Transcript Unidad Nº 1 números complejos

Un nuevo conjunto…..
Los números complejos
Objetivos de Aprendizaje
 Comprender que los números complejos constituyen un conjunto numérico en
el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números
reales, y reconocer su relación con los números naturales, números enteros,
números racionales y números reales.
 Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones,
multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular conjeturas
acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus propiedades.
 Formular conjeturas, verificar para casos particulares y demostrar
proposiciones utilizando conceptos, propiedades o relaciones de los diversos
temas tratados en el nivel, y utilizar heurísticas para resolver problemas
combinando, modificando o generalizando estrategias conocidas, fomentando
la actitud reflexiva y crítica en la resolución de problemas.
 Interesarse por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.
 Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la
flexibilidad y la originalidad.
Objetivos:
Definir el conjunto de los números
complejos.
2. Simplificar potencias de i.
3. Difinir y usar las operaciones con números
complejos.
1.
3
Resuelve las siguientes ecuaciones
 𝑥 2 − 100 = 0
 𝑥2 − 8 = 0
 𝑥2 + 1 = 0
 𝑥2 + 9 = 0
Esquema de los conjuntos
numéricos
Definición
Un número de la forma a + bi donde a y b
son números reales, i   1 se conoce como
un número complejo .
La a se conoce como la parte real y la b se
conoce como la parte imaginaria del número
complejo.
i  1
se conoce com o la raíz im aginaria.
6
Definición
Al conjunto de números
C 
 a  bi / a  R , b  R ; i
2
 1 
se le conoce como el conjunto de números
complejos.
7
Ejemplos de números complejos:
1) 5  3i
4 ) 5i
2) 7  4i
5) 7
3)  1  6 i
8
Raíces pares de números negativos
Calcule las siguientes raíces.
1)
4  4  1  2 i
5i
2)
 25 
25   1 
3)
 12 
4  3  1  2 3 i
4)
 11 
11 i
9
5) 1 
8  1
 1
4  2    1
4
2
1 2 2 i
10
1
Definición
Dos números complejos son iguales si las partes
reales son iguales y las partes imaginarias
también son iguales .
Si a + bi = c + di entonces a = c y b = d.
11
Ejemplo:
Determine el valor de a y de b si
 a  6   2 bi
Si
a6  6
a 0
 6  5i
y
b
2b  5
5
2
12
Número Imaginario.
 Llamamos unidad imaginaria a 𝑖 que es igual a −1
 Cualquier número de la forma −𝑏 = 𝑏𝑖, con 𝑏 > 0, se
llama número imaginario.
 se pueden operar los números imaginarios como si fueran
términos algebraicos.
 Para calcular cualquier potencia de 𝑖, con exponente
natural, se tiene la siguiente regla:
1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0
𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1
𝒏
𝒊
−1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2
−𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3
Cálculo de potencias de 𝑖
Procedimiento para simplificar potencias de i
1. Divida el exponente por 4 y el resultado será i elevado
al residuo de la división.
2. Para simplificar use;
a.
i 1
b.
i i
c.
i  1
d.
i  i
0
1
2
3
15
Simplifica las potencias de i
1)
i  1
8
2) i
10
135
4 540
4
 i  1
2
14
12
3) i
540
 i 1
0
20
20
0
16
4) i
5)
i
13
227

i
285  4  71   1
 i  i
3
1
6) i
285
7) i

1127
i i
1127  4  281   3
 i  i
3
17
Cálculo potencias de 𝑖
Resumiendo: Potencias de 𝑖
𝒊𝒏
1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0
𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1
−1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2
−𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3
Ejemplos:
Definiciones de las Operaciones con Números
Complejos
1. Sum a :
 a  bi    c  di 
  a  c   b  d i
 5  i    6  2i  
E j em plo 1 :
  5  6   1  2  i
 11  i
21
2. R esta :
 a  bi    c  di 
  a  bi     c  di 
  a  c   b  d i
La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraen
E jem plo 1 :  3  2 i     6  3 i  
  3  2 i    6  3i 
22
 9  5i
Ejem plo 2 :
8 
 

 18  5 
 50 

 


 
 8  3 2i  5  5 2i
 8  3 2i  5  5 2i
 38 2 i
23

3. M ultiplicación :
 a  bi  .  c  di 
  ac  bd    ad  bc  i
Aclaración: La multiplicación se puede llevar a
cabo como si fuera una multiplicación de
polinomios.
 a  bi   c  di   ac  a d  i  b c  i
 bd  i
 a c   a d  b c  i  b d   1
  ac  bd    ad  bc  i
24
2
E jem p lo 1 :
 4  2i   3  5i  
 12  20 i  6 i  10 i
2
 12  20 i  6 i  10   1 
 12  14i  10
 22  14 i
25
E jem plo 2:  4  5 i  
2

