Transcript Logaritmická funkce a její posunutí

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420
Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín
NÁZEV MATERIÁLU:
Logaritmická funkce
a její posunutí
Autor: Mgr. Břetislav Macek
Rok vydání: 2013
Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály
jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv
další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko.
Logaritmická funkce
a její posunutí
Osnova
a)
b)
c)
d)
e)
pojem logaritmická funkce
sestrojení grafu logaritmické funkce
posunutí grafu logaritmické funkce
ukázkové příklady
příklady na procvičení včetně řešení
Logaritmická funkce
• předpis: f: y = loga x
(čteme: logaritmus o základu a z hodnoty x)
• kde: x R+ (někdy se D(f) změní)
a R+ - {1} nebo a (0;1) (1; ∞)
pozn.: logaritmická a exponenciální funkce jsou si navzájem inverzní
(převrácené)
Logaritmická funkce
• tvar grafu logaritmické funkce závisí na a (základ)
a (0;1)
a (1; ∞)
klesající
rostoucí
Ukázkový příklad:
Sestrojte graf logaritmické funkce f: y= log2 x . Určete
definiční obor a obor hodnot.
• definiční obor této funkce f je R+, protože hodnota logaritmu musí být x > 0
f´: y = 2x
vytvoříme exponenciální funkci s D(f) = R
x
-1
0
1
y
1/2
1
2
k ní sestrojíme tabulku (pro funkci f´)
jedna hodnota záporná v řádku x
f: y = log2 x
x
1/2
1
2
y
-1
0
1
a tabulku pro funkci f´ pak následně
převrátíme a dostaneme tabulku pro funkci f
Ukázkový příklad:
a sestrojíme graf podle tabulky pro funkci f a určíme H(f)
H(f) = R
Příklady na procvičení
př. 1: Sestrojte graf funkce f: y = log1/4 x . Určete H(f).
Řešení
př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = log3 x . Určete H(f).
Řešení
př. 3: Sestrojte graf funkce f: y = log-2 x . Určete H(f).
Řešení
přeskočit
Řešení př. 1:
Sestrojte graf funkce f: y = log1/4 x. Určete H(f).
D(f) funkce f je R+ , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být x > 0 .
Jelikož a (0; 1)  klesající
expon. funkce: f´: y =
x
-1
0
1
y
4
1
1/4
logar. funkce: f : y = log1/4 x
x
4
1
1/4
y
-1
0
1
H(f) = R
zpět
Řešení př. 2:
Sestrojte graf funkce f: y = log3 x. Určete H(f).
D(f) funkce f je R+ , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být x > 0 .
Jelikož a (1; ∞)  rostoucí
expon. funkce: f´: y = 3x
x
-1
0
1
y
1/3
1
3
logar. funkce: f : y = log3 x
x
1/3
1
3
y
-1
0
1
H(f) = R
zpět
Řešení př. 3:
Sestrojte graf funkce f: y = log-2 x . Určete H(f).
D(f) funkce f je R+ , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být x > 0 .
Jelikož a není v rozmezí (0; 1) (1; ∞)  proto nelze sestrojit.
Příklad nemá řešení.
zpět
Posunutí logaritmické funkce
• zadaná funkce: f: y = loga (x+m) + n
• určíme základní funkci (je to jenom funkce f1: y = loga x) a
k ní sestavíme tabulku, kterou získáme prostřednictvím
expon. funkce, a sestrojíme graf
• určíme další funkci (f2: y = loga (x+m) ); graf této funkce
vznikne posunutím grafu funkce f1 dle daných pravidel a
vzniká u tohoto posunutí nová osa y´ právě v hodnotě + m
či - m :
jestli bude  f2: y = loga (x+m)  + m ... posuneme doleva dle osy x
jestli bude  f2: y = loga (x-m)  - m ... posuneme doprava dle osy x
Posunutí logaritmické funkce
• určíme další funkci (f3: y = loga (x+m) + n); graf této
funkce vznikne posunutím grafu předchozí funkce f2 dle
daných pravidel:
jestli bude  f3: y = loga (x+m) + n  + n ... posuneme nahoru dle
osy y
jestli bude  f3: y = loga (x+m) - n  - n ... posuneme dolů dle osy y
pozn.: funkce f3 = f a příklad z hlediska grafu je hotov; ještě určit D(f) a H(f)
všech funkcí
Ukázkový příklad:
Sestrojte graf logaritmické funkce f: y = log1/3 (x+1) – 2 . Určete
definiční obory a obory hodnot.
