Transcript Przykład

Zagadnienia AI
wykład 2
Przykłady funkcji przynależności
1.4
1.2
1
Funkcja Gaussowska
0.8
 xx
 A ( x )  exp  

   

2




0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
12
14
gdzie x jest środkiem, a  określa szerokość krzywej.
1
Funkcja typu dzwonowego
0.8
0.6
1
 A ( x; a, b, c ) 
1
x c
a
2b
0.4
0.2
2
4
6
8
10
gdzie parametr a określa szerokość, b określa nachylenie, natomiast c
określa środek.
12
Przykłady funkcji przynależności
Funkcja klasy t
 0
x  a


t ( x; a, b, c )   b  a
cx

c  b

 0
dla
xa
dla a  x  b
1
0.8
0.6
dla b  x  c
dla
x c
0.4
0.2
2
4
6
8
10
12
Funkcja klasy L
 1
b  x
L( x; a, b )  
b  a
 0
dla
xa
dla a  x  b
dla
xb
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
12
Przykłady funkcji przynależności
Funkcja klasy s
0

  x  a 2

 2
 c a
s( x; a, b, c )  
1  2 x  c 

c a

1
xa
dla
1
dla a  x  b
0.8
0.6
dla b  x  c
0.4
0.2
x c
dla
2
4
6
8
10
Funkcja radialna
 xx
 A ( x )  exp
 2 2

2




1
0.75
4
0.5
2
0.25
0
-4
0
-2
-2
0
2
4
-4
12
Przykłady funkcji przynależności
Funkcja klasy 
1
 0
x  a
 ( x; a, b)  
b  a
 1
dla
xa
dla a  x  b
0.8
0.6
0.4
dla
xb
0.2
2
Funkcja singleton
1 dla x  x
A ( x )  
0 dla x  x
Do zbioru rozmytego A należy tylko x.
4
6
8
10
12
Przykład
Niech X= [0, 100000 zł]
Funkcję przynależności zbioru
określamy jako funkcję klasy s.
rozmytego
„dużo
pieniędzy”
14
100000
16
1
0,5
0
0
2
4
1000
6
8
10000
10
12
Możliwość vs prawdopodobieństwo
Za pomocą rachunku prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć
np. prawdopodobieństwo tego, że w wyniku rzutu kostką
dostaniemy 4 oczka.
Za pomocą zbiorów rozmytych możemy opisać nieprecyzyjne
stwierdzenie „wyrzucenie dużej liczby oczek”.
Jedyne podobieństwo między teorią zbiorów rozmytych i teorią
rachunku
prawdopodobieństwa
to
fakt,
że
funkcja
przynależności i prawdopodobieństwo przyjmują wartości z
przedziału [0, 1].
Definicja
Zbiór elementów przestrzeni X dla których A(x)>0 nazywamy
nośnikiem zbioru rozmytego A. Wprowadzamy oznaczenie:
supp A:={ xX: A(x)>0 }
Przykład
Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8} oraz
wówczas
0,2 0,4 0,6 0,3
A



1
2
5
7
supp A={1, 2, 5, 7}
Definicja
Wysokość zbioru rozmytego A oznaczamy przez h(A) i określamy
jako:
h( A) sup  A ( x )
x X
Przykład
Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} oraz
A
wówczas
0,2 0,4 0,6 0,3



1
2
5
7
h(A) = 0,6
Definicja
Zbiór rozmyty A nazywamy normalnym wtedy i tylko wtedy gdy
h(A)=1. Zbiór, który nie jest normalny można znormalizować
rozważając funkcję przynależności:
A ( x ) 
A ( x )
zn
Przykład
h( A)
Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} oraz
wówczas
0,2 0,4 0,5 0,1
A



1
2
5
7
h(A) = 0,5
oraz
0,4 0,8 1 0,2
Azn 

 
1
2 5 7
Definicja
Mówimy, że zbiór rozmyty A jest pusty (ozn. A=ø) wtedy i tylko
wtedy
supp A:= ø
Definicja
Mówimy, że zbiór rozmyty A zawiera się w zbiorze B (ozn. AB)
wtedy i tylko wtedy
A ( x )  B ( x )
dla każdego
Przykład
xX
1
B
A
0,5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Definicja
-Przekrojem zbioru rozmytego AX oznaczanym A nazywamy
następujący zbiór nierozmyty
A  { x  X : A ( x )   },   [0, 1]
Innymi słowy jest
charakterystyczną
to
zbiór
określony
przez
funkcję
1 dla  A ( x )  
 A ( x )  
0 dla  A ( x )  
Z powyższej definicji widać, że zachodzi następująca implikacja:
1  2  A  A
2
2
Przykład
Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} oraz
0,2 0,4 0,6 0,3 0,7
A




