Potpune srednje vrijednosti

Download Report

Transcript Potpune srednje vrijednosti 

SREDNJE VRIJEDNOSTI
STATISTIČKOG NIZA
1
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Srednje vrijednosti (mjere centralne tendencije)
-konstante kojima se predočuju nizovi varijabilnih
podataka.
 Položajne srednje vrijednosti (određene su
položajem podatka u nizu)
 Potpune srednje vrijednosti ( u njihovom
izračunavanju sudjeluju sve vrijednosti
varijable)
2
prof. dr.sc. Mirjana Čižmešija
Srednje vrijednosti
Potpune
Aritmetička
sredina
3
Geometrijska
sredina
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Položajne
Harmonijska
sredina
Mod
Medijan
4
prof. dr.sc. Mirjana Čižmešija
Srednje vrijednosti
Potpune
Aritmetička
sredina
5
Geometrijska
sredina
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Položajne
Harmonijska
sredina
Mod
Medijan
ARITMETIČKA SREDINA
(prosjek, prosječna vrijednost)
- omjer zbroja vrijednosti numeričkog obilježja
svih jedinica skupa (total) i broja vrijednosti te
varijable (N).
total
x
opseg skupa
6
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Ako su dane pojedinačne vrijednosti numeričke
varijable:
X : x1 , x2 ,..., xi ,..., x N
Njihova aritmetička sredina je:
N
 xi
x1  x2  ...  xi  ...  x N i 1
x

N
N
i zove se jednostavna aritmetička sredina.
7
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Jednostavna aritmetička sredina
(primjer 3.1., str. 56)
Primjer:
Broj dnevnih prijava kvara na sustavu grijanja u
servisnom centru V&M u zadnja dva tjedna u siječnju
2015. godine bio je kako slijedi iz S - L dijagrama
8
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
a) Navedite sve vrijednosti (dnevni broj prijava kvara
na sustavu grijanja).
xi :
10, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 23, 24, 26, 28.
b) Izračunajte prosječni dnevni broj prijava kvara na
sustavu grijanja.
N
 xi
249
x

 17,7857  18 prijava
N
14
i 1
9
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Za grupirane podatke odnosno za distribuciju frekvencija koristi
se izraz za vaganu (ponderiranu) aritmetičku sredinu. Ponderi
vrijednosti varijable su frekvencije (apsolutne ili relatavine) ili
njima proporcionalne veličine.
10
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
k
x1 f1  x2 f 2  ...  xi f i  ...  xk f k
x

f1  f 2  ...  f i  ...  f k
 xi f i
i 1
k
 fi
i 1
11
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
k
x1 P1  x2 P2  ...  xi Pi  ...  xk Pk
x

P1  P2  ...  Pi  ...  Pk
 xi Pi  xi Pi
i 1
k
 Pi
i 1
12
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
k

i 1
100
k
k
 xi pi  xi pi
x1 p1  x2 p2  ...  xi pi  ...  xk pk i 1
x
 k
p1  p2  ...  pi  ...  pk
 pi
i 1
13
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
 i 1
1
k
  xi pi
i 1
Vagana (ponderirana) aritmetička sredina
14
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Potrebno je urediti granice, izračunati razredne
sredine i podtotale:
15
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
16
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
17
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
18
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Svojstva aritmetičke sredine
1. Zbroj odstupanja vrijednosti obilježja od
aritmetičke sredine jednak je nuli.
N
N
N
N
i 1
i 1
i 1
i 1
  xi  x    xi  Nx   xi   xi  0
19
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Svojstva aritmetičke sredine
2. Zbroj kvadrata odstupanja vrijednosti obilježja
od aritmetičke sredine je minimalan.
N
  xi  x 
i 1
20
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
2
 min
N
2


