Transcript KUYRUK TEORİSİ - Ozlem Aydin | Trakya

KUYRUK TEORİSİ
(BEKLEME
HATTI MODELLERI)
Hazırlayan: Özlem AYDIN
GIRIS


Bir hizmet için beklemek günlük yaşantının bir
parçasıdır. Örneğin, restoranlarda yemek yemek
için bekleme, hastanelerdeki hasta kuyruğunda
bekleme, marketlerde ödeme yapmak için
kasalarında önünde oluşan kuyruğa girme…
Beklemek sadece insana özgü bir deneyim
değildir. İşlerin makinede işlem görmeyi
beklemesi, arızı makinelerin onarım için
beklemesi, araçların trafik ışıklarında durması..
GIRIS
Bir işletmedeki yönetici hizmet maliyetinin
düşük olmasını, hizmet niteliğinin yüksek
olmasını ve müşterilerin bekleme zamanını en
düşük düzeyde tutmayı amaçlamalıdır.
 Hizmet
için
gelen
müşteri
isteklerinin
zamanında
karşılanması
bekler.
Müşteri
gereğinden
fazla
beklediğinde
işletmenin
müşteriyi kaybetme olasılığı vardır. Bu işletmeye
zarar verir.
 İşletmenin yararları ile müşterilerin yararlarını
dengeleyen bir ekonomik strateji belirlenmesi
kuyruk analizi ile gerçekleştirilebilir.

KUYRUK TEORISI



Kuyruk teorisi bekleyen sıraların (ya da
kuyrukların) matematiksel olarak incelenmesidir.
Teori, sıraya girilmesi, kuyrukta bekleme (aslında bir
depolama işlemi) ve sıranın önünde hizmet
sağlayanlar tarafından servisin sunulmasını içeren
birçok ilişkili işlemin matematiksel analizine
uygundur.
Teori, kuyrukta ya da sistemde ortalama bekleme
zamanı ,bekleyen ya da alınan hizmetin beklenen
değerini ve belirli durumlarda (müsait bir servis
sağlayıcıya sahip olunan ya da hizmet almak için
belirli bir zamanın beklendiği) bir sistemle
karşılaşma olasılığını içeren birkaç performans
ölçümünü hesaplamayı ve bunları türetmeyi sağlar.
KUYRUK TEORISI

Kuyruk durumunda temel aktörler müşteri ve
hizmet verendir. Müşteriler bir kaynaktan
türetilir. Müşteri hizmet yerine vardığında
hemen hizmet görür veya tesis meşgulse
kuyrukta bekler. Bir hizmet yeri hizmetini
tamamlandığında eğer varsa bekleyen müşteriyi
kendiliğinden kuyruktan çeker. Kuyruk boşsa
hizmet yeri yeni müşteri gelinceye kadar boş
kalır.
ÖRNEK

Aşağıdaki durumların her biri için müşteriyi ve
hizmet vereni tanımlayın.
Havaalanına inan uçaklar
b) Taksi durağı
c) Bir atölyede depodan çıkan kesme takımları
d) Postanede işlenen mektuplar
e) Üniversitede kayıt yenileme
f) Mahkemedeki davalar
g) Süpermarketteki kasalar
h) Otopark hizmetleri
a)
TEMEL KAVRAMLAR-1

1.
2.
3.
4.
Bir kuyruk teorisinin temel kavramları şunlardır:
Kuyruk: Servis için beklemekte olan müşteri
sayısı.
Servis kanalı: müşterilere hizmet sunan sistem
veya süreçtir.
Geliş debisi: birim zamanda hizmet görmek için
gelen müşteri sayısıdır.
Servis debisi: birim zamandaki müşteriler olup
servisi gerçekleştiren servis kanalındaki müşteri
sayısıdır.
TEMEL KAVRAMLAR-2
Kuyruk disiplini: Müşterilerin hizmet için
seçilme düzenine kuyruk disiplini denir. Servis
disiplininde kullanılan standart kural, ilk gelen
ilk hizmet görür (FCFS-First Come First Service)
kuralıdır. Diğerleri; Son gelen ilk hizmet görür
(LCFS) ve Rastgele sırada hizmet verme (SIRO)
disiplinleridir.
 Servis olanaklarını yapısı: servis olanaklarını
düzenlenmesi şu şekillerde gerçekleşebilir: tek
kanallı ve çok kanallı

