Transcript o A z 2
Kapitola R2 Typy rotačných plôch Priamkové, cyklické a kvadratické rotačné plochy 1 Podľa druhu čiary, ktorá rotuje okolo osi rotácie, môžeme vytvoriť nasledujúce typy rotačných plôch: 1) Priamkové rotačné plochy – čiara je priamka. 2) Cyklické rotačné plochy – čiara je kružnica. 3) Kvadratické rotačné plochy – čiara je kužeľosečka a otáča sa okolo svojej osi. 4) Všeobecné rotačné plochy – čiara je ľubovoľná krivka. V tejto kapitole sa venujeme priamkovým, cyklickým a kvadratickým rotačným plochám. 2 1) Priamkové rotačné plochy 3 Mészárosová,Tereňová 1) Priamkové rotačné plochy Priamková rotačná plocha vznikne rotáciou priamky p okolo osi rotácie o, pričom priamky p a o nie sú totožné ani navzájom kolmé. Ak je priamka p rovnobežná s osou o, tak rotáciou vznikne rotačná valcová plocha. Ak je priamka p rôznobežná s osou o, tak rotáciou vznikne rotačná kužeľová plocha. Ak je priamka p mimobežná s osou o, tak rotáciou vznikne jednodielny rotačný hyperboloid. o o o DWFx p p p Rotačná valcová plocha Rotačná kužeľová plocha Jednodielny rotačný hyperboloid 4 Valcová a kužeľová plocha Shin Takamatsu Kunibiki Messe Shimane, Japonsko 1993 http://ojisanjake.blogspot.com/2010/06/atrium-at-kunibiki-messe.html 5 Jednodielny rotačný hyperboloid – aplikácie v dizajne http://xahlee.org/surface/hyperboloid1/hyperboloid1.html http://www.momastore.org/museum/moma/ProductDisplay_Satell ite%20Bowl_10451_10001_49586_-1_26669_26673_47604 Poznámka: Jednodielny rotačný hyperboloid vznikne aj rotáciou hyperboly okolo svojej vedľajšej osi (pozri v ďalšej časti tejto kapitoly). 6 Jednodielny rotačný hyperboloid Gerber Architekten Burj Al-Taqa – Energy Tower Návrh stavby http://www.archispass.org/index.php?s=mre 7 2) Cyklické rotačné plochy 8 2) Cyklické rotačné plochy Cyklická rotačná plocha vzniká rotáciou kružnice k so stredom S okolo osi rotácie o, pričom kružnica k neleží v rovine kolmej na os rotácie o. Ak os rotácie leží v rovine kružnice k a prechádza bodom S, tak rotáciou vznikne guľová plocha. Ak os rotácie leží v rovine kružnice k a neprechádza bodom S, tak rotáciou vznikne anuloid. Ak os rotácie neleží v rovine kružnice k, tak rotáciou vznikne globoid. o=z o y S S k x o=z k Anuloid Guľová plocha Tereňová y S DWFx x k Globoid 9 Guľová plocha Shin Takamatsu Business center Tbilisi http://www.takamatsu.co.jp/en/project_detail.php?id=109 10 Guľová plocha – aplikácia v dizajne Miroslav Hrdý Práca študenta odboru Dizajn 2009 11 Guľová plocha Renzo Piano Columbus International Exposition Aquarium and Congress Hall Janov, Taliansko http://top-people.starmedia.com/art/renzo-piano_17206.html 12 Guľová plocha Luis De Garrido Eye Of Horus, Eco-House Sedir Adasi Island, Turkey http://bydleni.idnes.cz/naomi-campbellove-se-splnil-sen-bude-bydlet-v-oku-boha -hora-pn3-/architektura.aspx?c=A110926_152223_architektura_web 13 Anuloid je plocha, ktorá je v technickej praxi často používaná. Anuloid môže vzniknúť dvoma spôsobmi: a) Anuloid vzniká