1
2
5
7
8
Wówczas:
A0  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A0,1  {1, 2, 5, 7, 8}
A0,2  {1, 2, 5, 7, 8}
A0,4  {2, 5, 8}
A0,5  {5, 8}
A1  
Operacje na zbiorach rozmytych
Definicja
Przecięciem zbiorów rozmytych A,BX jest zbiór rozmyty AB o
funkcji przynależności
AB ( x )  min{ A ( x ), B ( x )}
W przypadku wielu zbiorów A1, A2,…,An przecięcie określone jest
następującą funkcją przynależności
A ...A ( x )  min{ A ( x ),...,A ( x )}
1
n
1
n
1
B
A
0,5
AB
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Definicja
Sumą zbiorów rozmytych A,BX jest zbiór rozmyty AB o funkcji
przynależności
AB ( x )  max{ A ( x ), B ( x )}
W przypadku wielu zbiorów A1, A2,…,An przecięcie określone jest
następującą funkcją przynależności
A ...A ( x )  max{A ( x ),...,A ( x )}
1
n
1
n
1
B
A
0,5
AB
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Definicja
Iloczynem algebraicznym zbiorów rozmytych A,BX jest zbiór
rozmyty AB o funkcji przynależności
Przykład
AB ( x )  A ( x )  B ( x )
Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8} oraz
0,2 0,4 0,6 0,3
A



1
2
5
7
0,4 0,3 0,6 0,3
B



1
2
3
4
wówczas
0,2 0,3
AB 

1
2
AB 
0,08 0,12

1
2
0,4 0,4 0,6 0,3 0,6 0,3
AB 





1
2
3
4
5
7
Definicja
A
Dopełnieniem zbioru rozmytego AX jest zbiór rozmyty o funkcji
przynależności
 A ( x )  1  A ( x )
gdzie xX.
1
A
0,5
A
0
Przykład
0
A
Jeżeli X={1,2,3,4}
oraz
wówczas
2
4
A
6
8
10
12
14
0,2 0,4 0,6


1
2
4
0,8 0,6 0,4 1
A



1
2
4 3
16
Można łatwo pokazać (ćwiczenia!), że przypadku
rozmytych nie są spełnione prawa dopełnienia tzn:
zbiorów
AA 
AA  X
Zachodzą natomiast prawa de Morgana oraz absorbcji (ćwiczenia!).
Ponadto w przypadku operacji na zbiorach rozmytych zachodzą
własności przemienności, łączności oraz rozdzielności.
Przykład
Jeżeli X={1,2,3} oraz
wówczas
A
0,2 0,4

1
2
A
0,8 0,6 1
AA 

 X
1
2 3
0,2 0,4
AA 


1
2
0,8 0,6 1


1
2 3
Definicja
Iloczynem kartezjańskim zbiorów rozmytych AX
nazywamy zbiór rozmyty AB funkcji przynależności
i
AB ( x, y )  min{ A ( x ), B ( y )}
gdzie xX i yY.
Przykład
Jeżeli X={1,2,3,4,5} oraz
0,2 0,4 0,6
A


1
2
5
0,4 0,3
B

1
2
wówczas
0,2 0,2
0,4
0,3
0,4
0,3
AB 





(1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (5,1) (5,2)
BY
Definicja
Koncentrację zbioru rozmytego AX oznaczamy przez CON(A) i
definiujemy jako
gdzie xX.
CON ( A) ( x)  (A ( x))2
Definicja
Rozcieńczenie zbioru rozmytego AX oznaczamy przez DIL(A) i
definiujemy jako
1
2
gdzie xX.
DIL( A) ( x )  ( A ( x ))
Przykład
Jeżeli X={1,2,3,4,5} oraz
Wówczas
A
0,2 0,4

1
2
0,04 0,16
CON ( A) 

