BİYOİSTATİSTİK-I (6BESYGS001)

Rassal değişken olan X’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu olarak f(x), aşağıdaki özelliklere sahiptir: 1.

2.

3.

f(x) > 0 ( x’in tüm değerleri için) X’in tüm değerleri için f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu altında kalan alanı 1,0’e eşittir.

X’in iki değer arasında yer alma olasılığı, bu iki değer arasındaki yoğunluk fonksiyonu altında kalan alandır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-5

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

(devam)

Rassal değişken olan X’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu olarak f(x), aşağıdaki özelliklere sahiptir: 4.

F(x 0 ) birikimli olasılık fonksiyonu , minimum x’den x 0 ’a kadar olan f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu altında kalan alandır F(x 0 )  x x  0 m f(x)dx x m rassal x değişkeninin minimum değeridir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-6

Alan olarak Olasılık

Eğri altındaki taralı alan X’in a ile b arasında yer alma olasılığıdır

f(x) a b

P (

a ≤ x ≤ b

) = P (

a < x < b

) (Her hangi bireysel değerin olasılığının sıfır olduğuna dikkat ediniz)

x

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-7

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

T ekdüze Dağılım

Olasılık Dağılımı Sürekli

Olasılık Dağılımı Tekdüze Normal Üstel Bölüm 4-8

T ek düze dağılım

 Tekdüze dağılım bir rassal değişkenin tüm muhtemel sonuçları için eşit olasılıklara sahip olduğu bir olasılık dağılımıdır.

f(x) x min Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER x max x Tekdüze yoğunluk fonksiyonu altında kalan toplam alan 1.0

’dir. Bölüm 4-9

T ek düze dağılım

Sürekli Tekdüze Dağılım:

1 b



a eğer a

f(x) =

0 aksi halde (devam)

f(x) = yoğunluk fonksiyonunun herhangi bir x’deki değeri a = x’in minimum değeri b = x’in maksimum değeri Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-10

Tekdüze Dağılımın Özellikleri

 Tekdüze dağılımın ortalaması μ  a  b 2  Varyans σ 2  (b a) 2 12 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-11

f(x) 0,25

Tekdüze Dağılım-Örnek

Örnek: 2 ≤ x ≤ 6 aralığı boyunca tekdüze olasılık dağılımı : 1 f(x) = = 0,25 (2 ≤ x ≤ 6 için) 2 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER 6 x μ  a  b 2  2  6 2  4 σ 2  (b a) 2 12  (6 2) 2 12  1.333

Bölüm 4-12

Sürekli Rassal Değişkenler için Beklenen Değerler

  X’in μ X olarak gösterilen ortalaması X’in beklenen değeri olarak tanımlanmaktadır μ X  E(X) σ X 2 olarak gösterilen X’in varyansı (X - μ beklenen değeri olarak tanımlanmaktadır X ) 2 rassal değişkenin ortalamadan sapmalarının karelerinin σ 2 X  E[(X  μ X ) 2 ] Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-13



Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları

X’in ortalamasının μ X ve varyansının σ

X

2 ve a ve b’lerin sabit olduğu W = a + bX doğrusal fonksiyonu için olduğu  O halde W’nun ortalaması aşağıdaki gibidir μ W  E(a  bX)  a  b μ X  Varyansı aşağıdaki gibidir σ 2 W  Var(a  bX)  b 2 σ 2 X  W’nun Standart sapması aşağıdaki gibidir σ W  b σ X Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-14

Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları

(devam)

 Daha önceki sonuçların özel bir hali de standardize rassal değişkendir Z  X  μ X σ X  burada ortalama 0 ve varyans 1’e eşittir. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-15

5.3

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Normal D ağılım

Olasılık Dağılımları Sürekli

Olasılık Dağılımları Tekdüze Normal Üstel Bölüm 4-16

Normal D ağılım



‘ Çan şeklinde ’



Simetrik



Ortalama, Ortanca ve Mod eşitttir Konum ortalama μ tarafından belirlenir, Yayılım standart sapma, σ tarafından belirlenir. f(x) Rassal değişken

+ 

ile

 

arasında arasında yer alan sonsuz bir değer aralığına sahiptir

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

μ

σ

Ortalama = Ortanca = Mod

(devam)

x

Bölüm 4-17

   

Normal D ağılım

(devam)

Normal dağılım geniş bir aralıktaki rassal değişkenleri yakın olarak yakınsar Örneklem ortalamalarının dağılımları “büyük” bir örneklem verildiğinde bir normal dağılıma yakınsar Olasılıkların hesabı doğrudan ve kolay bir şekilde gerçekleştirilir Normal olasılık dağılımı bir dizi uygulama için iyi iş kararlarına yönlendirmektedir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-18

Pek çok Normal Dağılım

μ ve σ , parametrelerini değiştirerek, farklı normal dağılımlar elde ederiz

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-19

f(x)

Normal Dağılımın Şekli

μ

’yü değiştirmek dağılımı sağa veya sola kaydırır.

