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高度平衡二元搜尋樹
學號：96363034
姓名：胡容豪
何謂高度平衡二元搜尋樹
2
1.
1962年，兩位蘇聯數學家，G.M.AdelsonVelskii與E.M.Landis建立這個平衡的二元樹結
構。
2.
樹的取名，就是依據他們的名字─AVL樹。
3.
AVL樹就是子樹的高度差不超過1的搜尋樹。
兩棵二元搜尋樹
3
建立下列數字之二元搜尋樹
1.


依序 8,12,14,18,20,23,44,52
依序 23,18,12,8,14,20,44,52
兩棵二元搜尋樹
4
依序 8,12,14,18,20,23,44,52
依序 23,18,12,8,14,20,44,52
(b )
(a ) 一 個 不 平 衡 的
BST
一 個
AVL 樹
何謂高度平衡二元搜尋樹
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一棵空樹（empty tree）是高度平二元搜尋樹。
假使T不是空的二元搜尋樹，TL和TR分別是此二
元搜尋樹的左子樹和右子樹，若符合下列兩個
條件，則稱T為高度平衡二元搜尋樹：(1)TL和TR
亦是高度平衡二元搜尋樹。
(2)|hL-hR| ≤ 1，其中hL及hR分別是TL和TR的高度。
何謂高度平衡二元搜尋樹
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在一棵二元搜尋樹中有一節點p，其左子樹 (TL)
和右子樹 (TR) 的高度分別是hL和hR，而BF(p)表
示p節點的平衡因子（balanced factor）。平衡
因子之計算為hL-hR。在一棵AVL-tree裡，每一
節點的平衡因子為-1或零或1，即 |BF(p) | ≤
1。
一棵AVL樹
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( a ) 子 樹 2 3 是 平 衡 的 ：H L - H R = 1
( c ) 子 樹 4 4 是 平 衡 的 ：| H L - H R |= 1
( b ) 子 樹 1 8 是 平 衡 的 ： H L-H A = 1
AVL-tree的加入
8
1.
2.
高度平衡二元搜尋樹可能會因為加入或刪除某節
點而形成不平衡狀態，此時須視不平衡狀態是那
一類型，之後，再加以調整之。
通常不平衡的狀態可分為LL、RR、LR與RL四大類
型。
AVL-tree的加入
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利用加入的節點A與它最接近平衡因子絕對值大於
1(|BF|>1)的節點B：
1.
2.
3.
4.
若A在B節點的左邊的左邊，則為LL型。
若A在B節點的右邊的右邊，則為RR型。
若A在B節點的左邊的右邊，則為LR型。
若A在B節點的右邊的左邊，則為RL型。
AVL 樹的不平衡點調整之四種型式
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(１)LL型
(2)RR型
(3)LR型
(4)RL型
AVL 樹之平衡調整步驟
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1.
2.
3.
4.
找出關鍵路徑，計算路徑上每一節點的平衡因
子。
從樹根開始，找到最後一個平衡因子大於1以上
的節點，稱為關鍵節點。
決定調整種類（LL、RR、RL、LR）。
進行調整，必須保持二元搜尋樹的定義。
AVL-tree的加入
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一、 LL型（左邊的左邊）
加入前的AVL-tree如下：
AVL-tree的加入
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加入30後的AVL-tree如下：每個節點的上面數字
表示平衡因子。
AVL-tree的加入
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此時50節點的|BF|>1，因此不為一棵AVL-tree，
其調整的方法乃將40往上提，50放在40的右
方，如下圖所示：
AVL-tree的加入
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二、 RR型（右邊的右邊）
此RR型與LL型大同小異，如加入前的AVL-tree
為：
AVL-tree的加入
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加入70後的AVL-tree為：
AVL-tree的加入
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此時有一節點50，其|BF|>1，因此不為AVLtree，其型態為RR型，調整的方法乃將60往上
提，50放在60的左方，如下圖所示：
AVL-tree的加入
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三、 LR型（左邊的右邊）
假設有一棵AVL-tree如下：
AVL-tree的加入
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今加入45，則將變為不是一棵AVL-tree，它是屬
於LR型，因為加入的節點45位於節點
50(|BF|>1)的左邊的右邊。
AVL-tree的加入
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調整的方式將45往上提，比45小的放在左邊，
比45大的放在右邊，結果如下所示：
AVL-tree的加入
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四、RL型（右邊的左邊）
基本上RL型和LR型大致上類似。有一棵AVL-tree
如下：
AVL-tree的加入
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今加入節點55後，將變成不是一棵AVL-tree，它
是RL型，因為加入的節點55，位於節點
50(|BF|>1)的右邊的左邊。
AVL-tree的加入
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調整的方式將55往上提，並將小於55的節點放
在左邊，大於55的節點放在右邊，如下圖所
示：
失去平衡的AVL樹
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(a ) 情 況 1 ： 左 邊 的 左 邊
(b ) 情 況 2 ： 右 邊 的 右 邊
失去平衡的AVL樹
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(c ) 情 況 3 ： 左 邊 的 右 邊
(d ) 情 況 4 ： 右 邊 的 左 邊
進階 LL型
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新 增 12 之 後
旋 轉 之 後
簡 單 右 旋 轉
新 增 4 之 後
複 雜 右 旋 轉
旋 轉 之 後
進階 RR型
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簡 單 左 旋 轉
複 雜 左 旋 轉
進階 LR型
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簡 單 的 向 右 旋 轉 兩 次
在 右 旋 轉 前 的 樹
旋 轉 前 的 樹
在 右 旋 轉 之 後
複 雜 的 向 右 旋 轉 兩 次
進階 RL型
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簡 單 的 向 左 旋 轉 兩 次
旋 轉 前 的 樹
向 右 旋 轉 後
向 左 旋 轉 後
複 雜 的 向 左 旋 轉 兩 次
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在下圖之平衡二元樹，加入 node 11 後，重新調
整之平衡樹為何？
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AVL-tree的刪除
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AVL-tree的刪除與二元搜尋樹的刪除相同，當刪
除的動作完成後，再計算平衡因子，作適當
的調整，直到平衡因子的絕對值皆小於等於
1。
1.
2.
3.
4.
找出關鍵路徑，計算路徑上每一節點的平衡
因子。
從樹根開始，找到最後一個平衡因子大於1以
上的節點，稱為關鍵節點。
決定調整種類（LL、RR、RL、LR）。
進行調整，必須保持二元搜尋樹的定義。
AVL-tree的刪除
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EX1: 如果想要刪除節點50，因為它為一個樹葉
節點，所以可以直接將它刪除。
AVL-tree的刪除
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AVL-tree的刪除
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從樹根尋找關鍵節點（遇到第一個BF值的絕對值大
於1的節點）為30，當關鍵節點的BF值大於等於0時
往左子樹、小於0往右子樹找下一個節點，由於節
點30的BF值為2大於等於0，故往pivot節點的左子樹
找到節點20，其BF值大於等於0，找到此可知調整
型態為LL型，不需再往下搜尋。調整結果如下：
AVL-tree的刪除
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AVL-tree的刪除
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AVL Tree:
若欲刪除80，可找到
替代節點90（右子樹
中最小的節點），如
下圖所示：
AVL-tree的刪除
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從樹根尋找關鍵節點，它是90那個節點，其BF
值為2大於0，往其左子樹尋找下一節點的BF值
為-1小於0，由此可知調整型態為LR型，結果如
下：