Transcript pptx

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς
Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση
των ακεραίων.
Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο
Ο αλγόριθμος είναι πολυωνυμικού χρόνου εάν ο χρόνος εκτέλεσης είναι
πολυωνυμικός ως προς το
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Σύνολο ακεραίων
Σύνολο φυσικών
Έστω ακέραιοι
. Συμβολισμός:
-ο
Πρώτος αριθμός
: μοναδικοί διαιρέτες του:
διαιρεί τον
π.χ.
Θεώρημα της διαίρεσης
Έστω ακέραιοι
τέτοιοι ώστε
και
. Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι
και
και
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Θεώρημα της διαίρεσης
Έστω ακέραιοι
και
τέτοιοι ώστε
. Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι
και
πηλίκο
υπόλοιπο
Κλάση ισοδυναμίας modulo n
κλάση ισοδυναμίας του
π.χ.
Για απλότητα γράφουμε
όπου υπονοείται
και
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Κοινοί διαιρέτες
Έστω
και
. Τότε
για οποιαδήποτε
μέγιστος κοινός διαιρέτης των
Θεώρημα
Έστω
δύο ακεραίων
το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών
όπου τουλάχιστον ένας είναι
. Τότε
Απόδειξη
Έστω
και έστω
Έχουμε
Αφού
Ομοίως, πρέπει
, πρέπει
. Επομένως
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Κοινοί διαιρέτες
Έστω
και
. Τότε
για οποιαδήποτε
μέγιστος κοινός διαιρέτης των
Θεώρημα
Έστω
δύο ακεραίων
το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών
όπου τουλάχιστον ένας είναι
. Τότε
Απόδειξη
Όμως
και
Επομένως
Προηγουμένως δείξαμε ότι
, άρα συνεπάγεται
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ιδιότητες
•
•
•
και
•
•
για οποιοδήποτε μη αρνητικό
και
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αμοιβαία Πρώτοι Ακέραιοι
π.χ.
για κάποιους
Θεώρημα
Αν
και
τότε
πρώτος αριθμός. Αν
τότε
Θεώρημα
Έστω
ή
(ή και τα δύο).
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Θεώρημα Μοναδικής Παραγοντοποίησης
Οποιοσδήποτε σύνθετος ακέραιος
μπορεί να γραφτεί με έναν και μόνο τρόπο
ως γινόμενο της μορφής
όπου τα
είναι πρώτοι αριθμοί,
, και τα
θετικοί ακέραιοι.
Η παραγοντοποίηση σύνθετων ακέραιων είναι δύσκολο πρόβλημα, (ειδικά για
αριθμούς της μορφής
όπου
μεγάλοι πρώτοι αριθμοί)
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Έστω θετικοί ακέραιοι
και
Τότε
με παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη
Βασίζεται στον κανόνα
όπου
είναι θετικοί ακέραιοι
int Euclid(int a, int b)
{
if b==0 return a;
return Euclid(b, a%b);
}
Παράδειγμα
Euclid (128,40)=
Euclid (40,8)=
Euclid (8,0)=
8
Ευκλείδης (300 πΧ)
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη
Βασίζεται στον κανόνα
όπου
είναι θετικοί ακέραιοι
Απόδειξη
Έστω
Έχουμε
και
Ευκλείδης (300 πΧ)
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη
Βασίζεται στον κανόνα
όπου
είναι θετικοί ακέραιοι
Απόδειξη
Έστω
Έχουμε
και
Ευκλείδης (300 πΧ)
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη
Βασίζεται στον κανόνα
όπου
είναι θετικοί ακέραιοι
Ιδιότητα: Αν
τότε
Ευκλείδης (300 πΧ)
0
b
a
a/2
Απόδειξη:
a mod b
0
a/2
b
a
a mod b
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη
Βασίζεται στον κανόνα
όπου
είναι θετικοί ακέραιοι
Ιδιότητα: Αν
τότε
Ευκλείδης (300 πΧ)
0
b
a
a/2
χρειάζονται
a mod b
0
a/2
b
a
a mod b
αναδρομικές κλήσεις
κλήσεις για αριθμούς των
bits
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη
Βασίζεται στον κανόνα
όπου
είναι θετικοί ακέραιοι
Λήμμα: Αν
πραγματοποιεί
και
και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη
αναδρομικές κλήσεις, τότε
, όπου
Απόδειξη Με επαγωγή ως προς
Τότε
οι αριθμοί Fibonacci
. Βάση
Ευκλείδης (300 πΧ)
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη
Βασίζεται στον κανόνα
όπου
είναι θετικοί ακέραιοι
Λήμμα: Αν
πραγματοποιεί
και
και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη
αναδρομικές κλήσεις, τότε
, όπου
Απόδειξη Επαγωγικό βήμα
οι αριθμοί Fibonacci
.