 4  5i   4  5i 
 1 6  2 0i  2 0i  2 5i
 1 6  4 0i  2 5   1
 16  40 i  25
  9  40 i
26
2
E jem p lo 3 :
 2  3i 
3

 2  3i   2  3i 
2

 4  1 2 i  9 i   2  3i 

 4  1 2 i  9   1    2  3i 

 4  1 2 i  9   2  3i 
  5  1 2 i   2  3i 
2

2
  1 0  1 5i  2 4 i  3 6 i
  1 0  1 5i  2 4i  3 6
 46  9i
27
D efinición
El conjugado de z  a  bi se define por z  a  bi  a  bi.
E jem p lo s:
E n cu en tra el co n ju g ad o d e cad a n ú m ero .
1.
2  4i  2  4i
2.
2  4i  2  4i
3.
6 4 i   6 4i
4.
1 2  2 4 i  1 2  2 4i
5.
13  13
28
4. D ivisión:
 a  bi 
 c  di 
 a bi   c  d i 
 
 .

cdi cdi
La división se hace multiplicando por el conjugado
del denominador.
E jem plo 1:
8  7i
8  7 i 1  3i
•

1  3i 1  3i
1  3i

29
8  24 i  7 i  21 i
1  9i
2
2

8  17 i  21   1 


1  9   1
8  17 i  21
1 9
29
10

17
10
30

29  17 i
10
i
4  5i
E jem plo 2:
4  5i

3i
3i


 12 i  15 i
 9i
 12 i  15
9
31
2
2
•
 3i
 3i

 12 i  15

 12
i
15
9
9

4
9
i
3

5
3
32
5
3

4
3
i
Ejercicios:
Lleva a cabo la operación indicada.
1)
 5  i    7  2i  
2)
  3  12 i     6  3 i  
3)
1 2  2 3 i     1 6  1 3 i  
4)
  1 3  3 2 i     3 6  5 3i  
5)
 3  2 i    6  3i  
33
6)
 5  i   7  2i  
7)
  3  1 2 i    6  3i  
8)
9)
1  2i
 6  3i
3  2i
 6  3i
34


1)
2)
 5  i    7  2i  
12  i
  3  12 i     6  3 i  
   3  12 i    6  3 i   3  1 5 i
3)
1 2  2 3 i     1 6  1 3 i  
1 2  2 3i   1 6  1 3 i   2 8  3 6 i
35
4)
  1 3  3 2 i     3 6  5 3i  
5)
 3  2 i    6  3i  
 4 9  2 1i
 18  9 i  12 i  6 i
  1 8  2 1i  6   1 
  1 2  2 1i
6)
2
5

i
7

2
i



 35  10 i  7 i  2 i
 3 5  3i  2
 3 7  3i
36
2
7)
  3  1 2 i    6  3 i   18  9 i  72 i  36 i
 1 8  6 3i  3 6
 5 4  6 3i
8)
1  2i
 6  3i


1  2 i  6  3i
 6  3i  6  3i
 6  3i  12 i  6 i

2
36  9 i
 6  9i  6
 12  9 i
 4  3i



36  9
45
15
2
37
2
9)
3  2i

=
 6  3i
3  2 i  6  3i
 6  3i  6  3i
 18  9 i  12 i  6 i
=
2
36  9
 18  3 i  6
=
36  9
=
 24  3 i
45
38
=
8  i
15
Representación gráfica
 Para representar un número complejo o de la forma
a + bi, se utiliza un sistema de coordenadas
rectangulares, en el cual la parte real se representa en
el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical.
Ejemplos:
Valor Absoluto
 Es la distancia entre el origen y el punto que representa
al número complejo.
 El valor absoluto o módulo de un número complejo a +
bi está definido como:

|a + bi| = √(a² + b²)
 Ejemplo:
 |-4+2i| =
√(-4)²+(2)² = √20 = 2√5
Comprender que los números complejos constituyen un
conjunto numérico en el que es posible resolver problemas
que no tienen solución en los números reales, y reconocer
su relación con los números naturales, números enteros,
números racionales y números reales.
Cálculo Mental
 ¿Qué es un número imaginario?
 ¿Cómo obtenemos el valor de 𝑖 249 ?
 ¿Cómo se operan los números imaginarios?
Números complejos
 Los números complejos son aquellos que
tienen una parte real y una imaginaria.
 Son de la forma
𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖
Donde a y b pueden ser números positivos,
negativos y aún nulos.
Clases de números complejos
 Complejo real: es aquel cuya parte imaginaria es
nula.
 Complejo puro: es aquel cuya parte real es nula.
 Complejo nulo: es aquel cuya parte real y cuya parte
imaginarias son nulas.
 Complejos iguales: son dos complejos, que tienen
iguales sus partes reales e iguales sus partes
imaginarias.
Representación de números
complejos
 Forma gráfica: el complejo representa a un vector que
parte del origen del sistema coordenado. Sus ejes son
el eje real(Re) y el eje imaginario (Im).