Transcript Números Complexos Profª.: Juliana Santos Conteúdo Programático • Aula 1: Números complexos: uma abordagem histórica  Introdução aos números complexos  Forma algébrica dos números complexos  • Aula 2: Os números.

Números
Complexos
Profª.: Juliana Santos
Conteúdo Programático
•
Aula 1:
Números complexos: uma abordagem histórica
 Introdução aos números complexos
 Forma algébrica dos números complexos

•
Aula 2:
Os números complexos e sua representação geométrica
 Conjugado do número complexo
 Divisão de números complexos

•
Aula 3:
Módulo de um número complexo
 Forma trigonométrica dos números complexos

•
Aula 4:

•
Multiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométrica
Aula 5:

Potenciação e radiciação de complexos na forma trigonométrica
AULA 1

Números Complexos – Uma Abordagem
Histórica
Aos números complexos é atribuído grande esforço e
“tortura mental” (como disse Girolamo Cardano) dos
maiores matemáticos da história.
A primeira vez que alguém se deparou com problemas
que envolviam números complexos foi por volta do século I
d.C.. Desde então, matemáticos como Cardano (15011576), Tartaglia (1499/1500-1575), Del Ferro (1465-1526),
Bombelli (1526-1572), Euler (1707-1783), Gauss (17771855), dentre outros, aperfeiçoaram bastante o conceito e o
estudo em torno dos complexos. E, no entanto, até hoje,
existem ainda muitas questões em aberto.

Introdução aos Números Complexos
Vamos tratar inicialmente um número complexo como
sendo um par ordenado (a,b).
A partir daí, podemos utilizar as seguintes propriedades:
IGUALDADE: (a,b) = (c,d)  a=b e c=d
• ADIÇÃO: (a,b) + (c,d)  (a+c , b+d)
• MULTIPLICAÇÃO: (a,b)(c,d)  (ac – bd , bc + ad)
•
Exemplos:
(x, -2) = (1, y)  x = 1 e y = -2
b) (3, -8) + (-1, 7)  (3-1 , -8+7)  (2, -1)
c) (0, 5)(3, -2)  [ 0.5 – 5.(-2) , 5.3 + 0.(-2) ]  (-10, 15)
a)

Forma Trigonométrica dos Números Complexos
Existem muitas maneiras de definir o conjunto ℭ (o
conjunto dos números complexos), onde estão definidas
operações de adição e de multiplicação. Além disso, é
importante saber que os números reais também estão
incluídos em ℭ, e:
Existe um número complexo i com i2 = -1.
b) Todo número complexo pode ser escrito de uma maneira
única na forma a + bi, onde a e b são reais (a é chamado
parte real e b é chamado parte imaginária do complexo
a + bi).
a)
Assim:
z = a + bi
Usando as propriedades que vimos anteriormente,
podemos operar com complexos de maneira análoga à que
operamos com reais, com o cuidado de tomar i2 = -1.
Exemplos:
a)
(5 + 3i) + (8 + 5i) = 5 + 8 + (3 + 5)i = 13 + 8i
(7 + 2i)(4 – 3i) = 7(4 – 3i) + 2i(4 – 3i) = 28 – 21i + 8 –
6i2 = 28 + 6 + (-21 + 8)i = 34 – 13i
b)
(6 + 7i) – (4 + 2i) + (1 – 10i) = 6 – 4 + (7 – 2)i +
(1 – 10i) = (2 + 5i) + (1 – 10i) = 2 + 1 + (5 – 10)i = 3 – 5i
c)
(5 + 4i)(1 – i) + (2 + i)i = 5(1 – i) + 4i(1 – i) + (2.i + i.i)
= (5 – 5i + 4i – 4i2) + (2i + i2) = (9 – i) + (-1 + 2i) = 9 – 1
+ (-1 + 2)i = 8 + i
d)
Uma observação importante!
Já sabemos que i² = -1. Dessa forma, temos que:
i¹ = i
i² = -1
i³ = i².i = (-1).i = -i
i4 = (i²)² = (-1)² = 1
i5 = i4.i = 1.i = i
...
Logo, para potências maiores do que i², como a 4ª
potência, os resultados começam a se repetir, então dividimos o
valor da potência por 4 e elevamos i ao resto da divisão.
Exemplo:
i74 = i² = -1
74 4
34 18
2
AULA 2

Os Números Complexos e sua Representação
Geométrica
Da definição adotada, ocorre que podemos pensar no
número complexo z = a + bi como o ponto (a, b) no plano
cartesiano cujas coordenadas a e b são exatamente como as
y
coordenadas x e y do plano.