. Επιπλέον
Ευκλείδης (300 πΧ)
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη
Βασίζεται στον κανόνα
όπου
είναι θετικοί ακέραιοι
Λήμμα: Αν
πραγματοποιεί
και
και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη
αναδρομικές κλήσεις, τότε
, όπου
Απόδειξη Επαγωγικό βήμα
οι αριθμοί Fibonacci
.
. Επιπλέον
Άρα
Ευκλείδης (300 πΧ)
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη
Βασίζεται στον κανόνα
όπου
είναι θετικοί ακέραιοι
Θεώρημα του Lame
Για οποιοδήποτε ακέραιο
, αν
και
, τότε ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί
αναδρομικές κλήσεις
Ευκλείδης (300 πΧ)
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη
Βασίζεται στον κανόνα
όπου
είναι θετικοί ακέραιοι
Θεώρημα του Lame
Για οποιοδήποτε ακέραιο
, αν
και
, τότε ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί
αναδρομικές κλήσεις
Χειρότερη περίπτωση:
Ευκλείδης (300 πΧ)
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη - Επέκταση
Υπολογίζει τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού
Ευκλείδης (300 πΧ)
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Αλγόριθμος του Ευκλείδη - Επέκταση
Υπολογίζει τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού
Ευκλείδης (300 πΧ)
Άρα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Πρόσθεση modulo n
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ομάδα
σύνολο στοιχείων
διμελής πράξη επί του
Ιδιότητες
1. Κλειστότητα: Για όλα τα
2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει
3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα
4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε
ισχύει
τέτοιο ώστε
, ισχύει ότι
υπάρχει μοναδικό
τέτοιο ώστε
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ομάδα
σύνολο στοιχείων
διμελής πράξη επί του
Ιδιότητες
1. Κλειστότητα: Για όλα τα
2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει
3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα
4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε
ισχύει
τέτοιο ώστε
, ισχύει ότι
υπάρχει μοναδικό
Αβελιανή Ομάδα: Ικανοποιεί επιπλέον
5. Αντιμεταθετικότητα: Για όλα τα
ισχύει
τέτοιο ώστε
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ομάδα
σύνολο στοιχείων
διμελής πράξη επί του
Ιδιότητες
1. Κλειστότητα: Για όλα τα
2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει
3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα
4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε
ισχύει
τέτοιο ώστε
, ισχύει ότι
υπάρχει μοναδικό
Αβελιανή Ομάδα: Ικανοποιεί επιπλέον
5. Αντιμεταθετικότητα: Για όλα τα
Πεπερασμένη Ομάδα:
ισχύει
τέτοιο ώστε
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ομάδες επί του
Έστω
και
Έχουμε
Πρόσθεση modulo n :
προσθετική ομάδα modulo n
Είναι πεπερασμένη ομάδα με
Θεώρημα
Το σύστημα
είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ομάδες επί του
Θεώρημα
Το σύστημα
Ιδιότητες
1. Κλειστότητα:
2. Ουδέτερο στοιχείο:
3. Προσεταιριστικότητα:
4. Αντίστροφο στοιχείο:
5. Αντιμεταθετικότητα:
είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ομάδες επί του
Έστω
και
Έχουμε
Πολλαπλασιασμός modulo n :
πολλαπλασιαστική ομάδα modulo n
όπου
Θεώρημα
Το σύστημα
είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ομάδες επί του
Θεώρημα
Το σύστημα
Ιδιότητες
1. Κλειστότητα:
2. Ουδέτερο στοιχείο:
3. Προσεταιριστικότητα:
4. Αντίστροφο στοιχείο:
5. Αντιμεταθετικότητα:
είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ομάδες επί του
Θεώρημα
Το σύστημα
είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα
Ιδιότητες
4. Αντίστροφο στοιχείο:
π.χ.
έχουμε
άρα
πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του
Διαίρεση στο
π.χ.
:
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ομάδες επί του
Θεώρημα
Το σύστημα
είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα
Συνάρτηση φ του Euler
π.χ.
