Unidad Nº 1 números complejos
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Transcript Unidad Nº 1 números complejos
Un nuevo conjunto…..
Los números complejos
Objetivos de Aprendizaje
Comprender que los números complejos constituyen un conjunto numérico en
el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números
reales, y reconocer su relación con los números naturales, números enteros,
números racionales y números reales.
Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones,
multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular conjeturas
acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus propiedades.
Formular conjeturas, verificar para casos particulares y demostrar
proposiciones utilizando conceptos, propiedades o relaciones de los diversos
temas tratados en el nivel, y utilizar heurísticas para resolver problemas
combinando, modificando o generalizando estrategias conocidas, fomentando
la actitud reflexiva y crítica en la resolución de problemas.
Interesarse por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.
Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la
flexibilidad y la originalidad.
Objetivos:
Definir el conjunto de los números
complejos.
2. Simplificar potencias de i.
3. Difinir y usar las operaciones con números
complejos.
1.
3
Resuelve las siguientes ecuaciones
𝑥 2 − 100 = 0
𝑥2 − 8 = 0
𝑥2 + 1 = 0
𝑥2 + 9 = 0
Esquema de los conjuntos
numéricos
Definición
Un número de la forma a + bi donde a y b
son números reales, i 1 se conoce como
un número complejo .
La a se conoce como la parte real y la b se
conoce como la parte imaginaria del número
complejo.
i 1
se conoce com o la raíz im aginaria.
6
Definición
Al conjunto de números
C
a bi / a R , b R ; i
2
1
se le conoce como el conjunto de números
complejos.
7
Ejemplos de números complejos:
1) 5 3i
4 ) 5i
2) 7 4i
5) 7
3) 1 6 i
8
Raíces pares de números negativos
Calcule las siguientes raíces.
1)
4 4 1 2 i
5i
2)
25
25 1
3)
12
4 3 1 2 3 i
4)
11
11 i
9
5) 1
8 1
1
4 2 1
4
2
1 2 2 i
10
1
Definición
Dos números complejos son iguales si las partes
reales son iguales y las partes imaginarias
también son iguales .
Si a + bi = c + di entonces a = c y b = d.
11
Ejemplo:
Determine el valor de a y de b si
a 6 2 bi
Si
a6 6
a 0
6 5i
y
b
2b 5
5
2
12
Número Imaginario.
Llamamos unidad imaginaria a 𝑖 que es igual a −1
Cualquier número de la forma −𝑏 = 𝑏𝑖, con 𝑏 > 0, se
llama número imaginario.
se pueden operar los números imaginarios como si fueran
términos algebraicos.
Para calcular cualquier potencia de 𝑖, con exponente
natural, se tiene la siguiente regla:
1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0
𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1
𝒏
𝒊
−1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2
−𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3
Cálculo de potencias de 𝑖
Procedimiento para simplificar potencias de i
1. Divida el exponente por 4 y el resultado será i elevado
al residuo de la división.
2. Para simplificar use;
a.
i 1
b.
i i
c.
i 1
d.
i i
0
1
2
3
15
Simplifica las potencias de i
1)
i 1
8
2) i
10
135
4 540
4
i 1
2
14
12
3) i
540
i 1
0
20
20
0
16
4) i
5)
i
13
227
i
285 4 71 1
i i
3
1
6) i
285
7) i
1127
i i
1127 4 281 3
i i
3
17
Cálculo potencias de 𝑖
Resumiendo: Potencias de 𝑖
𝒊𝒏
1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0
𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1
−1 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2
−𝑖 𝑠𝑖 𝑛: 4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3
Ejemplos:
Definiciones de las Operaciones con Números
Complejos
1. Sum a :
a bi c di
a c b d i
5 i 6 2i
E j em plo 1 :
5 6 1 2 i
11 i
21
2. R esta :
a bi c di
a bi c di
a c b d i
La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraen
E jem plo 1 : 3 2 i 6 3 i
3 2 i 6 3i
22
9 5i
Ejem plo 2 :
8
18 5
50
8 3 2i 5 5 2i
8 3 2i 5 5 2i
38 2 i
23
3. M ultiplicación :
a bi . c di
ac bd ad bc i
Aclaración: La multiplicación se puede llevar a
cabo como si fuera una multiplicación de
polinomios.
a bi c di ac a d i b c i
bd i
a c a d b c i b d 1
ac bd ad bc i
24
2
E jem p lo 1 :
4 2i 3 5i
12 20 i 6 i 10 i
2
12 20 i 6 i 10 1
12 14i 10
22 14 i
25
E jem plo 2: 4 5 i
2
4 5i 4 5i
1 6 2 0i 2 0i 2 5i
1 6 4 0i 2 5 1
16 40 i 25
9 40 i
26
2
E jem p lo 3 :
2 3i
3
2 3i 2 3i
2
4 1 2 i 9 i 2 3i
4 1 2 i 9 1 2 3i
4 1 2 i 9 2 3i
5 1 2 i 2 3i
2
2
1 0 1 5i 2 4 i 3 6 i
1 0 1 5i 2 4i 3 6
46 9i
27
D efinición
El conjugado de z a bi se define por z a bi a bi.