Exemplo: z = 1 + 2i
Onde a corresponde a x e b
corresponde a y.
z = 1 + 2i = (1, 2)


x



◦ Conjugado de um Número Complexo
Seja o número complexo z = a + bi.
Temos que o seu conjugado é dado por
forma de par ordenado: se z = (a, bi), então
z = a – bi = (a, –bi)
Exemplos:
z = a + bi
z = a – bi
10 + 5i
10 – 5i
-2–i
-2+i
z = (a, bi)
(0, 6i)
z = (a, –bi)
(0, -6i)
(-7, -3i)
(-7, 3i)
z=a–
bi
. Ou,
na
z = (a, –bi) .
O conjugado de z
geometricamente no plano.
também
pode
ser
Exemplos:
Seja z = 1 + 2i. Logo, z = 1 – 2i
y
z = 1 + 2i = ( 1, 2)


x





z = 1 - 2i = ( 1, -2)

representado

Divisão de Números Complexos
A partir do estudo do conjugado de z, agora é possível
efetuar divisões entre dois números complexos z1 = a + bi e
z2 = c + di, tal que z2 ≠ 0. Isto é, para calcular
basta
multiplicar
o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Exemplo:
Dados os complexos z1 = 1 + i e z2 = 1 – i , efetuar
•
Solução:
:
AULA 3

Módulo de um Número Complexo
Dado um número complexo z = a + bi, chama-se módulo de
z (|z|) ao número real não negativo:

Geometricamente, |z| mede
a distância de 0 a z, ou seja,
mede o módulo do vetor que
representa o complexo z.
y

z = a + bi = (a, b)

|z|

x




Exemplos:
Se z = 1 + i , |z| = ?
Solução:
Se z = 3 + 4√2i , |z| = ?
Solução:
Se z = 3i , |z| = ?
Solução:
Se z = √2 – i.√2 , |z| = ?
Solução:

Forma Trigonométrica dos Números Complexos
Vimos que um número complexo pode ser pensado
como um ponto do plano de coordenadas (a, b) ou como
um vetor
, de origem O e extremidade (a, b). A
representação z = a + bi dá ênfase às coordenadas do
ponto z. Uma representação que dá ênfase aos elementos
geométricos do vetor
é obtida do seguinte modo:
Indiquemos por
o comprimento de
que suporemos diferente de zero e por θ o ângulo
positivo xOz, que também é chamado argumento de z
(arg(z)).
Então temos
y

e
Como r = |z| , vem:

e

x



Isto é, z = a + bi = r . cos θ + r . sen θ . i
ou
z = |z| . (cos θ + i . sen
θ)
que é chamada forma trigonométrica dos números complexos.
Uma observação importante!
Os números complexos na sua forma
trigonométrica também têm sua representação
geométrica no plano.
Exemplo:
y
√3
1
x
AULA 4

Multiplicação e Divisão de Complexos na Forma
Trigonométrica
Se z1 = |z1|.(cos θ1 + i.sen θ1) e z2 = |z2|.(cos θ2 +
i.sen θ2) são as formas trigonométricas dos complexos z1 e z2,
então:
Exemplos:
Sejam
z1.z2 = ?
Solução:
e
,
Exemplos:
Sejam
z1.z2 = ?
Solução:
e
,
AULA 5

Potenciação e Radiciação de Complexos na
Forma Trigonométrica
Se z = |z|.(cos θ + i.sen θ) é a forma trigonométrica do
número complexo z e n €
, então:
Exemplo: Calcular z³ , sendo

Solução:
Se z = |z|.(cos θ + i.sen θ) é a forma trigonométrica do
número complexo z, então existem n raízes enésimas de z que
são da forma:
Exemplos: Calcular as raízes cúbicas de 8.
• Solução: Temos que z = 8 , então |z| = 8 e θ = 0 .
Pela fórmula dada, vem:
, então k= 0, 1 e 2
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