Για πρώτο αριθμό
Για σύνθετο αριθμό
:
:
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ομάδες επί του
Απλοποιημένες αναπαραστάσεις
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υποομάδες
Ομάδα
Αν το
Σύστημα
είναι ομάδα τότε λέμε ότι το
είναι υποομάδα του
Θεώρημα
Αν το
είναι πεπερασμένη ομάδα και
για όλα τα
π.χ.
, τότε το
και
τέτοιο ώστε
είναι υποομάδα του
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υποομάδες
Ομάδα
Αν το
Σύστημα
είναι ομάδα τότε λέμε ότι το
είναι υποομάδα του
Θεώρημα
Αν το
είναι πεπερασμένη ομάδα και
για όλα τα
, τότε το
τέτοιο ώστε
είναι υποομάδα του
Θεώρημα του Lagrange
Αν
τότε το
είναι πεπερασμένη ομάδα και
είναι διαιρέτης του
είναι υποομάδα της
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υποομάδες
Ομάδα
Σύστημα
Αν το
είναι ομάδα τότε λέμε ότι το
είναι υποομάδα του
Θεώρημα
Αν το
είναι πεπερασμένη ομάδα και
για όλα τα
, τότε το
τέτοιο ώστε
είναι υποομάδα του
Θεώρημα του Lagrange
Αν
τότε το
είναι πεπερασμένη ομάδα και
είναι υποομάδα της
είναι διαιρέτης του
Γνήσια υποομάδα
Πόρισμα Αν
της
είναι πεπερασμένη ομάδα και
τότε
είναι γνήσια υποομάδα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία
Ομάδα
Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης
που έχουμε επιλέξει
π.χ.
τότε για
έχουμε την ακολουθία
από ένα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία
Ομάδα
Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης
που έχουμε επιλέξει
Από την προσεταιριστικότητα της
έχουμε
Υποομάδα που γεννάται από το
:
π.χ. στο
από ένα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία
Ομάδα
Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης
που έχουμε επιλέξει
Από την προσεταιριστικότητα της
έχουμε
Υποομάδα που γεννάται από το
:
π.χ. στο
από ένα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία
Ομάδα
Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης
από ένα
που έχουμε επιλέξει
Από την προσεταιριστικότητα της
έχουμε
Υποομάδα που γεννάται από το
:
Τάξη του
:
δηλαδή ο μικρότερος θετικός ακέραιος που δίνει το ουδέτερο στοιχείο
Θεώρημα Έστω
πεπερασμένη ομάδα και
. Τότε
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία
Θεώρημα Έστω
πεπερασμένη ομάδα και
. Τότε
Απόδειξη
Έστω
άρα
Συνεπάγεται ότι για κάθε
υπάρχει
τέτοιο ώστε
Επομένως
Απομένει να δείξουμε ότι τα στοιχεία
Έστω
οπότε για
Όμως
όπου
είναι όλα διαφορετικά
. Τότε ισχύει
έχουμε
άρα πρέπει
, δηλαδή καταλήγουμε σε άτοπο
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία
Θεώρημα Έστω
πεπερασμένη ομάδα και
. Τότε
Πόρισμα
Η ακολουθία
είναι περιοδική με περίοδο
Δηλαδή
Ορίζουμε
Πόρισμα Έστω
πεπερασμένη ομάδα και
. Τότε
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις
Δίνονται ακέραιοι
όπου
Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις
της εξίσωσης
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις
Δίνονται ακέραιοι
όπου
Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις
της εξίσωσης
Υπό ποιες προϋποθέσεις υπάρχει λύση;
Έστω
η υποομάδα της
που γεννάται από το
Παρατηρούμε ότι
επομένως για να υπάρχει λύση πρέπει
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις
Δίνονται ακέραιοι
όπου
Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις
Έστω
η υποομάδα της
της εξίσωσης
που γεννάται από το
Θεώρημα
Έστω
και επομένως
, όπου
θετικοί ακέραιοι. Τότε
. Πρέπει
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις
Θεώρημα
Έστω
, όπου
θετικοί ακέραιοι. Τότε
και επομένως
Απόδειξη
Έστω
Άρα
η τριάδα που επιστρέφει η κλήση
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις
Θεώρημα
Έστω
, όπου
θετικοί ακέραιοι. Τότε
και επομένως
Απόδειξη
Έστω
η τριάδα που επιστρέφει η κλήση
Άρα
Απομένει να δείξουμε
Έστω
και
. Τότε υπάρχουν ακέραιοι
. Όμως
και
τέτοιοι ώστε
άρα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις
Θεώρημα
Έστω
, όπου
θετικοί ακέραιοι. Τότε
και επομένως
Πόρισμα
Η εξίσωση
είναι επιλύσιμη ως προς το
εάν και μόνο εάν
Πόρισμα
Η εξίσωση
είτε καμία
είτε έχει
διαφορετικές λύσεις modulo n
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις
Θεώρημα
Έστω
Εάν
, και
ακέραιοι τέτοιοι ώστε
τότε μια από τις λύσεις της εξίσωσης
είναι η
Θεώρημα
Έστω
,
και
Τότε αυτή η εξίσωση έχει ακριβώς
τη σχέση
μια λύση της εξίσωσης
λύσεις, modulo n, οι οποίες δίνονται από
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις
Πόρισμα
Για οποιοδήποτε
, εάν
, τότε η εξίσωση
έχει μοναδική λύση, modulo n.