x

x
 min
 i
i 1
N
 x
i 1
i
i 1
 x  x 
21
2
i
2
 a     xi  x    x  a  
2
N
i 1
N

 2xi  x x  a   x  a  
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
2
N
 x
i
i 1
N
 x  x 
i 1
2
i
N
22
N
i 1
i 1
2
i
N
N
i 1
i 1
2
 2x  a  xi  x    x  a  
 x  x 
i 1
N
 x    2xi  x x  a    x  a  
2
N
2
 N x  a    xi  x 
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
2
i 1
2
Svojstva aritmetičke sredine
3. aritmetička sredina se nalazi između najmanje i
najveće vrijednosti obilježja.
xmin  x  xmax
4. ako su sve vrijednosti varijable jednake konstanti c,
aritmetička sredina je jednaka konstanti c
x1  x2  ....  xi  .....  x N  c
23
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
xc
Svojstva aritmetičke sredine
5. Aritmetička sredina zamjenjuje više vrijednosti ali
ne mora biti jednaka niti jednoj od njih.
6. Izražena je u istim mjernim jedinicama kao i
varijabla za koju se izračunava.
24
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Prosjek aritmetičkih sredina
(Primjer 3.6., str. 66)
Statistički stup se sastoji od k podskupova. Svaki od
njih ima N i članova i za svaki je izračunata
aritmetička sredina x i .
Prosjek aritmetičkih sredina se računa kao vagana
sredina u kojoj su za pondere uzete veličine
podskupova ili njima proporcionalne veličine.
k
N 1 x1  N 2 x2  ...  N i xi ... N k xk
X

N 1  N 2  ...  N i  ...  N k
25
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
 xi N i
i 1
 Ni
Zadatak za vježbu
Tri izdavačke kuće prodaju knjige (između ostalog)
angažiranjem trgovačkih putnika. U rujnu 2014. godine
zabilježeni su sljedeći podaci o prodaji knjiga.
Izdavačka
kuća
Broj
trgovačkih
putnika
Ni
1
MZK
S&K
TIMI
Ukupno
26
2
25
19
7
51
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Prosječna vrijednost
prodanih knjiga po
trgovačkom putniku u
kn
xi
3
5400
6200
3900
-
Izračunajte prosječnu vrijednost prodanih knjiga po
trgovačkom putniku za sve tri izdavačke kuće zajedno.
Izdavačka
kuća
Broj
trgovačkih
putnika
Ni
1
MZK
S&K
TIMI
Ukupno
27
2
25
19
7
51
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Prosječna vrijednost
prodanih knjiga po
trgovačkom putniku u
kn
Ukupno prodane
knjige
xi
Ti  N i  x i
3
5400
6200
3900
-
4
135000
117800
27300
280100
k
X
 xi N i
i 1
k
 Ni
i 1
28
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
280100

 5492.16
51
kuna
Prosjek (sredina) relativnih brojeva koordinacije
(primjer 3.7., 3.8. i 3.9
Relativni broj koordinacije je omjer dviju povezanih
(koordiniranih) veličina.
vi
Ri 
Bi
i  1,2,....k
pri čemu je: Ri - i-ti relativni broj koordinacije,
vi - i-ta veličina koja se uspoređuje,
Bi - i-ta veličina s kojom se uspoređuje (baza).
29
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Prosjek (sredina) relativnih brojeva koordinacije
vi
Ri 
Bi
i  1,2,....k
vi
Ri 
Bi
k
k
R
 Ri Bi
i 1
k
 Bi
i 1
30
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
i  1,2,....k
R
 vi
i 1
k
vi
R
i 1 i
Zadatak za vježbu
U posebnom prilogu tjednika Privredni vjesnik – "500 najboljih",
a prema podacima Zavoda za poslovna istraživanja dani su
sljedeći podaci:
Poduzeće
1
HEP
HRT
FINA
VIPNET
Ukupno
31
Dobit po zaposlenom,
Broj
u tis. €
zaposlenih
Ri
Bi
2
25,21
3,01
1,80
45,84
-
3
438
3188
4905
999
9530
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
a) Izračunajte prosječnu dobit po zaposlenom za navedena
četiri poduzeća zajedno.
b) Kolika je vrijednost dobiti u HEP- u, a kolika u VIPNET-u?
Poduzeće
1
HEP
HRT
FINA
VIPNET
Ukupno
32
Dobit po zaposlenom,
Broj
u tis. €
zaposlenih
Ri
Bi
2
25,21
3,01
1,80
45,84
-
3
438
3188
4905
999
9530
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Ukupna dobit
Ri Bi
4
11041,98
9595,88
8829,00
45794,16
75261,02
k
R
 Ri Bi
i 1
k
 Bi
i 1
33
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
75261.02

