Transcript 2-3-4 Tree的加入

2-3 tree 與2-3-4 tree
授課老師：蕭志明
2-3 tree
一棵 2-3 樹必須符合下列幾項定義：
(１) 2-3 tree 中的節點可以存放一筆或兩筆資料。
(２) 若節點中存放了一筆資料 Ldata.key ，其必須存在
兩個子節點-左子節點與中子節點。假設資料 Ldata
的鍵值為 Ldata.key ，則：
(ａ) 左子節點所存放的資料鍵值必須小於 Ldata.key 。
(ｂ) 中子節點存放的資料鍵值必須大於 Ldata.key 。
2
2-3 tree
(３) 若節點中存放了兩筆資料 Ldata 與 Rdata ，則會存在三個
子節點-左子節點、中子節點與右子節點。假設資料 Ldata 、
Rdata 的鍵值分別為 Ldata.key 與 Rdata.key，則：
(ａ) Ldata.key < Rdata.key 。
(ｂ) 左子節點所存放的資料鍵值必須小於 Ldata.key 。
(ｃ) 中子節點所存放的資料鍵值必須大於 Ldata.key 和小於 Rdata.key 。
(ｄ) 右子節點所存放的資料鍵值必須大於 Rdata.key 。
(４) 樹中的所有樹葉節點必須為同一階度 ( Level ) 。
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2-3 tree特性
(１) 有 n 個元素的 2-3 tree 之高度介於
[ log3( n+1 ) ] 和 [ log2( n+1 ) ]。
(２) 在高度為 h 的 2-3 tree 中，元素的個數介
於 2h - 1 到 3h - 1 。
(３) 在 n 個元素的 2-3 tree 中，插入和刪除需
要時間為 O( log n ) 。
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2-3 tree
依序加入60,90,55,15,25,17
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2-3 tree的加入
從2-3 Tree的開始搜尋，假使加入的資料其鍵值在2-3
Tree中找不到，則加入2-3 Tree中：
1. 該節點只有一筆資料，則直接加入。
2. 該節點已存在兩筆資料，加入後不符合2-3 tree的定
義，因此必須將此節點一分為二，並將中間的鍵值，
往上提到父節點。
f
6
f
2-3 tree的加入
(2)承(1)加入90 ，由於g節點已有兩個鍵值 80與85，因此必須將g節點劃分為
g, h 兩個節點，然後將85加入其父節點c中，因為85介於80和90之間
加入90
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2-3 tree的加入
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(3)承(2)加入55。
加入55
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2-3 tree的加入
(4)承(3)加入15
加入15
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2-3 tree的加入
(5)承(4)加入25
加入25
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2-3 tree的加入
(6)承(5)加再加入17以同樣方法，其結果如下所
示：
加入17
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2-3 tree的刪除
2-3 Tree的刪除分成兩部份：
一為刪除的鍵值是在樹葉節點上（leaf node）。
刪除下圖中的10,85,90,80
二為刪除的鍵值是在非樹葉節點（non-leaf node）。
刪除下圖中的60,70,90,95,75
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2-3 tree的刪除
1. 若刪除的鍵值是在樹葉節點上：
(1)今欲刪除圖10-2中節點d的鍵值10，則
可直接刪除之，因為刪除後還有一個，
故還符合2-3 Tree的定義。
刪除10
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2-3 tree的刪除
(2)假設我們要刪除的是圖10-2中節點g的鍵值85，此時不可直接刪除之，我
們必需向左或右兄弟節點借一個鍵值，一般而言我都先向右邊的節點借，
若右邊節點沒有，再向左邊節點借，這不是絕對的順序。ok，若我們向右
邊的節點h借，則需借一個最小的鍵值95（為什麼?），然後以g節點之父
節點c中的鍵值90（挑介於 85和95之間的鍵值）取代刪除的85，並將95
往上提到c節點上。最後結果如下圖所示：
刪除85
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2-3 tree的刪除
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2-3 tree的刪除
承上若繼續刪除90，則右兄弟節點沒有多餘的鍵值，而左兄弟
節點有一個以上的鍵值，因此向左兄弟節點借一個最大值75，
往上提至父節點，並將父節點的80（因為它介於75和90之間）
取代90，最後結果如下圖所示：
刪除90
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2-3 tree的刪除
承上繼續刪除80的話，則因為它的左右兄弟節點皆無一個以上
的鍵值，此時必需挑左或右兄弟與其父節點的某一鍵值合併：
刪除80
如挑右兄弟節點和父節點合併結果
