Transcript ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΘΑΛΗ ΟΡΙΣΜΟΙ
Άρτιος
ονοµάζεται κάθε ακέραιος που είναι πολλαπλάσιο του 2. Έχει τη µορφή 2 κ όπου κ ∈ Z
Περιττός
ονοµάζεται κάθε ακέραιος που δεν είναι άρτιος . Έχει την µορφή 2 κ +1 ( ή 2 κ -1) όπου κ ∈ Z
ΟΡΙΣΜΟΣ
Έστω α , β δύο ακέραιοι µε β ≠ 0. Θα λέµε ότι ο β διαιρεί τον α όταν η διαίρεση του α µε τον β είναι τέλεια . ΙΣΧΥΕΙ
α = πολ·β ( πολλαπλάσιο του β )
⇔
υπάρχει κ
∈
Z τέτοιο ώστε α = κ·β
ΟΝΟΜΑΣΙΕΣ
ο β ονοµάζεται διαιρέτης του α ή παράγοντας του . ο α ονοµάζεται πολλαπλάσιο του β
1.
2.
Αν ο α είναι ακέραιος , τότε και ο ( 2 α α + 2) είναι ακέραιος . 3 Να αποδειχτεί ότι : (i) Το γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος αριθµός . (ii) Το τετράγωνο κάθε περιττού ακεραίου είναι της µορφής 8 λ +1,
λ
∈ Ζ .
ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ
3.
Αν
α
είναι ένας περιττός ακέραιος , να αποδείξετε ότι
4.
α
2 + (
α
+ 2 ) 2 + (
α
+ 4 ) 2 + 1 ∈
Z
. 12 Αν οι αριθµοί µ και ν είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι 4 µ − 2 + 4 ν + 2 ≤ 2 µ ν 1 , να αποδείξετε ότι ο ακέραιος Α = 2 µ + 2 ν είναι πολλαπλάσιο του 34.
5.
Αν
α
,
β
είναι δύο περιττοί ακέραιοι , να αποδείξετε ότι
6.
7.
(i)
α
2 − 8
β
2 ∈
Z
και (ii)
α
4 +
β
4 − 2 ∈
Z
. 16 Για ποιες τιµές του ακεραίου
κ
ο αριθµός 3
κ
+ 4 είναι ακέραιος ; 5 Να προσδιορίσετε τους ακεραίους x, y, και που είναι τέτοιο ώστε : 0 ≤ x ≤ y ≤ z, και xyz +xy + yz + zx + x + y + z = 44
ΘΑΛΗΣ
8.
Να αποδείξετε ότι : (i) Το τετράγωνο ενός άρτιου είναι της µορφής
α
2 = 4
λ
,
λ
∈
Z
, ενώ το τετράγωνο ενός περιττού (ii) είναι της µορφής
α
2 Αν
α
,
β
= 4
λ
+ 1 ,
λ
∈
Z
. είναι περιττοί ακέραιοι , τότε η εξίσωση
x
2 =
α
2 +
β
2 δεν έχει ακέραιες ρίζες . (iii) Κανένας από τους όρους φυσικού αριθµού . της αριθµητικής προόδου : 6 , 10 , 14 , 18 , 22 ,...
δεν είναι τετράγωνο
9.
Έστω α ακέραιος περιττός αριθµός , να δείξετε ότι : (i) (ii) Το τετράγωνό του παίρνει τη µορφή 4 λ +1 Το γινόµενο ( α 2 + 3)( α 2 + 7) είναι άρτιος .
10.
11.
12.
13.
Πόσα ψηφία έχει ο αριθµός 8 28 ⋅ 5 80 . Να βρεθεί η τοµή των συνόλων
A
= {
n
2 3,
n
∈ ℕ } και
B
= {
n
4 + 1,
n
∈ ℕ }
(Gazeta Matematica)
Να ευρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθµοί που παίρνουν την µορφή :
n
4 + 4, Αν υπάρχουν θετικού αριθµοί , , , τέτοιοι ώστε να είναι :
n
∈ ℕ .
xy
(
x
+
y
2 −
z
) +
yz
(
y
+
z
2 −
x
) +
zx
(
z
+ 2
x
−
y
) ≤ 0 , να αποδείξετε ότι
x
=
y
= z
14.
15.
16.
Αν , 2 ,..., a είναι οι θετικοί διαιρέτες ενός ακέραιου αριθµού Α , να βρεθεί η τιµή της παράστασης :
K
= (
a
1 +
a
2 + ...
+
a n
1 ) : (
a
1 Να λυθεί η εξίσωση 4x 4 1 +
a
2 + ...
+ 1
a n
) y 2 στο σύνολο των ακεραίων Αν ο αριθµός m είναι ακέραιος , να αποδείξετε ότι ο αριθµός
A
=
m
2 5 − 3 +
m
2 3 + 1 δεν είναι ακέραιος .
17.
Αν 0 και ≠ 0 , δείξτε ότι : (
a
2 +
b
2 2
ab
−
c
2 ) 2015 + (
b
2 +
c
2 2
bc
−
a
2 ) 2016 + (
c
2 +
a
2 2
ac
−
b
2 ) 2017 = 1
18.
Αν ο α είναι περιττός ακέραιος , τότε ο αριθµός Α = α 2 + ( α + 2) 2 + ( α + 4) 2 + 1 διαιρείται µε το 12.
19.
∆είξτε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο ακέραιες τιµές για τον αριθµό
a
, ώστε η εξίσωση : 2
a x
2 + 21 =
x
2 + 10
ax
− 4 x , να έχει ως προς
x
δύο ρίζες ακέραιες .