σ

σ ’yı değiştirmek yayılımı artırır veya azaltır.

μ x

Ortalama μ ve varyans σ verildiğinde, normal dağılımı aşağıdaki gösterimle tanımlamaktayız X ~ N( μ

,

σ 2 ) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-20

Normal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

 Normal olasılık yoğunluk fonksiyonun formülü aşağıdaki gibidir f(x)  1 2 π  e  (x  μ) 2 /2 σ 2 e = 2,71828 ’e yaklaşan matematiksel sabit π = 3,14159’ye yaklaşan matematiksel sabit μ = popülasyon ortalaması σ = popülasyon standart sapması x = sürekli değişkenin  < x <  arasındaki herhangi bir değeri Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-21

Birikimli Normal D ağılım

 Ortalaması μ ve varyansı σ 2 olan normal rassal bir X değişkeni için yani, X~N(μ, σ 2 ), birikimli dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibidir F(x 0 )  P(X  x 0 )

f(x)

P(X  x 0 )

0 x 0 x

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-22

Normal Olasılıkların Bulunması

Bir değer aralığı için olasılık eğri altında kalan ile ölçülmektedir. P(a  X  b)  F(b)  F(a) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

a μ b x

Bölüm 4-23

Normal Olasılıkların Bulunması

(devam)

F(b)  P(X  b)

x a μ b

F(a)  P(X  a)

x a μ b

P(a  X  b)  F(b)  F(a) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

a μ b x

Bölüm 4-24

 

Standardize Normal

Herhangi bir normal d ağılım (herhangi bir ortalama ve varyans değerine sahip olan) varyansı 1 olan standardize normal dağılıma (Z) dönüştürülebilmektedir ortalaması 0 ve

f(Z)

Z ~ N(0

,

1)

1

X’in

0 Z

ortalamasını çıkararak ve standart sapmasına bölerek X birimlerin Z birimlerine dönüştürülmesi gerekmektedir.

Z  X  μ σ Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-25

Örnek

  Eğer X ortalaması 100 ve standart sapması 50 olacak şekilde normal olarak dağılıyorsa, X = 200 i çin Z değeri;

Z



X σ



μ



50



2,0

Buradan X = 200 görülmektedir ’ün 100 2 standart sapma üzerinde (50 birimlik 2 kademe) yer aldığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-26

X ve Z birimlerin karşılaştırılması

100 0 200 2,0 X Z

( μ = 100, σ = 50) ( μ = 0 , σ = 1)

Dağılımın aynı olduğuna, sadece ölçeğin değiştiğine dikkat ediniz. Problemi orijinal birimlerinde (X) ifade edebileceğimiz gibi standardize birimlerinde de (Z) ifade edebiliriz.

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-27

f(x)

Normal Olasılıkların Bulunması

P(a  X  b)  P  F b σ μ  a  μ  σ Z  b  μ σ F  σ μ a a  μ σ Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER µ 0 b b  μ σ x

Z

Bölüm 4-28

Eğri Altında Kalan Alan Olarak Olasılık

Eğri altında kalan toplam alan 1,0’dir simetriktir, o zaman hem ortalamadan küçük olan hem de ortalamadan büyük olan kısım toplam alanın yarısıdır ve eğri

f(X)

P(

  

X



P(μ



X

0.5

0.5

μ

P(

  

X

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

1,0

X

Bölüm 4-29

z Tabloları

  İstatistik kitaplarında Standardize Normal Tablo birikimli (kümülatif) normal dağılım fonksiyonu değerlerini göstermektedir Verilen bir Z değeri için, tablo F(a)’yı göstermektedir. Verilen bir Z-değeri için tablo F(a) değerini göstermektedir (eksi sonsuzdan a’ya kadar olan kısımdaki eğri altında kalan alandır) F(a)  P(Z  a)

0 a Z

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-30

Standardize Normal Tablo

 İstatistik kitaplarındaki z-tablosu herhangi bir a değeri için F(a) olasılığını vermektedir Örnek: P(Z < 2,00) = 0,9772 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

0,9772 0 2,00 Z

Bölüm 4-31

Standardize Normal Tablo



(devam)

Negatif Z değerleri için ihtiyaç duyulan olasılığı bulmak üzere dağılımın simetrik olduğu olgusundan faydalanınız:

0,9772

Example: P(Z < -2,00) = 1 – 0,9772 = 0,0228

0 2,00 0,0228 Z 0,9772 0,0228

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

-2,00 0 Z

Bölüm 4-32

Olasılıkları Bulmak için İzlenen Genel Prosedürler

X normal olarak dağıldığında P(a < X < b) ‘yi bulmak için:  Problem için normal eğriyi X için çiziniz.