rotáciou kružnice k okolo osi rotácie o, ktorá leží v rovine kružnice k, ale neprechádza stredom S kružnice k. Stred kružnice k rotuje po kružnici s. b) Anuloid je obalová plocha systému guľových plôch, ktoré vzniknú rotáciou guľovej plochy G so stredom S okolo osi rotácie o, pričom S o. To znamená, že všetky guľové plochy majú rovnaký polomer a ich stredy ležia na kružnici s. a) S k o b) o s S s G Tereňová 14 Obidva spôsoby vytvorenia anuloidu spolu súvisia: Anuloid vytvorený ako obalová plocha systému guľových plôch sa dotýka každej guľovej plochy G práve pozdĺž tvoriacej (rotovanej) kružnice k. Guľová plocha G a kružnica k majú spoločný stred S. z=o z=o k k x x G y y 12 polôh rotovanej guľovej plochy G a 12 polôh rotovanej kružnice k Poznámka: Obalové plochy pozri aj v kapitole K2 Plochy. Anuloid ako obalová plocha a 12 dotykových kružníc k DWFx Tereňová 15 a) Anuloid vzniká rotáciou kružnice k okolo osi rotácie o, ktorá leží v rovine kružnice k, ale neprechádza stredom kružnice k. Podľa vzájomnej polohy kružnice k a osi rotácie o rozlišujeme tri typy anuloidov: Toroid – ak tvoriaca kružnica k nepretína os rotácie o. Axoid – ak sa tvoriaca kružnica k dotýka osi rotácie o. Melonoid – ak tvoriaca kružnica k pretína os rotácie o. o2 k2 o2 k2 x1,2 x1,2 o1 k1 k1 o Toroid o2 k2 o1 x1,2 k1 o DWFx Axoid o1 o Melonoid Tereňová 16 Časť anuloidu (melonoidu) – os rotácie je v šikmej polohe. Takasaki Masaharu Astronomical Museum Kihoku-cho, Japan http://binarysimulacra.files.wordpress.com/2011/01/masaharu_big.jpg 17 Ak chceme zobraziť anuloid v kolmom premietaní, napríklad v kolmej axonometrii, výhodné je použiť druhú možnosť vytvorenia anuloidu: b) Anuloid je obalová plocha systému guľových plôch, ktoré majú rovnaký polomer a ich stredy ležia na kružnici s. z=o z=o x y z=o O s S = S1 x S y So k xo x y Oo Poznámka: Pozri príklad R10 v kapitole R4. Mészárosová, Tereňová 18 Kráterové kružnice rozdeľujú anuloid na dve časti: vonkajšiu a vnútornú. Poznámka: Na obrázku je vonkajšia časť anuloidu znázornená fialovou farbou, vnútorná časť modrou farbou. Body ležiace na vonkajšej časti anuloidu sú eliptické. To znamená, že dotyková rovina anuloidu v eliptickom bode neobsahuje žiadny iný bod anuloidu. Anuloid leží v jednom polpriestore určenom touto dotykovou rovinou. Body ležiace na vnútornej časti anuloidu sú hyperbolické. To znamená, že dotyková rovina anuloidu v hyperbolickom bode pretína anuloid v krivke, pre ktorú je tento bod dvojnásobným bodom. Anuloid leží v oboch polpriestoroch určených touto dotykovou rovinou. Poznámka: Pozri príklady 2, 4 , 5 a 10 v časti R5.3 Rovinné rezy anuloidu. Body kráterových kružníc sú parabolické. To znamená, že dotyková rovina anuloidu v parabolickom bode obsahuje čiaru anuloidu – kráterovú kružnicu a dotýka sa anuloidu v bodoch tejto kráterovej kružnice. o Tereňová Poznámka: Eliptické, hyperbolické a parabolické body pozri aj v kapitole K2 Plochy. 