Πόρισμα
Για οποιοδήποτε
, εάν
, τότε η εξίσωση
έχει μοναδική λύση, modulo n. Σε αντίθετη περίπτωση δεν έχει καμία λύση.
Εάν η εξίσωση
έχει λύση τότε η μοναδική λύση της είναι ο
πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του
Έστω
Τότε
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου
Έστω
Η απεικόνιση
όπου τα
είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί.
όπου
και
είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός)
Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του
στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα.
Δηλαδή, εάν
και
μπορούν να μεταφερθούν
τότε
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου
Έστω
Η απεικόνιση
όπου τα
είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί.
όπου
και
είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός)
Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του
στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα.
Μετασχηματισμός
μπορούν να μεταφερθούν
: Πραγματοποιείται εύκολα με
διαιρέσεις
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου
Έστω
όπου τα
Η απεικόνιση
είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί.
όπου
και
είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός)
Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του
στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα.
Μετασχηματισμός
Θέτουμε για
Για
:
έχουμε:
ενώ
άρα
:
μπορούν να μεταφερθούν
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου
Έστω
όπου τα
Η απεικόνιση
είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί.
όπου
και
είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός)
Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του
στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα.
μπορούν να μεταφερθούν
Πόρισμα
Έστω
όπου τα
είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί.
Τότε για οποιουσδήποτε ακέραιους
έχει μοναδική λύση modulo n για τον άγνωστο
το σύνολο των εξισώσεων
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου
Έστω
όπου τα
Η απεικόνιση
είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί.
όπου
και
είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός)
Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του
στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα.
μπορούν να μεταφερθούν
Πόρισμα
Έστω
όπου τα
Τότε για οποιουσδήποτε ακέραιους
εάν και μόνο εάν
είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί.
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Δυνάμεις ενός στοιχείου
Ακολουθία δυνάμεων
Π.χ.
υποομάδα της
τάξη του
που γεννάται από το
στο
με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Δυνάμεις ενός στοιχείου
Ακολουθία δυνάμεων
Π.χ.