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若挑左兄弟節點和父節點合併
2-3 tree的刪除
2. 刪除的鍵值在非樹葉節點上：
若此時欲刪除的圖10-2中a節點的鍵值60．則可以找此節點之
右子樹中最小的鍵值來取代，或找左子樹中最大的鍵值來取
代之，若以右子樹中最小的鍵值來取代的話，則f節點的70將
取代60，如下圖所示：
刪除60
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2-3 tree的刪除
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2-3 tree的刪除
承上再刪除70鍵值
刪除70
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2-3 tree的刪除
承上再刪除90
刪除90
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2-3 tree的刪除
承上再刪除95
刪除95
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2-3 tree的刪除

承上若再刪除75，若以右子樹中的80取代的話後，情形如
下圖所示：
刪除75
則此不符合2-3 tree的定義，因為有一節點沒有鍵值故需再調整之，最後如下圖所示：
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2-3 tree的刪除
 若以左子樹中的50取代的話，則結果如下圖所示：
刪除75
這好比在刪除50的樹葉節點一般，其實我們可以在刪
除非樹葉節點的鍵值時，隨機的挑選以右子樹的最小
值或左子樹的最大值交換的應用。
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2-3-4 Tree
一棵2-3-4 Tree必須符合下列定義：
1.2-3-4 Tree中的節點可以存放一筆、兩筆或三筆資料。
2.若節點中存放了一筆資料Ldata，其必須存在兩個子節點－
左子節點與左中子節點，而且
(1)左子節點所存放的資料必須小於Ldata；
(2)左中子節點存放的資料必須大於Ldata。
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2-3-4 Tree
3. 若節點中存放了兩筆資料Ldata與Mdata，則會存在
三個子節點－左子節點、左中子節點與右中子節點。
(1)Ldata<Mdata；
(2)左子節點所存放的資料必須小於Ldata；
(3)左中子節點所存放的資料必須大於Ldata，小於Mdata；
(4)右中子節點所存放的資料必須大於Mdata。
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2-3-4 Tree
4.若節點中存放了三筆資料Ldata、Mdata與Rdata，則
會存在四個子節點－左子節點、左中子節點、右中子
節點與右子節點。
(1)Ldata < Mdata < Rdata；
(2)左子節點所存放的資料必須小於Ldata；
(3)左中子節點所存放的資料必須大於Ldata，小於Mdata；
(4)右中子節點所存放的資料必須大於Mdata，小於Rdata；
(5)右子節點所存放的資料必須大於Rdata。
5.樹中的所有樹葉節點必須為同一階度（Level）。
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2-3-4 Tree特性
(１) 有 n 個元素的 2-3-4 tree ，其高度介於 ┌
log4(n+1) ┐和 ┌ log2(n+1) ┐。
(２) 在 n
個元素的 2-3-4 tree 中，插入和刪除需要時間
為 O( logn ) 。
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2-3-4 Tree的加入
2-3-4 Tree的加入與2-3 Tree十分類似，假設
存在一2-3-4 Tree，如下圖所示：
加入60
30
2-3-4 Tree的加入
承上再加入70於d節點
加入70
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2-3-4 Tree的加入
承上再加入95
加入95
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2-3-4 Tree的加入
承上再加入75
加入75
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2-3-4 Tree的加入
 由於e節點不符合2-3-4 Tree的定義，故需加
以調整之，將80提至父節點a中，並將e分為
二，如下所示：
調整
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2-3-4 Tree的加入
 但此時a亦是不符合2-3-4 Tree的定義，故繼
續調整之，最後的結果如下圖所示：
調整
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2-3-4 Tree的刪除
此動作與2-3 Tree相同，底下介紹2-3-4 Tree
刪除樹葉節點的方法，若刪除70 ：
刪除70
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2-3-4 Tree的刪除
刪除20
刪除20
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2-3-4 Tree的刪除
刪除30
刪除20
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