E jem p lo s:
E n cu en tra el co n ju g ad o d e cad a n ú m ero .
1.
2 4i 2 4i
2.
2 4i 2 4i
3.
6 4 i 6 4i
4.
1 2 2 4 i 1 2 2 4i
5.
13 13
28
4. D ivisión:
a bi
c di
a bi c d i
.
cdi cdi
La división se hace multiplicando por el conjugado
del denominador.
E jem plo 1:
8 7i
8 7 i 1 3i
•
1 3i 1 3i
1 3i
29
8 24 i 7 i 21 i
1 9i
2
2
8 17 i 21 1
1 9 1
8 17 i 21
1 9
29
10
17
10
30
29 17 i
10
i
4 5i
E jem plo 2:
4 5i
3i
3i
12 i 15 i
9i
12 i 15
9
31
2
2
•
3i
3i
12 i 15
12
i
15
9
9
4
9
i
3
5
3
32
5
3
4
3
i
Ejercicios:
Lleva a cabo la operación indicada.
1)
5 i 7 2i
2)
3 12 i 6 3 i
3)
1 2 2 3 i 1 6 1 3 i
4)
1 3 3 2 i 3 6 5 3i
5)
3 2 i 6 3i
33
6)
5 i 7 2i
7)
3 1 2 i 6 3i
8)
9)
1 2i
6 3i
3 2i
6 3i
34
1)
2)
5 i 7 2i
12 i
3 12 i 6 3 i
3 12 i 6 3 i 3 1 5 i
3)
1 2 2 3 i 1 6 1 3 i
1 2 2 3i 1 6 1 3 i 2 8 3 6 i
35
4)
1 3 3 2 i 3 6 5 3i
5)
3 2 i 6 3i
4 9 2 1i
18 9 i 12 i 6 i
1 8 2 1i 6 1
1 2 2 1i
6)
2
5
i
7
2
i
35 10 i 7 i 2 i
3 5 3i 2
3 7 3i
36
2
7)
3 1 2 i 6 3 i 18 9 i 72 i 36 i
1 8 6 3i 3 6
5 4 6 3i
8)
1 2i
6 3i
1 2 i 6 3i
6 3i 6 3i
6 3i 12 i 6 i
2
36 9 i
6 9i 6
12 9 i
4 3i
36 9
45
15
2
37
2
9)
3 2i
=
6 3i
3 2 i 6 3i
6 3i 6 3i
18 9 i 12 i 6 i
=
2
36 9
18 3 i 6
=
36 9
=
24 3 i
45
38
=
8 i
15
Representación gráfica
Para representar un número complejo o de la forma
a + bi, se utiliza un sistema de coordenadas
rectangulares, en el cual la parte real se representa en
el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical.
Ejemplos:
Valor Absoluto
Es la distancia entre el origen y el punto que representa
al número complejo.
El valor absoluto o módulo de un número complejo a +
bi está definido como:
|a + bi| = √(a² + b²)
Ejemplo:
|-4+2i| =
√(-4)²+(2)² = √20 = 2√5
Comprender que los números complejos constituyen un
conjunto numérico en el que es posible resolver problemas
que no tienen solución en los números reales, y reconocer
su relación con los números naturales, números enteros,
números racionales y números reales.
Cálculo Mental
¿Qué es un número imaginario?
¿Cómo obtenemos el valor de 𝑖 249 ?
¿Cómo se operan los números imaginarios?
Números complejos
Los números complejos son aquellos que
tienen una parte real y una imaginaria.
Son de la forma
𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖
Donde a y b pueden ser números positivos,
negativos y aún nulos.
Clases de números complejos
Complejo real: es aquel cuya parte imaginaria es
nula.
Complejo puro: es aquel cuya parte real es nula.
Complejo nulo: es aquel cuya parte real y cuya parte
imaginarias son nulas.
Complejos iguales: son dos complejos, que tienen
iguales sus partes reales e iguales sus partes
imaginarias.
Representación de números
complejos
Forma gráfica: el complejo representa a un vector que
parte del origen del sistema coordenado. Sus ejes son
el eje real(Re) y el eje imaginario (Im).