Transcript Exponenciální funkce a její posunutí

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420
Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín
NÁZEV MATERIÁLU:
Exponenciální funkce
a její posunutí
Autor: Mgr. Břetislav Macek
Rok vydání: 2013
Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály
jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv
další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko.
Exponenciální funkce
a její posunutí
Osnova
a)
b)
c)
d)
e)
pojem exponenciální funkce
sestrojení grafu exponenciální funkce
posunutí grafu exponenciální funkce
ukázkové příklady
příklady na procvičení včetně řešení
Exponenciální funkce
• předpis: f: y = a x
• kde: x R ; a R+ - {1} nebo a (0;1) (1; ∞)
pozn.: kdyby se a = 1, nejednalo by se o exponenciální funkci, ale
o lineární funkci (a konkrétně o konstantní funkci)
• grafem je : exponenciála
Exponenciální funkce
• tvar grafu exponenciální funkce závisí na a (základ)
a (0;1)
a (1; ∞)
klesající
rostoucí
Ukázkový příklad:
Sestrojte graf exponenciální funkce f: y = 2x . Určete definiční
obor a obor hodnot.
Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R.
f: y = 2x
x
-1
0
1
y
1/2
1
2
sestrojíme tabulku pro funkci f;
jedna hodnota záporná v řádku x
Ukázkový příklad:
H(f) = ( 0; ∞)
Příklady na procvičení
př. 1: Sestrojte graf funkce f: y =
. Určete H(f).
Řešení
př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = - 3x . Určete H(f).
Řešení
př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = (- 2)x . Určete H(f).
Řešení
přeskočit
Řešení př. 1:
Sestrojte graf funkce f: y =
. Určete H(f).
Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R.
Jelikož a (0; 1)  klesající
tabulka pro funkci f
x
-1
0
1
y
4
1
1/4
H(f) = ( 0; ∞)
zpět
Řešení př. 2:
Sestrojte graf funkce f: y = - 3x . Určete H(f).
Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R.
Jelikož a (1; ∞)  rostoucí
tabulka pro funkci f
x
-1
0
1
y
- 1/3
-1
-3
H(f) = (- ∞; 0)
zpět
Řešení př. 3:
Sestrojte graf funkce f: y = (- 2)x . Určete H(f).
Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R.
Jelikož a není v rozmezí (0; 1) (1; ∞)  proto nelze sestrojit.
Příklad nemá řešení.
zpět
Posunutí exponenciální funkce
• zadaná funkce: f: y = ax+m + n
• určíme základní funkci (je to jenom funkce f1: y = ax) a k
ni sestavíme tabulku a graf
• určíme další funkci (f2: y = ax+m); graf této funkce vznikne
posunutím grafu funkce f1 dle daných pravidel:
jestli bude  f2: y = ax+m  + m ... posuneme doleva dle osy x
jestli bude  f2: y = ax-m  - m ... posuneme doprava dle osy x
Posunutí exponenciální funkce
• určíme další funkci (f3: y = ax+m + n); graf této funkce
vznikne posunutím grafu předchozí funkce f2 dle daných
pravidel a vzniká u tohoto posunutí nová osa x´ právě v
hodnotě + n či - n:
jestli bude  f3: y = ax+m + n  + n ... posuneme nahoru dle osy y
jestli bude  f3: y = ax-m - n  - n ... posuneme dolů dle osy y
pozn.: funkce f3 = f a příklad z hlediska grafu je hotov; ještě určít D(f) a H(f)
všech funkcí
Ukázkový příklad:
Sestrojte graf exponenciální funkce f: y = 3x+1 – 2 . Určete
definiční obory a obory hodnot.
Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R.
Nejprve sestrojíme graf pro základní funkci f1: y = 3x .
f1: y =
3x
x
-1
0
1
y
1/3
1
3
sestrojíme tabulku pro funkci f;
jedna hodnota záporná v řádku x
Následně budeme posouvat graf základní funkce f1 a pak případně
další nově vzniklý graf
• doleva nebo doprava  f2: y = 3x +1  + 1 ... doleva dle osy x
• dolů nebo nahoru  f3: y = 3x+1 - 2  - 2 ... dolů dle osy y + nová osa x´
Ukázkový příklad:
o1
doleva
D(f1) = R
H(f1) = ( 0; ∞)
D(f2) = R
H(f2) = ( 0; ∞)
D(f3) = R = D(f)
H(f3) = ( - 2; ∞) = H(f)
o 2 dolů
Příklady na procvičení
př. 1:
Sestrojte graf funkce f: y = 3x-2 . Určete D a H
všech funkcí.
Řešení
př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = 4x – 1. Určete D a H
všech funkcí.
Řešení
př. 3: Sestrojte graf funkce f: y = 2x-4 + 3. Určete D a H
všech funkcí.
Řešení
přeskočit
Řešení př. 1:
Sestrojte graf funkce f: y = 3x-2 . Určete D a H všech funkcí.
Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R.
Určíme základní funkci: f1: y = 3x.
tabulka pro funkci f 1
x
-1
0
1
y
1/3
1
3
Graf funkce f2: y = 3x-2 získáme tak, že graf funkce f1 posuneme o 2
jednotky doprava. Graf funkce f2 je graf celého příkladu tedy funkce f.
Řešení př. 1:
D(f1) = R
H(f1) = ( 0; ∞)
D(f2) = R = D(f)
H(f2) = ( 0; ∞) = H(f)
zpět
Řešení př. 2:
Sestrojte graf funkce f: y = 4x – 1. Určete D a H všech funkcí.
Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R.
Určíme základní funkci: f1: y = 4x.
tabulka pro funkci f 1
x
-1
0
1
y
1/4
1
4
Graf funkce f2: y = 4x – 1 získáme tak, že graf funkce f1 posuneme o 1
jednotku dolů a vznikne v –1 nová osa x´ . Graf funkce f2 je graf celého
příkladu tedy funkce f.
Řešení př. 2:
D(f1) = R
H(f1) = ( 0; ∞)
D(f2) = R = D(f)
H(f2) = ( -1; ∞) = H(f)
zpět
Řešení př. 3:
Sestrojte graf funkce f: y = 2x-4 + 3. Určete D a H všech funkcí.
Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R.
Určíme základní funkci: f1: y = 2x.
tabulka pro funkci f 1
x
-1
0
1
y
1/2
1
2
Graf funkce f2: y = 2x-4 získáme tak, že graf funkce f1 posuneme o 4
jednotky doprava. Graf funkce f3: y = 2x-4 + 3 získáme tak, že graf funkce
f2 posuneme o 3 jednotky nahoru a vznikne v +3 nová osa x´. Graf
funkce f3 je graf celého příkladu tedy funkce f.
Řešení př. 3:
D(f1) = R
H(f1) = ( 0; ∞)
D(f2) = R
H(f2) = ( 0; ∞)
D(f3) = R = D(f)
H(f3) = ( 3; ∞) = H(f)
zpět
Shrnutí
• předpis: f:y = ax
• podle a (základu) má exponenciální funkce dva tvary:
a (0;1) ... klesá; a (1; ∞) ... roste
• graf: exponenciála
• posunutí:
jestli bude
jestli bude
jestli bude
jestli bude




f: y = ax+m  + m ... posuneme doleva dle osy x
f: y = ax-m  - m ... posuneme doprava dle osy x
f: y = ax + n  + n ... posuneme nahoru dle osy y
f: y = ax - n  - n ... posuneme dolů dle osy y
Zdroje
• HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z
matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2.
vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005.
Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6