υποομάδα της
τάξη του
Εάν
Εάν το
που γεννάται από το
με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό
στο
τότε το
είναι γεννήτορας (ή αρχική ρίζα) του
έχει γεννήτορα τότε ονομάζεται κυκλική ομάδα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Δυνάμεις ενός στοιχείου
Ακολουθία δυνάμεων
υποομάδα της
που γεννάται από το
τάξη του
Εάν
Εάν το
με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό
στο
τότε το
είναι γεννήτορας (ή αρχική ρίζα) του
έχει γεννήτορα τότε ονομάζεται κυκλική ομάδα
Θεώρημα
Οι τιμές του
για τις οποίες η ομάδα
για κάθε πρώτο αριθμό
είναι κυκλική είναι οι
και κάθε θετικό ακέραιο
και
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Δυνάμεις ενός στοιχείου
Ακολουθία δυνάμεων
υποομάδα της
τάξη του
που γεννάται από το
με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό
στο
Θεώρημα του Euler
Για οποιοδήποτε ακέραιο
για κάθε
Θεώρημα του Fermat (Fermat’s little theorem)
Εάν ο
είναι πρώτος αριθμός, τότε
για κάθε
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm)
Έστω
ένας γεννήτορας του
είναι ένας αριθμός
. Ο διακριτός λογάριθμος ή δείκτης του
που ικανοποιεί τη σχέση
διακριτός λογάριθμος του
στη βάση
Θεώρημα του διακριτού λογαρίθμου
Έστω
ένας γεννήτορας του
εάν και μόνο εάν
Απόδειξη
Έχουμε
. Τότε η ισότητα
ισχύει
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm)
Έστω
ένας γεννήτορας του
. Ο διακριτός λογάριθμος ή δείκτης του
είναι ένας αριθμός
που ικανοποιεί τη σχέση
διακριτός λογάριθμος του
στη βάση
Θεώρημα του διακριτού λογαρίθμου
Έστω
ένας γεννήτορας του
. Τότε η ισότητα
εάν και μόνο εάν
Απόδειξη
Έχουμε
έχει περίοδο
άρα η ακολουθία δυνάμεων του
. Επομένως
ισχύει
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm)
Έστω
ένας γεννήτορας του
. Ο διακριτός λογάριθμος ή δείκτης του
είναι ένας αριθμός
που ικανοποιεί τη σχέση
διακριτός λογάριθμος του
στη βάση
Θεώρημα
Αν ο
είναι περιττός πρώτος αριθμός και
εξίσωσης
Απόδειξη Έστω
τότε οι μοναδικές λύσεις της
είναι
γεννήτορας του
Έχουμε
άρα υπάρχουν 2 λύσεις
Τότε
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm)
Αν
και ικανοποιεί την εξίσωση
τότε ο
είναι μη τετριμμένη τετραγωνική ρίζα του
Πόρισμα
Εάν υπάρχει μη τετριμμένη τετραγωνική ρίζα του
τότε ο αριθμός
είναι σύνθετος
Το παραπάνω πόρισμα χρησιμοποιείται για τον έλεγχο αν ο
είναι πρώτος
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Υπολογισμός δύναμης με επαναληπτικό τετραγωνισμό
Γρήγορος υπολογισμός του
Έστω
η δυαδική αναπαράσταση του
Πριν την κάθε επανάληψη του βρόχου
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Κρυπτογράφηση
κρυπτογράφηση
αποκρυπτογράφηση
Eavesdropper
Bob
Alice
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Κρυπτοσύστημα Δημόσιου Κλειδιού
κρυπτογράφηση
αποκρυπτογράφηση
Eavesdropper
Bob
Κάθε συμμετέχων
Alice
έχει ένα δημόσιο κλειδί
και ένα κρυφό κλειδί
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Κρυπτοσύστημα Δημόσιου Κλειδιού
• Προμηθεύεται το δημόσιο κλειδί
Bob
• Υπολογίζει το κρυπτογράφημα
• Στέλνει το
στην Alice
• Λαμβάνει το
Alice
• Εφαρμόζει το κρυφό της κλειδί
• Υπολογίζει το αρχικό μήνυμα
της Alice
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ψηφιακή Υπογραφή
υπογραφή
επαλήθευση
αποδοχή
Bob
Alice
Κάθε συμμετέχων
έχει ένα δημόσιο κλειδί
και ένα κρυφό κλειδί
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Ψηφιακή Υπογραφή
• Θέλει να στείλει ένα ψηφιακά υπογεγραμμένο μήνυμα
Alice
• Υπολογίζει την ψηφιακή της υπογραφή
• Στέλνει το ζεύγος μήνυμα/υπογραφή
• Προμηθεύεται το δημόσιο κλειδί
Bob
της Alice
• Υπολογίζει τo
• Εάν
τότε αποδέχεται το μήνυμα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman)
Διαδικασία υπολογισμού δημόσιου κλειδιού
και κρυφού κλειδιού
1. Επιλέγει τυχαία δύο μεγάλους πρώτους αριθμούς
2. Υπολογίζει το γινόμενο
3. Επιλέγει μικρό περιττό ακέραιο
αμοιβαία πρώτο με το
4. Υπολογίζει το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο
του
5. Δημοσιοποιεί ως προσωπικό δημόσιο κλειδί το ζεύγος
6. Κρατάει μυστικό ως προσωπικό κρυφό κλειδί το ζεύγος
Κρυπτογράφηση :
Αποκρυπτογράφηση :
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman)
Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA)
Οι εξισώσεις
αντίστροφους μετασχηματισμούς στο
και
:
ορίζουν
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman)
Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA)
Οι εξισώσεις
και
αντίστροφους μετασχηματισμούς στο
ορίζουν
:
Απόδειξη
Έχουμε
όπου
για κάποιον ακέραιο
Έστω
Όμως
.