KUYRUK SISTEMLERI-1
KUYRUK SISTEMLERI-2
KUYRUK SISTEMLERI-3
KUYRUK SISTEMLERI-4
KUYRUK MODELLERININ TEMSILINDE
KENDALL –LEE-TAHA NOTASYONU-1

D. G. Kendall 1953 yılında çok kaynaklı kuyruk
modelleri için gelişlerin dağılımı, servis süresi
dağılımı ve sistemde bulunan paralel servis
sayısını tanımlamak için bir notasyon önermiştir.
Bu notasyona A. Lee 1966 yılında servis disiplini
ve sistemde bulunan maksimum birey sayısını 4.
ve 5. karakterler olarak eklemiş, sonrasında ise
Hamdy A. Taha 1968’de 6. karakter olarak geliş
kaynağını eklemiştir.
KENDALL-LEE-TAHA NOTASYONU-2
(a/b/c):(d/e/f)
a: varış debisi dağılımı
b: servis debisi dağılımı
c: sistemde bulunan kanal sayısı
d: geliş kaynağı büyüklüğü
e: sistemdeki birim sayısı
f: kuyruk disiplini
KENDALL-LEE-TAHA NOTASYONU-3
a ve b sembollerinin alabileceği değerler:
D: deterministik gelişler arası süre veya hizmet süresi.
M: Poisson geliş veya ayrılış dağılımları (gelişler arası
sürenin veya servis süresinin üstel olmasıyla eş
anlamlıdır.)
Ek: Erlang veya Gamma gelişler arası hizmet dağılımı.
GI: gelişler arası sürenin bağımsız dağılımı.
G: hizmet süresinin genel dağılımı.
KENDALL-LEE-TAHA NOTASYONU-4

d sembolünün alabileceği değerler:
FCFS: İlk gelen ilk hizmet görür (First Come First Service).
LCFS: Son gelen ilk hizmet görür (Last Come First Service).
SIRO: Tesadüfi servis (Service In Random Order).
GD: Genel servis disiplini (General Service Dicipline).


c sembolü paralel hizmet kanalı sayısını belirten herhangi
bir pozitif tamsayıdır.
e ve f sembolleri sonlu ve sonsuz kuyruklarda sırasıyla
sistemde ve geliş kaynağında bulunan birey sayısını gösterir.
ÖRNEK
(M/M/3):(FCFS/∞/∞)
Poisson
Poisson
ayrılış
Kanal
sayısı
Sonsuz geliş
kaynağı
Sistemdeki
müşteri sayısı
İlk gelen ilk
hizmet görür
KUYRUK MODELINDE GELIŞ VE SERVIS YAPISINI
AÇIKLAMADA KULLANILAN DAĞILIMLAR-1



Kuyruk modellerinde müşterilerin kuyruğa geliş
süreçleri, geliş oranları ve gelişler arasındaki süre
bulunarak açıklanır.
Geliş oranı (λ), zaman birimi başına müşterilerin kuyruk
sistemine geliş sayısıdır. Gelişler arası süre ise
müşterilerin gelişlerine göre aradaki geçen süredir.
Servis oranı (μ), zaman birimi başına servis sayısıdır.
Servis süresi, bir servisi gerçekleştirmek için gerekli
olan zamandır.
Örnek: Saatte 30 sayfa yazan bir sekreter, bir sayfa
yazıyı ortalama 2 dakikada yazabilir. Yani ortalama
servis süresi
1/μ = 1/30 saat = 60/30 = 2 dakika/sayfa
KUYRUK MODELINDE GELIŞ VE SERVIS YAPISINI
AÇIKLAMADA KULLANILAN DAĞILIMLAR-2

Müşterilerin kuyruk sistemine gelişlerinin
genellikle tesadüfi olduğu kabul edilir ve gelişler
ile gelişler arasındaki süreyi açıklamada olasılık
dağılımlarından poisson ve üstel dağılım
kullanılır.
KUYRUK MODELINI UYGULAMA ÜSTÜNLÜKLERI-1