1
2
DIL ( A) 
0,44 0,63

1
2
Zmienna lingwistyczna
Zmienną lingwistyczną nazywamy zmienną, której wartościami są
słowa lub zdania w języku naturalnym lub sztucznym. Powyższe
słowa lub zdania nazywamy wartościami lingwistycznymi
zmiennej lingwistycznej.
Przykład
Niech x będzie zmienną lingwistyczną oznaczającą wiek. Wartości
zmiennej lingwistycznej x należą do zbioru
T={ stary, bardzo stary, nie tak stary, zupełnie
młody, młody, bardzo młody }
Do każdego z elementów zbioru T można przyporządkować
odpowiedni zbiór rozmyty.
Przykład
Niech X={0, 20, 40, 60, 80} oraz
A
1 0,6 0,1


0 20 40
Zbiór rozmyty A odpowiada określeniu „młody”.
Wówczas
CON ( A) 
1 0,36 0,01


0 20
40
możemy interpretować jako „bardzo młody”.
Natomiast
1 0,13
CON (CON ( A))  
0 20
możemy interpretować jako „bardzo, bardzo młody”.
Przykład
4-osobowa rodzina chce kupić mieszkanie. Komfort mieszkania
związany jest z ilością sypialni. Opisujemy go zbiorem rozmytym
0,2 0,5 0,8 1 0,7 0,3
C


 

1
2
3 4 5
6
Wielkość mieszkania opisujemy zbiorem rozmytym
0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 1 1
W 



   
3
4
5
6 7 8 9 10
Mieszkanie komfortowe i jednocześnie duże opisywane jest
zbiorem rozmytym
0,2 0,4 0,6 0,3
C W 



3
4
5
6
t -normy
Przecięcie zbiorów rozmytych A,BX określiliśmy jako zbiór rozmyty
AB o funkcji przynależności
AB ( x )  min{ A ( x ), B ( x )}
Zamiast funkcji min możemy użyć dowolnej t-normy, tzn. funkcji T
takiej, że:
T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)) (łączność)
T(a, b) = T(b, a) (przemienność)
T(a, b)  T(d, c) dla a  d, b  c (monotoniczność)
T(a, 1) = a (warunek brzegowy)
T
Wprowadźmy oznaczenie T (a, b )  a  b
Operatory t -normy
s -normy
Sumę zbiorów rozmytych A,BX określiliśmy jako zbiór rozmyty
AB o funkcji przynależności
AB ( x )  max{ A ( x ), B ( x )}
Zamiast funkcji max można wziąć dowolna s-normę, tzn.
dowolna funkcje spełniająca warunki:
S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c)) (łaczność)
S(a, b) = S(b, a) (przemienność)
S(a, b)  S(d, c) dla a  d, b  c (monotoniczność)
S(a, 0) = a (warunek brzegowy)
S
Wprowadźmy oznaczenie S(a, b )  a  b
Operatory s -normy
Relacje rozmyte
Zbiory rozmyte
sformułowaniami
pozwalają
nam
operować
nieprecyzyjnym
temperatura wody odpowiednia do kąpieli
szybki samochód
Zajmiemy się teraz relacjami rozmytymi.
Relacje takie pozwalają sprecyzować nieprecyzyjne sformułowania np.
x jest znacznie mniejsze od y
zdarzenie x miało miejsce dużo wcześniej niż zdarzenie y
Definicja
Relacją rozmytą R między dwoma niepustymi zbiorami
(nierozmytymi) X i Y nazywamy zbiór rozmyty określony na
iloczynie kartezjańskim X Y tzn:
R  x, y , R ( x, y ) x  X y Y
gdzie
R : X Y  [0,1]
jest funkcją przynależności.
Oznaczenia
R

X Y
R ( x, y )
( x, y )
R

X Y
R ( x, y )
( x, y )
Przykład
Niech X={3,4,5} i Y={4,5}.
Zdefiniujmy następującą relację
0,8
0,3
1
0,8
0,8
1
R





(3,4) (3,5) ( 4,4) ( 4,5) (5,4) (5,5)
Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania „x
jest mniej więcej równe y”.
Funkcja przynależności dla tej relacji
 1 dla

R ( x, y )  0,8 dla
0,3 dla

xy
x y 1
xy 2
Przykład (cd)
Relację
R
0,8
0,3
1
0,8
0,8
1





(3,4) (3,5) ( 4,4) ( 4,5) (5,4) (5,5)
możemy zapisać za pomocą macierzy
y1 y 2
x1
x2
x3
0,8 0,3 
 1 0,8 