. Τότε
, άρα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman)
Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA)
Οι εξισώσεις
και
αντίστροφους μετασχηματισμούς στο
ορίζουν
:
Απόδειξη
Έχουμε
όπου
για κάποιον ακέραιο
Έστω
.
. Τότε
Όμως
Έστω
, άρα
. Τότε και πάλι
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman)
Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA)
Οι εξισώσεις
και
αντίστροφους μετασχηματισμούς στο
:
Απόδειξη
Έχουμε
όπου
για κάποιον ακέραιο
.
Άρα δείξαμε ότι για κάθε
Ομοίως έχουμε, για κάθε
Από το κινέζικο θεώρημα υπολοίπου συνεπάγεται
ορίζουν
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Έλεγχος Πρώτευσης
Πως μπορούμε να ελέγξουμε αποδοτικά εάν ένας ακέραιος
Συνάρτηση κατανομής πρώτων αριθμών
είναι πρώτος;
πλήθος πρώτων αριθμών
Θεώρημα των πρώτων αριθμών
Ένας τυχαία επιλεγμένος αριθμός
έχει πιθανότητα
να είναι πρώτος
Απλοϊκός έλεγχος πρώτευσης : Επιχειρούμε να διαιρέσουμε το
ακέραιο
με κάθε
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Έλεγχος Ψευδοπρώτευσης
Εάν ο
είναι πρώτος τότε
Εάν ο
είναι σύνθετος αλλά ικανοποιεί την σχέση
τότε ονομάζεται ψευδοπρώτος ως προς βάση
Εάν
για κάθε
Γρήγορος έλεγχος : Επιλέγουμε
είναι πρώτος
και ελέγχουμε αν
Αν δεν ισχύει δηλώνουμε ότι
σύνθετος
Διαφορετικά δηλώνουμε ότι
πρώτος
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Έλεγχος Ψευδοπρώτευσης
Εάν ο
είναι πρώτος τότε
Εάν ο
είναι σύνθετος αλλά ικανοποιεί την σχέση
τότε ονομάζεται ψευδοπρώτος ως προς βάση
Εάν
για κάθε
Γρήγορος έλεγχος : Επιλέγουμε
υπάρχει (μικρή)
πιθανότητα
σφάλματος
είναι πρώτος
και ελέγχουμε αν
Αν δεν ισχύει δηλώνουμε ότι
σύνθετος
Διαφορετικά δηλώνουμε ότι
πρώτος
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Έλεγχος Ψευδοπρώτευσης
Εάν ο
είναι πρώτος τότε
Εάν ο
είναι σύνθετος αλλά ικανοποιεί την σχέση
τότε ονομάζεται ψευδοπρώτος ως προς βάση
Εάν
για κάθε
Αριθμοί Carmichael : Σύνθετοι αριθμοί
είναι πρώτος
που ικανοποιούν για κάθε
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Έλεγχος Πρώτευσης Miller-Rabin
όπου
και
περιττός ακέραιος
Εκτελεί την ακόλουθη ρουτίνα για
τυχαίες τιμές του
Η παραπάνω ρουτίνα ελέγχει αν ο
αποδεικνύει ότι ο
είναι σύνθετος
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Έλεγχος Πρώτευσης Miller-Rabin
όπου
και
περιττός ακέραιος
Εκτελεί την ακόλουθη ρουτίνα για
τυχαίες τιμές του
Η παραπάνω ρουτίνα ελέγχει αν ο
αποδεικνύει ότι ο
Αν καμία κλήση δεν επιστρέψει
τότε ο
είναι σύνθετος
είναι πρώτος με μεγάλη πιθανότητα
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Έλεγχος Πρώτευσης Miller-Rabin
Αν μια τιμή του
δεν αποτελεί τεκμήριο ότι ο
Επιπλέον μπορεί να δειχθεί ότι
όπου
είναι σύνθετος τότε
υποομάδα της
Άρα από το θεώρημα του Lagrange
Επομένως, η πιθανότητα ο
είναι
, άρα
να μην αποτελεί τεκμήριο ότι ο
μετά από
είναι σύνθετος
δοκιμές τυχαίων τιμών του