19 Časť anuloidu Santiago Calatrava Telekominikačná veža Montjuic Barcelona, Španielsko Olypiáda 1992 http://www.factoriaurbana.com/ciudades/torres.php?id=2&ciudadd=Barcelona 20 Použité plochy: rotačná valcová plocha, jednodielny rotačný hyperboloid, anuloid, rotačný elipsoid, guľová plocha. ŠACHOVÁ FIGÚRKA Strelec na E5 Jana Haluzová, Hana Matoušková, František Roztočil http://mat.fsv.cvut.cz/geometrie/galerie02.html 21 Anuloid nakreslený v perspektíve http://www.foylearts.net/ahutton/mobile/wp-content/uploads/2007/10/torus.gif 22 3) Kvadratické rotačné plochy 23 3) Kvadratické rotačné plochy Kvadratická rotačná plocha vzniká rotáciou kužeľosečky k okolo svojej osi. Poznámka: Kužeľosečky sú rovinné rezy rotačnej kužeľovej plochy: – Ak rovina rezu prechádza vrcholom kužeľovej plochy, tak rezom je singulárna kužeľosečka (bod, priamka alebo dvojica priamok). – Ak rezová rovina neprechádza vrcholom kužeľovej plochy, tak rezom je regulárna kužeľosečka (kružnica, elipsa, parabola alebo hyperbola). Kvadratické rotačné plochy rozdeľujeme na singulárne a regulárne. Singulárne kvadratické rotačné plochy: – Rotáciou priamky rovnobežnej s osou rotácie vznikne rotačná valcová plocha. – Rotáciou priamky rôznobežnej s osou rotácie vznikne rotačná kužeľová plocha. Regulárne kvadratické rotačné plochy: – Rotáciou kružnice okolo svojej osi vznikne guľová plocha. – Rotáciou elipsy okolo svojej hlavnej osi vznikne rotačný elipsoid predĺžený. – Rotáciou elipsy okolo svojej vedľajšej osi vznikne rotačný elipsoid sploštený. – Rotáciou paraboly okolo svojej osi vznikne rotačný paraboloid. – Rotáciou hyperboly okolo svojej hlavnej osi vznikne rotačný hyperboloid dvojdielny. – Rotáciou hyperboly okolo svojej vedľajšej osi vznikne rotačný hyperboloid jednodielny. Poznámka: Singulárne kvadratické rotačné plochy sú priamkové plochy. Teraz sa budeme venovať regulárnym kvadratickým rotačným plochám. 24 Guľová plocha – vznikne rotáciou kružnice k okolo svojej osi, ktorá je totožná s osou rotácie o. Guľová plocha má jeden rovník kr, nemá hrdlovú, ani kráterovú kružnicu. Rotáciou ľubovoľného bodu A kružnice k (A o) vznikne rovnobežková kružnica kA. Body S a J sú priesečníky osi rotácie o s guľovou plochou. z=o z=o – v kolmej axonometrii S S A kA k k kr kr x J y x DWFx y J Tereňová 25 Rotačný elipsoid predĺžený – vznikne rotáciou elipsy e okolo svojej hlavnej osi o. Plocha má jeden rovník kr, nemá hrdlovú, ani kráterovú kružnicu. Rotáciou ľubovoľného bodu A elipsy e (A o) vznikne rovnobežková kružnica kA. – v Mongeovej projekcii z=o z2 = o2 A2 k2A e2 – v kolmej axonometrii z=o x2 k2r e A kr kA e y x kr A1 y x1 e1 o1 x Tereňová k1A k1r DWFx y1 26 Rotačný elipsoid sploštený – vznikne rotáciou elipsy e okolo svojej vedľajšej osi o. Plocha má jeden rovník kr, nemá hrdlovú, ani kráterovú kružnicu. Rotáciou ľubovoľného bodu A elipsy e (A o) vznikne rovnobežková kružnica kA. z=o z2 = o2 – v Mongeovej projekcii A2 k2A x2 e k2r e2 kr x y z=o – v kolmej axonometrii A1 x1 A e x Tereňová e1 o1 k1A kA kr k1r y DWFx y1 27 Rotačný paraboloid – vznikne rotáciou paraboly p okolo svojej osi o. Plocha nemá rovník, nemá hrdlovú, ani kráterovú kružnicu. Rotáciou ľubovoľného bodu A paraboly p (A o) vznikne rovnobežková kružnica kA. z2 = o2 z=o – v Mongeovej projekcii p2 A2 B x B2 z=o p k2A x2 k2B y kB – v kolmej axonometrii B1 A1 x1 A p1 o1 kA k1A p Tereňová x B kB y k1B DWFx Poznámka: Na obrázkoch je znázornená časť rotačného paraboloidu nad pôdorysňou. y1 28 Rotačný hyperboloid jednodielny – vznikne rotáciou hyperboly h okolo svojej vedľajšej osi o, ale aj rotáciou priamky p, ktorá je mimobežná s osou rotácie o. Plocha má jednu hrdlovú kružnicu kh, nemá rovník, ani kráterovú kružnicu. Rotáciou ľubovoľného bodu A hyperboly h vznikne rovnobežková kružnica kA. z=o z=o – v kolmej axonometrii z=o C kC kC C kC kA A kh kh kh h p p q q h x B kB x y x B kB B kB y y Na ploche sa nachádzajú dve sústavy priamok. Jednu sústavu tvoria priamky, ktoré vzniknú rotáciou priamky p. Druhú sústavu tvoria priamky súmerné s priamkami z prvej sústavy podľa roviny hrdlovej kružnice. Poznámka: Na obrázkoch je znázornená časť rotačného hyperboloidu. DWFx 29 Rotačný hyperboloid jednodielny – vznikne rotáciou hyperboly h okolo svojej vedľajšej osi o, ale aj rotáciou priamky p, ktorá je mimobežná s osou rotácie o. z2 = o2 z2 = o2 – v Mongeovej projekcii C2 k2C A2 k2A k2h k2h h2 x2 p2 B1 = C1 A1 x1 h1 x2 k2B B2 o1 k1h q2 o1 x1 k1A p1 = q1 k1h k1B = k1C Tereňová y1 y1 30 Rotačný hyperboloid dvojdielny – vznikne rotáciou hyperboly h okolo svojej hlavnej osi o. Plocha nemá rovník, nemá hrdlovú, ani kráterovú kružnicu. Rotáciou ľubovoľného bodu A hyperboly h (A o) vznikne rovnobežková kružnica kA. z2 = o2 z=o – v kolmej axonometrii – v Mongeovej projekcii z=o C2 k2C C kC C h2 kC A2 k2A k2B x2 B2 h B1 = C1 A1 x1 h1 h x B Tereňová kB A y DWFx kA x B kB o1 k1A y Poznámka: Na obrázkoch je znázornená časť rotačného hyperboloidu. k1B = k1C y1 31 Rotačný elipsoid sploštený PAUL ANDREU National Theatre Peking, Čína http://images.businessweek.com/ss/05/12/china_wonders/source/11.htm 32 Rotačný elipsoid predĺžený so šikmou osou http://www.jameslawcybertecture.com/html5/ 33 Jednodielny rotačný hyperboloid s vodorovnou osou Corporation Street Footbridge Manchester http://www.hodderandpartners.com/projects/corporation-street-bridge-manchester 34 Jednodielny rotačný hyperboloid Oscar Niemeyer Katedrála v Brazílii http://0.tqn.com/d/architecture/1/0/1/x/MetropolitanCathedral.jpg 35 Rotačný elipsoid predĺžený s vodorovnou osou Shin Takamatsu Meteor Plaza Shimane, Japan http://www.takamatsu.co.jp/en/project_detail.php?id=199 36 Rotačný paraboloid Shin Takamatsu Tamayu health spa Shimane, Japan http://www.takamatsu.co.jp/en/project_detail.php?id=199 37 Časť anuloidu (melonoidu) – os rotácie je v šikmej polohe. Rotačný elipsoid predĺžený – os rotácie je vo vodorovnej polohe. Takasaki Masaharu Nanohanakan Senior Center The Kagosima Community http://backnumber.japan-architect.co.jp/english/2maga/ja/ja0065/works/047.html 38