Transcript UNIDAD No. 1

Unidad 1: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
SOLUCIONES EN SERIE DE
ECUACIONES LINEALES
REPASO DE SERIES DE
POTENCIAS
Serie de potencias

Una serie de potencias es aquella que tiene la
forma:


cn x
n
 c 0  c1 x  c 2 x  c 3 x  
2
3
n0

en donde x es una variable y los cn son constantes
llamadas coeficientes de la serie.
De una manera más general, la serie de la forma:


c n ( x  a )  c 0  c1 ( x  a )  c 2 ( x  a )  c 3 ( x  a )  
n
2
n0
se llama serie de potencias en (x-a), o serie de
potencias centrada en a.
3
Convergencia


Una serie de potencias 
es
n0
convergente en un valor especificado de x
si su sucesión de sumas parciales {SN(x)}
converge, es decir, existe
cn ( x  a )
Lim
N  
S N ( x) 
Lim
N 
n

C


(x  a) .
n
n
n0
Si el límite no existe en x, entonces se dice
que la serie es divergente.
Ejemplo

La serie:


x
n
1 x  x  x 
2
3
n0
es una serie de potencias con cn=1 para toda
n.
Esta serie es una serie geométrica que
converge si -1<x<1.
El valor de convergencia de la serie es:

x
n0
n
1 x  x  x  
2
3
1
1 x
Intervalo de convergencia

Toda serie de potencias tiene un intervalo
de convergencia. El intervalo de
convergencia es el conjunto de números
reales x para los que converge la serie.
Radio de convergencia

Toda serie de potencias tiene un radio de
convergencia R.
Si R>0, entonces la serie

de potencias  c n ( x  a ) n converge para
n0
Ix-aI<R y diverge para Ix-aI>R.
Si la serie converge sólo en su centro a,
entonces R=0. Si la serie converge para
toda x, entonces se escribe R   .
Convergencia absoluta

Dentro de su intervalo de convergencia,
una serie de potencias converge
absolutamente. En otras palabras, si x es
un número en el intervalo de convergencia
y no es un extremo del intervalo,
entonces

la serie de valores absolutos  C n ( x  a ) n
n0
converge.
Prueba de la razón

La convergencia de una serie de potencias
suele determinarse mediante el criterio de
la razón. Suponga que C  0 para toda n y
n
que Lim C ( x  a ) n 1
Lim C
n 1
n 
Cn (x  a)
n
 xa
n 1
n   Cn
 L
Si L<1, la serie converge absolutamente.
Si L>1, la serie diverge y
Si L=1, el criterio no es concluyente.
Una serie de potencias
define una función

Una serie
de potencias define una función

n
f ( x )   C n ( x  a ) cuyo dominio es el
n0
intervalo de convergencia
de la serie. Si el radio de convergencia es
R>0, entonces, f es continua, diferenciablee
integrable en el intervalo (a-R,a+R). Además
f´(x) y  f ( x ) dx se encuentran mediante
diferenciación e integración término a
término.
Una serie de potencias
define una función…
La convergencia en un extremo se podría
perder por diferenciación o ganar por
integración.

n
y

C
x
 Si
 n es una serie de potencias en x,

n0
entonces las primeras dos derivadas son:

y 

C n nx
n 1
n0

y
y  

C n n ( n  1) x
n2
n0
Obsérvese que omitiendo los términos que


n

1
n2
son cero y    C n nx
y y    C n n ( n  1) x .
n 1
n2
Propiedad de identidad


Si  C n ( x  a ) n  0 , R>0, para los números x
n0
en el intervalo de convergencia, entonces
Cn=0 para toda n.
Analítica en un punto

Una función f es analítica en un punto a si
se puede representar mediante una serie
de potencias en x-a con un radio positivo o
infinito de convergencia.
Series de Taylor y de Maclaurin

Supongamos que f es cualquier función
representable mediante una serie de
potencias:
f ( x )  c 0  c1 ( x  a )  c 2 ( x  a )  c 3 ( x  a )  c 4 ( x  a )  
2
3
4
 Es posible verificar a partir de ello, que:
2
3
f ´( x )  c 1  2 c 2 ( x  a )  3 c 3 ( x  a )  4 c 4 ( x  a )  
f ´´( x )  2 c 2  2 * 3 c 3 ( x  a )  3 * 4 c 4 ( x  a )  
2
f ´´´( x )  2 * 3 c 3  2 * 3 * 4 c 4 ( x  a )  3 * 4 * 5 c 5 ( x  a )  
2
Series de Taylor y de
Maclaurin…

Si continuamos derivando y evaluando para
x=a, podemos llegar a lo siguiente:
f

(n)
( a )  n! c n
Al despejar el valor de cn, el resultado es:
cn 

f
(n)
(a )
n!
Esta fórmula es válida aún para n=0 si
adoptamos las convenciones de que 0!=1 y
que f(0)=f. De esta manera demostramos el
siguiente teorema:
Series de Taylor y de
Maclaurin…

Si f tiene una representación (desarrollo) en
forma de serie de potencias en a, esto es:

f ( x) 

cn (x  a)
n
n0
los coeficientes están expresados por la
(n)
fórmula:
f (a )
cn 
n!
Serie de Taylor

f ( x) 

f
(n)
n0
 f (a ) 
(a )
(x  a)
n
n!
f ´( a )
1!
(x  a) 
f ´´( a )
2!
(x  a) 
2
f ´´´( a )
3!
(x  a)  
3
Serie de Maclaurin

En el caso especial de que a=0, la serie de
Taylor se transforma en:

f ( x) 

n0
f
(n)
(0)
n!
( x )  f (0) 
n
f ´( 0 )
1!
( x) 
f ´´( 0 )
2!
( x) 
2
f ´´´( 0 )
3!
Esta serie recibe el nombre de serie de
Maclaurin.
( x)  
3
Problemas:

1.
2.
3.
Obtenga la serie de Maclaurin para cada
una de las siguientes funciones:
2
3
x
x
x
x
x
f(x) = e
e 1 


1!
2!
3!
f(x) = Sen(x)
3
5
7
x
x
x
f(x) = Cos(x)
Senx  x 



3!
Cosx  1 
x
2
2!
Nota: Son analíticas en x=0.
5!

x
7!
4
4!

x
6
6!

Aritmética de series de
potencias

Las series de potencias se combinan mediante
operaciones de suma, multiplicación y división.
Los procedimientos para las series de
potencias son similares a los que se usan para
sumar, multiplicar o dividir dos polinomios, es
decir, se suman los coeficientes de potencias
iguales de x, se usa la ley distributiva y se
reúnen términos semejantes.
Problema

Escriba como una suma de términos la
multiplicación de ex y Senx.
Recuerde que:
e  1
x
x
x

1!
Senx  x 
2
x

2!
x
3
3!

3

3!
x
5
5!

x
7
7!

Cambio del índice de suma

Es común simplificar la suma de dos o más
series de potencias expresada en una
notación de suma (sigma), en una
expresión con una sola sumatoria.
Su escritura puede requerir una
reindización, es decir el cambio del índice
de la suma.
Problema

Reescriba la expresión dada como una sola
serie de potencias en cuyo término general
aparezca xk.

 2 nC
n 1
n
x
n 1

  6C n x
n0
n 1