D(f) funkce f je ( -1; ∞) , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být
x+1>0.
Nejprve sestrojíme graf pro základní funkci f1: y = log1/3 x , ale k ní musíme
nejprve vytvořit exponenciální funkci  f1´ : y =
.
f1´: y =
x
-1
0
1
y
3
1
1/3
f1 : y = log1/3 x
x
3
1
1/3
y
-1
0
1
sestrojíme tabulku pro funkci f1´;
jedna hodnota záporná v řádku x
převrátíme tabulku
Ukázkový příklad:
Následně budeme posouvat graf základní funkce f1 a pak případně další nově
vzniklý graf
• doleva nebo doprava  f2: y = log1/3 (x +1 )  + 1 ... doleva dle osy x + nová osa y´
• dolů nebo nahoru  f3: y = log1/3 (x+1) - 2  - 2 ... dolů dle osy y
D(f1) = R+
H(f1) = R
D(f2) = ( - 1; ∞)
H(f2) = R
D(f3) = ( - 1; ∞) = D(f)
H(f3) = R = H(f)
Příklady na procvičení
př. 1: Sestrojte graf funkce f: y = log1/3 (x-2) . Určete D a H
všech funkcí.
Řešení
př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = log4 x – 1. Určete D a H
všech funkcí.
Řešení
př. 3: Sestrojte graf funkce f: y = log1/2 (x-4) + 3. Určete D a H
všech funkcí.
Řešení
přeskočit
Řešení př. 1:
Sestrojte graf funkce f: y = log1/3 (x - 2). Určete D a H všech
funkcí.
D(f) funkce f je ( 2; ∞) , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být
x–2>0.
základní funkce: f1: y = log1/3 x
expon. funkce: f1´: y =
x
-1
0
1
y
3
1
1/3
logar. funkce: f1 : y = log1/3 x
x
3
1
1/3
y
-1
0
1
Řešení př. 1:
D(f1) = R+
H(f1) = R
D(f2) = ( 2; ∞) = D(f)
H(f2) = R = H(f)
zpět
Řešení př. 2:
Sestrojte graf funkce f: y = log4 x - 1. Určete D a H všech funkcí.
D(f) funkce f je R+ , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být x > 0 .
základní funkce: f1: y = log4 x
expon. funkce: f1´: y = 4x
x
-1
0
1
y
1/4
1
4
logar. funkce: f1 : y = log4 x
x
1/4
1
4
y
-1
0
1
Řešení př. 2:
D(f1) = R+
H(f1) = R
D(f2) = R+ = D(f)
H(f2) = R = H(f)
zpět
Řešení př. 3:
Sestrojte graf funkce f: y = log1/2 (x – 4) + 3. Určete D a H všech
funkcí.
D(f) funkce f je ( 4; ∞) , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být
x-4≥0.
základní funkce: f1: y = log1/2 x
expon. funkce: f1´: y =
logar. funkce: f1 : y = log1/2 x
x
-1
0
1
y
2
1
1/2
x
2
1
1/2
y
-1
0
1
Řešení př. 3:
D(f1) = R+
H(f1) = R
D(f2) = ( 4; ∞)
H(f2) = R
D(f3) = ( 4; ∞) = D(f)
H(f3) = R = H(f)
zpět
Shrnutí
• předpis: f: y = loga x
• podle a (základu) má logaritmická funkce dva tvary:
a (0;1) ... klesá; a (1; ∞) ... roste
• posunutí:
jestli bude  f: y = loga (x + m)  + m ... posuneme doleva dle osy x
+ nová osa y´
jestli bude  f: y = loga (x – m)  - m ... posuneme doprava dle osy x
+ nová osa y´
jestli bude  f: y = loga (x + m) + n  + n ... posuneme nahoru dle osy y
jestli bude  f: y = loga (x – m) - n  - n ... posuneme dolů dle osy y
Zdroje
• HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z
matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2.
vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005.
Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6