0,8 1 
gdzie x1=3, x2=4, x3=5 oraz y1=4, y2=5.
Przykład
Przyjmijmy, że X=Y=[40,300] będzie przedziałem prędkości
osiąganych przez samochody.
Rozważmy relację R o następującej funkcji przynależności
 0
x  y
R ( x, y )  
 70
 1
dla
xy 0
dla 0  x  y  70
dla
x  y  70
Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania
„samochód osiągający prędkość maksymalną x jest dużo
szybszy od samochodu osiągającego prędkość maksymalną y”.
Złożenie relacji
Niech X, Y i Z będą zbiorami nierozmytymi.
Rozważmy dwie relacje rozmyte
RX Y z funkcją przynależności
R ( x, y )
SY Z z funkcją przynależności
S ( y, z)
Definicja
Złożeniem typu sup-T relacji rozmytych R i S nazywamy relację
rozmytą RSX Z określoną następującą funkcją przynależności
T
R S ( x, z )  sup{ R ( x, y )  S ( y , z )}
y Y
gdzie T jest operatorem t –normy.
Przykład
Jeżeli T(a, b)=min{a, b} wówczas otrzymujemy
R S ( x, z )  sup{min{ R ( x, y ), S ( y , z )}}
y Y
(tzw. złożenie typu sup-min)
Jeżeli zbiór Y ma skończoną liczbę elementów wówczas
R S ( x, z )  max {min{R ( x, y ), S ( y , z )} }
y Y
(tzw. złożenie typu max-min)
Przykład
Rozważmy dwie relacje rozmyte
0,3 1 
R

0
,
6
0
,
7


0,4 1 0,4
S

0
,
3
0
,
8
1


gdzie X={x1, x2}, Y={y1, y2}, Z={z1, z2, z3}
Złożenie typu max-min relacji R i S ma postać
0,3 1  0,4 1 0,4
R S  




0,6 0,7 0,3 0,8 1 
a11 a12 a13 


a
a
a
22
23 
 21
Przykład (cd)
Korzystając ze wzoru
R S ( x, z )  max {min{R ( x, y ), S ( y , z )} }
y Y
Znajdujemy wartości aij
a11  max{min{ 0,3;0,4};min{ 1;0,3}}  0,3
a12  max{min{ 0,3;1};min{ 1;0,8}}  0,8
a13  max{min{ 0,3;0,4};min{ 1;1}}  1
a21  max{min{ 0,6;0,4};min{ 0,7;0,3}}  0,4
a22  max{min{ 0,6;1};min{ 0,7;0,8}}  0,7
a23  max{min{ 0,6;0,4};min{ 0,7;1}}  0,7
Przykład (cd)
Ostatecznie
0,3 0,8 1 
R S  

0
,
4
0
,
7
0
,
7


Złożenie relacji - własności
2
R I  I R  R
R O  O  R  O
3
R  S  T  R  S  T 
4
R m  R n  R mn
1
5
R 
m n
 R mn
6 R  (S  T )  (R  S )  (R  T )
7 R  (S  T )  (R  S )  (R  T )
8
S  T  R  S  R T
Przykład
Rozważmy relacje rozmyte RX Y , IY Z, OY Z
r11 r12 
R

r
r
 21 22 
 1 0
I

0
1


0 0
O

0
0


gdzie X={x1, x2}, Y={y1, y2}, Z={z1, z2}
Złożenie typu max-min relacji R i I ma postać
r11
R I  
r21
max{min{ r11,1},min{ r12 ,0}}
max{min{ r ,1},min{ r ,0}}
21
22

r12  1 0




r22  0 1
max{min{ r11,0},min{ r12 ,1}} 


max{min{ r21,0},min{ r22 ,1}}
Przykład (cd)
czyli
r11 r12  1 0 r11 r12 
R I  


R



r21 r22  0 1 r21 r22 
Złożenie typu max-min relacji R i O ma postać
r11
R O  
r21
max{min{ r11,0},min{ r12 ,0}}
max{min{ r ,0},min{ r ,0}}
21
22

r12  0 0




r22  0 0
max{min{ r11,0},min{ r12 ,0}} 


max{min{ r21,0},min{ r22 ,0}}
0 0

O

0 0
Koniec wykładu 2