 X değerlerini Z-değerlerine dönüştürünüz.

 Birikimli (Kümülatif) Normal Tabloyu kullanınız.

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-33

Normal Olasılıkların Bulunması

 X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız  (X < 8,6) ’yı bulunuz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

8,0 8,6 X

Bölüm 4-34



Normal Olasılıkların Bulunması

(devam)

X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız. P(X < 8,6)’yı bulunuz

Z



X



μ σ



5,0



0,12

μ = 8 σ = 10 μ

= 0 σ = 1 8 8,6

P(X < 8,6) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

X 0 0,12

P(Z < 0,12)

Z

Bölüm 4-35

Çözüm: P(Z < 0,12)’nin bulunması

Standardize Normal Olasılık Tablosu ( Bir kısmı) z .10

.11

.12

.13

F(z) .5398

.5438

.5478

.5517

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER P(X < 8,6) = P(Z < 0,12) F(0,12) = 0,5478

0.00

0,12 Z

Bölüm 4-36

Üst Kuyruk Olasılıkları

 X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız.

 Şimdi P(X > 8,6)’yi bulunuz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

8,0 8,6 X

Bölüm 4-37

Üst Kuyruk Olasılıkları

(devam)

 Şimdi P(X > 8.6)’yi bulunuz… P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1,0 - P(Z ≤ 0,12) = 1,0 – 0,5478 = 0,4522 1,000 0,5478 1,0 – 0,5478 = 0,4522

0 0,12

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Z 0 0,12 Z

Bölüm 4-38

Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunması

 Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunmasında izlenen adımlar: 1. Bilinen olasılık için Z değerini bulunuz 2. Aşağıdaki formülü kullanarak X’e dönüştürünüz: X  μ  Z σ Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-39

Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunması

(devam)

Örnek:  X’in 8,0 ortalama ve 5,0 standart sapma değeri ile normal dağıldığını varsayınız.  Şimdi bu X’in altında kalan ve tüm değerlerin %20’sini oluşturan X değerini bulunuz.

0,2000 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

?

?

8,0 0 X Z

Bölüm 4-40

Alt Kuyruktaki %20 için Z değerinin bulunması

1. Bilinen olasılık için Z değerinin bulunması Standardize Normal Olasılık Tablosu ( Bir kısmı) z F(z)  Alt kuyruktaki %20’lik alan -0.84

’lük bir Z değeri ile uyumludur .82

.7939

.83

.84

.7967

.7995

.85

.8023

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER 0,20

?

-0,84 8,0 0

0,80

X Z

Bölüm 4-41

X değerinin bulunması

2. X birimlere aşağıdaki formülü kullanarak dönüştürünüz:

X

 

(

0 84 5 0 O halde ortalaması 8,0 ve standart sapması 5,0 olan bir dağılımın değerlerinin %20’si 3,80’den daha düşüktür Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-42

Normalliğin Değerlendirilmesi

 Sürekli rassal değişkenlerin hepsi normal dağılım sergilemezler  Verilerin ne kadar bir normal dağılıma yaklaştığını değerlendirmek önemlidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-43

Normal Olasılık Grafiği

 Normal olasılık grafiği  Verileri en düşükten en yüksek değere doğru sıralayınız  Tüm değerler için birikimli (kümülatif) normal olasılıkları bulunuz  Gözlenen değerlere karşı birikimli (kümülatif) olasılıkların grafiğini inceleyeniz (birikimli (kümülatif) normal olasılıkları dikey eksende ve gözlenen değerler yatay eksende olacak şekilde çizilmelidir)  Grafiği doğrusallık kanıtı yönünden değerlendiriniz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-44

Normal Olasılık Grafiği

(devam)

Bir normal dağılımdan elde edilen bir normal olasılık grafiği yaklaşık olarak doğrusal olacaktır: Yüzde 100 0 Veriler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-45

100

Normal Olasılık Grafiği

Sola çarpık

(devam)

Sağa çarpık 100 0 Veriler 100 Tekdüze 0 Veriler Doğrusal olmayan grafikler normallikten sapmayı göstermektedir 0 Veriler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-46

