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UNIDAD 25
Números complejos
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Docente: Ma. Belén Platero
INDICE
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Origen de los números complejo
Definición
Partes de un número complejo
Opuesto de un número complejo
Conjugado de un número complejo
Potencias
Regla para elevar (i) a cualquier potencia
Operaciones
Representación gráfica
Módulo y argumento
Forma de representar los números complejos
Algunas aplicaciones de los números complejos
Origen de los números complejos
•
•
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos
proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría
en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de
una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI,
cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los
polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos
como Tartaglia, Cardano.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de
ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de
números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue
acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de
números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo
mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en
1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La
implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el
Siglo XIX.
Definición
Llamamos números complejos a los números de
la forma Z= a + bi, donde a y b son números
reales
e i es la unidad imaginaria
Número real
Conjunto formado por los números racionales y los
irracionales.
Se representa con la letra ℝ
Unidad imaginaria
Definimos el número i, al que
llamamos unidad imaginaria, de un
número complejo al número
−1 → 𝑖 2 = ( −1)2 = -1
¡recuerda!
i2 = -1
Partes de un número complejo
Si z es un número complejo:
z = a + bi
a es la parte real de z
b es la parte imaginaria de z
Ejemplos:
Nº
Parte real
Parte
imaginaria
lasificación
-2+3i
-2
3
Complejo
0+2i
0
2
Imaginario
puro
5+0i
5
0
Real
Opuesto de un número
complejo
El complejo opuesto de z = a + bi es –z y tiene
opuestas las componentes real e imaginaria de z.
-z = - a – bi.
Ejemplos:
z
-z
5+i
-5-i
3-6i
-3+6i
-9+2i
9-2i
-1-3i
1+3i
Conjugado de un número
complejo
Dado un complejo z = a + bi , su conjugado (z) tiene
la misma parte real y opuesta la parte imaginaria.
z= a – bi
Ejemplos:
z
z
5+i
5-i
3-6i
3+6i
-9+2i
-9-2i
-1-3i
-1+3i
Potencias
• 𝑖 0 = 1 (Como cualquier número elevado a la
cero)
• 𝑖 2 = −1 (Por definición de la unidad imaginaria)
• 𝑖 3 = 𝑖 ∙ 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑖 2 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖
• 𝑖 4 = 𝑖 ∙ 𝑖 ∙ 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑖 2 ∙ 𝑖 2 = −1 ∙ −1 = 1
Regla para elevar (i) a cualquier
potencia
• Hay que dividir la potencia de i por 4 y luego
elevamos la i al resto de la división:
Ejemplo: 𝑖 322 = 𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑖 2 = −1
322 4
02
80
2
Operaciones
En el conjunto de los números complejos (C) están
bien definidas las cuatro operaciones básicas:
Suma
Resta
Multiplicación
División
Suma
La suma de números complejos se realiza sumando
las partes reales e imaginarias por separado.
Ejemplo:
Para sumar z1 = 1 + 4i y z2 = 2 - 2i se suman las
partes reales 1 y 2, y a continuación las partes
imaginarias 4 y
-2, dando como resultado z1+ z2 = 3 + 2i.
En general decimos que para la suma se cumple
siempre que:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Resta
Definimos a la resta z1- z2 como la suma entre z1
y el opuesto de z2.
Ejemplo:
Para restar z1 = 1 + 4i y z2 = 2 - 2i se suman z1
y - z2. Hacemos (1+4i)+(-2+2i), luego
sumamos las partes reales 1 y -2, y a
continuación las partes imaginarias 4 y 2,
dando como resultado z1- z2 = -1 + 6i.
En general decimos que para la resta se
cumple siempre que:
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Multiplicación
La multiplicación de números complejos se basa en
que i2 = -1, y que es válida la propiedad
distributiva respecto de la suma y de la resta.
Ejemplo:
Sean z1 = 3+2i y z2 = 2-4i.
Para hacer z1* z2 , aplicamos la propiedad
distributiva:
(3+2i).(2-4i) = 6 – 12i + 4i – 8i2
= 6 – 12i + 4i – 8.(-1)
= 6 – 12i + 4i + 8
= 14 – 8i
División
La división de números complejos se basa en que i2 = -1, y
que es válida la propiedad distributiva de la
multiplicación respecto de la suma y de la resta.
Ejemplo:
Sean z1= 3+2i y z2=2-4i.
Para hacer z1: z2 , multiplicamos z1 y z2 por el conjugado
del divisor (z2) aplicando la propiedad distributiva:
3  2i
2  4i

2  4i
2  4i




6  12 i  4 i  8 i
2
4  8 i  8 i  16 i
2
6  12 i  4 i  8 (  1)
4  16 (  1)
6  16 i  8
4  16
 2  16 i
20
 
1
10

4
5
i
Representación gráfica
Los números complejos se representan en el plano mediante un sistema
de ejes de coordenadas cartesianas, donde el eje horizontal será el
eje real y el vertical el eje imaginario.
El número quedará representado por un par ordenado (a ; b) o bien
mediante un vector que une el origen con el punto (a ; b).
Ejemplo:
Z = 4 + 2i
Eje imaginario
2
4
Eje real
Módulo y Argumento
• El módulo de un número complejo 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es la longitud
del vector posición.
• El módulo se designa entre barras y se calcula con el Teorema
de Pitágoras: 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑍 = 𝑎2 + 𝑏 2
• El Argumento 𝜶 de un número complejo 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , es el
ángulo que forma el semieje positivo de X con el vector
posición de Z. Se calcula la expresión:
𝑏
𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑎
Módulo y Argumento
• Ejemplo
Calcula el Módulo y el argumento de 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑍 = 4 − 3𝑖 → 𝑍 =
42 + −3
2
= 16 + 9 = 25 = 5
3
𝑍 = 4 − 3𝑖 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −
= −36°52′ 11′′
4
Módulo y Argumento
Forma de representar un número
complejo
• Forma binómica Z= a + bi
• Forma Vectorial Z = (a, b)
• Forma Polar Z =|Z| 𝛼
• Forma Trigonométrica 𝑍 = 𝑍 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼
Forma binómica y vectorial
Ejemplos
• Forma binómica Z= 2 + 3i
• Forma Vectorial Z= (2, 3)
Nota: Forma vectorial o también se lo llama forma cartesiana
Forma polar y trigonométrica
• Forma polar 𝑍 = 445° es un número cuyo
módulo vale 4 y su argumento es 45°
• Forma trigonométrica
Z= 4 (cos45° + i . sen45°)
es un número cuyo módulo vale 4 y su argumento
es 45°
Nota: o sea que cuando quiero pasar un número complejo de la forma
cartesiana o binómica a la forma polar o a la trigonométrica primero
deberán calcular el Módulo y el Argumento.
Algunas aplicaciones de los números
complejos
• Los números complejos se usan en ingeniería
electrónica y en otros campos para una descripción
adecuada de las señales periódicas variables
• Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la
unidad imaginaria en vez de i que está típicamente
destinada a la intensidad de corriente.
• Los fractales son diseños artísticos de infinita
complejidad. En su versión original, se los
define a través de cálculos con números
complejos en el plano.