıdaki şekilde standart değişkene : örnek oranı n: örnek hacmidir.

Deneysel Z değeri kritik Z değerinin ötesinde ise H 0 halde kabul edilir.

reddedilir, aksi

Örnek

• Örnek: Bir prosesin kusurlu oranının %4 olduğu iddia edilmektedir. Üretim sorumlusu mühendis prosesin kusurlu oranının %4 ten büyük olduğunu düşünmektedir. Bu durumu araştırmak için prosesten rasgele 150 mamul seçilip test ediliyor ve 12 tanesinin kusurlu olduğu görülüyor. Bu delillere göre prosesin kusurlu oranının %4 olduğu iddiasını %1 anlam düzeyinde test ederek sonucu yorumlayınız.

Çözüm

• • • • • • •

Çözüm

H 0 : p = 0,04 (prosesin kusurlu oranı %4 tür) H 1 : p > 0,04 (prosesin kusurlu oranı %4 ten fazladır.) Anlam düzeyi:  = 0,01 Kritik (dağılım) değer: Z 0,01 :2,33 Deneysel Z değeri: = 12/150 = 0,08

Z

 

p



pq n

0 , 08  0 , 04 0 , 04  0 , 96 

Z

 2 , 5 150 Karar: Z deneysel reddedilir.

=2,5>Z 0,01 =2,33 olduğundan H 0

Problem

• • • • • Problem: Adapazarı İstanbul hattında çalışan trenlerin bu yolu alış sürelerinin; ortalaması 150 dk, varyansının 625 dk olduğu bilinmektedir.

a) Bu hatta çalışan rasgele 36 tren gözlemlendiğinde bu yolu alış süresinin ortalamasının en az 146 dk olma olasılığını bulunuz.

b) Bu yolun alınış süresinin ortalamasının 140 dk. olduğu iddia edilmektedir. Bunun için 36 sefer gözlemlendiğinde ortalama süre 150 dk çıktığına göre trenlerin bu yolu alış sürelerinin ortalamasının 140 dakikadan fazla olup olmadığını %5 anlam düzeyinde test edip karar veriniz.

c) 36 gözlemde ortalama süre için güven aralığı 152; 148 dk arasında çıktığına göre güven düzeyini belirleyiniz.

d) Rötar yapan trenlerin oranının %20 olduğu bildirilmiştir. Bunu araştırmak için 120 sefer gözlemleniyor ve 30 unda rötarlı kalkış olduğu gözlemleniyor. Rötar yapan trenlerin oranının %20 olduğu iddiasının %1 anlam düzeyinde test edip karar veriniz.