Binom Dağılımı için Normale Yaklaşma

 Binom dağılımı hatırladığımızda:   n bağımsız deneme Verilen herhangi bir deneyde başarı olasılığı = P  Rassal   değişken X: X i =1 eğer i’inci deneme “başarı” ise X i =0 eğer i’inci deneme “hata” ise E(X)  μ  nP Var(X)  σ 2  nP(1 P) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-47

Binom Dağılımı için Normale Yaklaşma

(devam)

 Eğer n yeterince büyükse binom dağılımın şekli yaklaşık olarak normaldir  nP(1 – P) > 5 olduğu zaman normal binoma iyi bir yaklaşım sergiler  Bir binom dağılımdan Z’ye standardize ediniz: Z  X  E(X) Var(X)  X  np nP(1  P) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-48

Binom Dağılımı için Normale Yaklaşma

(devam)

 Her birinin başarı olasılığı P olmak üzere X n bağımsız denemedeki başarı sayısı olsun.  Eğer nP(1 - P) > 5 ise, P(a  X  b)  P a  nP nP(1  P)  Z  b  nP nP(1  P) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-49

Binom Yaklaşımına Örnek

 Seçmenlerin %40’ı A halk oylamasını destekliyor. n=200 örnek büyüklüğü için 76 ile 80 seçmenin bir destek gösterme olasılığı nedir?

  E(X) = µ = nP = 200(0,40) = 80 Var(X) = σ 2 = nP(1 – P) = 200(0,40)(1 – 0,40) = 48 (dikkat: nP(1 – P) = 48 > 5 )

P(76



X



80)



P

 

76



80

  

P(

  

0,58



0,58) 0)



0,2190

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-50

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Üstel Dağılım

Olasılık Dağılımları Sürekli

Olasılık Dağılmları Normal Tekdüze Üstel Bölüm 4-51

Üstel Dağılım

 Bir olayın iki farklı meydana gelişi arasındaki zamanın uzunluğunu (varışlar arasındaki süre) modellemek üzere kullanılır  Örnekler:    Boşaltma iskelesine varan kamyonlar arasındaki süre Bir ATM makinesinde yapılan işlemler arasında geçen süre Ana operatöre yapılan telefon çağrıları arasında geçen süre Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-52

Üstel Dağılım

 Üstel rassal değişken t (t>0) bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir

(devam) f(t)

   Burada   birim zamanda meydana gelme sayısıdır  t bir sonraki meydana gelme oluncaya dek olan zaman birimi sayısıdır.

 e = 2,71828 t‘nin bir üstel olasılık dağılımı sergilediği ifade edilmektedir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-53



Üstel Dağılım

Tek bir parametre olan ortalaması  tanımlanır.

(lambda) ile  Birikimli (kümülatif) dağılım fonksiyonu süresinin bazı belirlenmiş olan t zamanından daha düşük olma olasılığı) aşağıdaki gibidir ( Bir varış F(t)  1  e  λ t burada e = Yaklaşık olarak 2,71828 olan matematiksel sabit  = Birim başına varış sayısı popülasyon ortalaması t = t>0 olmak üzere sürekli değişkenin her hangi bir değeri Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-54

Üstel Dağılım Örnek

Örnek: Müşteriler servis sayacına saatte 15 oranında varmaktadırlar. Ardışık müşteriler arasındaki varış süresinin üç dakikadan kısa olma olasılığı nedir?

    Saat başına ortalama varış sayısı 15’tir, o halde  = 15 Üç dakika 0,05 saattir P( varış süresi <0,05) = 1 – e  X = 1 – e -(15)(.05) = 0,5276 O halde, ardışık müşterilerin varış sürelerinin üç dakikadan daha kısa olması %52,76’lık bir olasılığa sahiptir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-55

Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım Fonksiyonları

  X 1 , X 2 , . . .X

k sürekli rassal değişkenler olmak üzere Onların Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım Fonksiyonu F(x 1 , x 2 , . . .x

k ) x 1 ’in X 1 ’den daha düşük olduğunu, x 2 ’in X 2 ’den daha düşük olduğunu vs tanımlamaktadır, yani F(x 1 , x 2 ,  , x k )  P(X 1  x 1  X 2  x 2   X k  x k ) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-56

 

Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım Fonksiyonları

(devam)

Bireysel Birikimli dağılım fonksiyonları F(x 1 ), F(x 2 ), . . .,F(x k ) onların tekil dağılım fonksiyonları olarak anılmaktadırlar.