1.
2.
3.
Kuyruk modeli yöneticiye aşağıdaki önemli sonuçları
verir.
Sistemdeki müşteri sayılarının olasılık dağılımı: bu
olasılık dağılımı ele alınacak diğer sonuçların elde
edilmesinde temel olacaktır.
Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (L): Servis
görmekte olan ve kuyrukta bekleyen müşteri
sayısıdır. Bu sayı sistemde müşterinin harcadığı
ortalama zamanı bulmada yardımcı olur.
Sistemde müşterinin harcadığı ortama süre (W):
Müşterinin kuyruk sisteminde harcadığı yani
kuyruktaki bekleme süresiyle serviste harcadığı
süre toplamıdır.
KUYRUK MODELINI UYGULAMA ÜSTÜNLÜKLERI-2
4.
5.
6.
Ortalama kuyruk uzunluğu (Lq): Servis görmek
üzere beklemekte olan müşteri sayısıdır.
Müşterilerin kuyrukta ortalama bekleme süresi
(Wq): Müşterinin kuyrukta bekleyerek harcadığı
süredir.
Sistem kullanım faktörü (ρ): Sistemin meşgul olma
olasılığının yani bir anlamda, hizmet veren kişi
veya sistemin müşteriye harcadığı zaman oranıdır.
TEK SERVISLI KUYRUK MODELLERI-1

Üstel servisli – sınırsız kuyruk modeli
Tek bir servis kanalı olan, yani zamanın herhangi bir
anında hizmet verecek kuyruk modelidir. İlk önce
sistemi müşterilerin geliş süreçlerinin Poisson
dağılımı, servis süreçlerinin ise üstel dağılım özelliği
gösterdiği varsayılacağı gibi kuyrukta bekleyenlerden
ilk gelen ilk hizmet görecektir. Ayrıca ortalama servis
oranı, ortalama müşterilerin geliş oranından
büyüktür. Bu durumda tüm gelen müşterilerine
servis verme olanağı vardır. Eğer müşterilerin geliş
oranı, ortalama servis verme olanağından büyük
olursa kuyruk belirsizce büyüyecektir. Yani kuyruk
yapısı sonsuz olma özelliği gösterecektir.
TEK SERVISLI KUYRUK MODELLERI-2
Pn, verilen bir zamanda sistemde n sayıda
müşteri bulunma olasılığıdır.
 Po, sistemde müşteri olmama olasılığını gösterir.
 Gelişlerin Poisson, servilerin üstel ve kuyruk
uzunluğunda bir sınırlandırmaya gidilmediğinde
aşağıdaki formüller uygulanabilir.


Sistemde n birim müşteri bulunma olasılığı
Pn = (1 – ρ) ρn
TEK SERVISLI KUYRUK MODELLERI-3

Servis verenin aylak kalma süresinin oranı
Po  1 – 

Sistemde n veya daha fazla birimin bulunma olasılığı
pn  

n
Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (L)

L
1- 
TEK SERVISLI KUYRUK MODELLERI-4

Ortalama (beklenen) kuyruktaki müşteri sayısı veya
ortalama kuyruk uzunluğu
Lq 

 (   )
Servis, ilk gelen ilk hizmet görür kuralına göre verilirse,
yeni gelen müşterinin beklenen bekleme süresi yani
müşterinin kuyrukta harcadığı ortalama zamanı
wq 


(   )
Kuyruk sisteminde müşterilerin harcadığı ortalama zaman
W


2
1
(   )
Bu formül aynı zamanda yeni gelen müşterinin servis
almak için harcadığı toplam süredir.
TEK SERVISLI KUYRUK MODELLERI-5
Sonlu Geliş Kaynaklı Sonsuz Tek Kanallı Kuyruk Modeli
 Bazı kuyruk problemlerinde hizmet için gelen müşterilerin
sayısı kısıtlanır. Şöyle ki, belirli bir zamanda ancak N sayıda
müşteri hizmet için kuyruk sistemine gelir ve kuyruk
uzunluğu N – 1 den büyük olamaz. Bir başka değişle bir usta
başı fabrikada ancak N sayıdaki makinenin onarımından
sorumlu olur. Onarım için gelen makinelerin kuyruktaki sayısı
N – 1 dir. Bir anlamda sınırlı bir kuyruk vardır. Kuyruk
sistemindeki en fazla müşteri sayısını N, müşteri gelişlerinin
Poisson dağılımına göre ve kuyruğun sonlu olduğunu kabul
edelim. Ayrıca müşterilere servis verme süresi üstel dağılımlı
ise (durağan) denge durumu için aşağıdaki denklemleri
yazabiliriz.
TEK SERVISLI KUYRUK MODELLERI-6
1
N
N!
n

 
P  
 n0 ( N  n)! 
0
Pn 
n
N!
 P0
( N  n)!
LN
 1
Lq  N   (1  P0)
W 
L

Wq
L

q
1 P0