Rassal değişkenler bağımsızdır, (sadece) eğer; F(x 1 , x 2 ,  , x k )  F(x 1 )F(x 2 )  F(x k ) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-57

Ortak Varyans(Kovaryans)

 X ve Y ortalamaları μ x olmak üzere ve μ y olan sürekli değişkenler  (X μ x )(Y kovaryans μ y ) ’in beklenen değeri X ve Y arasındaki olarak anılmaktadır Cov(X, Y)  E[(X  μ x )(Y  μ y )]  Allternatif fakat eşdeğer bir ifade; Cov(X, Y)  E(XY)  μ x μ y  Eğer X ve Y bağımsız ise; o halde bunların arasındaki kovaryans 0’dır. Ancak ters her zaman doğru olmayabilir. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-58

Korelasyon

 X ve Y bileşik olarak dağılmış olan rassal değişkenler olsun.  X ve Y arasındaki korelasyon aşağıdaki gibidir ρ  Corr(X, Y)  Cov(X, Y) σ X σ Y Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-59

Rassal Değişkenlerin Toplamları

 X 1 , X 2 , . . .X

k ortalamaları μ 1 , μ 2 ,. . . μ k varyansları σ 1 2 , σ 2 2 ,. . ., σ k 2 ve olan k adet rassal değişken olsun. O halde:  Toplamlarının ortalaması ortalamalarının toplamına eşittir E(X 1  X 2    X k )  μ 1  μ 2    μ k Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-60

 

Rassal Değişkenlerin Toplamları

X 1 , X 2 , . . .X

k ortalamaları μ σ 1 2 , σ 2 2 ,. . ., σ k 2 1 , μ 2 ,. . . olan k adet rassal μ k

(devam)

ve varyansları değişken olsun. Eğer rassal değişkenlerin her bir çifti arasındaki kovaryans 0 ise bunların toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir Var(X 1  X 2    X k )  σ 1 2  σ 2 2    σ 2 k  Ancak, rassal kovaryans değişkenlerin her bir çifti arasındaki 0 değilse, toplamlarının varyansı aşağıdaki gibidir Var(X 1  X 2    X k )  σ 1 2  σ 2 2    σ k 2   1 2 K K  i  1 j  i  1 Cov(X i , X j ) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-61

İki Rassal Değişken Arasındaki Fark

X ve Y gibi iki rassal değişken için    Farklarının ortalaması ortalamalarının farkına eşittir; yani: E(X  Y)  μ X  μ Y Eğer X ve Y arasındaki kovaryans 0 ise, o halde farklarının varyansı aşağıdaki gibidir: Eğer X ve Y arasındaki kovaryans 0 değilse, o halde farklarının varyansı aşağıdaki gibidir: Var(X  Y)  σ 2 X  σ 2 Y  2Cov(X, Y) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Var(X  Y)  σ 2 X  σ 2 Y Bölüm 4-62

Rassal Değişkenlerin Doğrusal Kombinasyonu

 X ve Y gibi iki rassal değişkenin doğrusal kombinasyonu (a ve b sabit olmak üzere) aşağıdaki gibidir W  aX  bY  W’ nun ortalaması aşağıdaki gibidir μ W  E[W]  E[aX  bY]  a μ X  b μ Y Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-63

Rassal Değişkenlerin Doğrusal Kombinasyonu

(devam)

 W’ nun varyansı aşağıdaki gibidir σ 2 W  a 2 σ 2 X  b 2 σ 2 Y  2abCov(X, Y)  Korelasyon kullanıldığında, σ 2 W  a 2 σ 2 X  b 2 σ 2 Y  2abCorr(X, Y) σ X σ Y  Eğer X ve Y bileşik normal olarak dağılmış rassal değişkenler ise o halde W, doğrusal kombinasyonu da normal dağılım sergilemektedir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-64

Örnek

 İki iş aynı işçi tarafından yapılmalıdır.    X = Birinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μ x Y= İkinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μ y = 20, = 20, σ y σ x = 5 = 8 X ve Y normal olarak dağılmışlardır ve bağımsızdırlar  Her iki işi tamamlamak için gerekli olan sürenin ortalaması ve standart sapması nedir?

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-65

  

Örnek

(devam)

  X = Birinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μ x Y= İkinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μ y = 20, = 20, σ y σ x = 5 = 8 Her iki işi tamamlamak için gerekli olan sürenin ortalaması ve standart sapması nedir?

W  X  Y μ W  μ X  μ Y  20  30  50 X ve Y bağımsız olduğundan dolayı Cov(X,Y) = 0, yani σ 2 W  σ 2 X  σ 2 Y  2Cov(X, Y)  (5) 2  (8) 2  89 Standart sapma aşağıdaki gibidir σ W  89  9.434

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-66