 7.897
9530
tis. €
Prosjek (sredina) postotaka
(Primjer 3.10.)
Di
Pi   100
Ci
pri čemu je :
Pi  i  ti postotak ,
Di  i  ti dio ,
C i  i  ta cjelina
34
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Prosjek (sredina) postotaka
Di
Pi   100
Ci
Di
Pi   100
Ci
k
P
 Pi C i
i 1
k
 Ci
i 1
35
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
k
P
 Di
i 1
k
Di
P
i 1 i
Zadatak za vježbu
Godišnji promet i postotak dobiti od ostvarenog prometa u
podružnicama A, B, C
Udio
Promet u dobiti u
Podružnica
mil. kn prometu, u
%
1
A
B
C
Ukupno
36
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Ci
2
57
102
26
185
Pi
3
5,1
1,8
5,7
-
Koliki je prosječni udio dobiti u prometu za sve tri
podružnice zajedno?
Udio
Promet u dobiti u
Ukupna ostvarena
Podružnica
mil. kn prometu, u
dobit*100
%
1
A
B
C
Ukupno
Ci
Pi
Di 100  Pi  Ci
2
57
102
26
185
3
5,1
1,8
5,7
-
4
290,7
183,6
148,2
622,5
k
P 
 Pi C i
i 1
k
 Ci
i 1
37
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija

622.5
 3.36%
185
Geometrijska sredina
(Primjeri 3.11. i 3.12.)
-primjenjuje se u analizi vremenskih nizova.
Pomoću nje se izračunava prosječna stopa
promjene pojave.
-Logaritam geometrijske sredine upotrebljava se
kao dobra srednja vrijednost za asimetrične
rasporede podataka.
38
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Geometrijska sredina
Negrupirani numerički podaci
N
G  N x1 x2 .... xi ... x N  N  xi
i 1
1 N
log G   log xi
N i 1
39
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
xi  0
Geometrijska sredina
Distribucija frekvencija
G

40
N
fi
f1 f 2
x1 x2 ... xi
k
N
 xi
i 1
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
fi
fk
... xk

Harmonijska sredina
(Primjer 3.13.)
- za izračunavanje sredine relativnih brojeva s
istim brojnicima.
- za niz negrupiranih numeričkih podataka H je:
N
N
H
 N
1
1
1
1
1

 ... 
 ... 

x1 x2
xi
x N i 1 x i
41
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Harmonijska sredina
Primjer
Tri stroja proizvode isti proizvod. Sva tri stroja rade u
kontroliranoj radnoj smjerni osam sati. Prosječno
utrošeno vrijeme po proizvodu iznosi za prvi stroj 2
minute, za drugi stroj 1,6 minuta i za treći stroj 1,5
minuta. Koliko je prosječno utrošeno vrijeme u izradi
proizvoda za sva tri stroja zajedno.
Prosječna produktivnost svih triju strojeva je ukupno
njihovo vrijeme rada podijeljeno s brojem proizvedenih
proizvoda.
42
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
N
ukupno utrošeno radno vrijeme
H N

ukupan broj proizvoda
1
x
i 1 i
480  480  480
111
H

 1,6711 proizvoda
480 480 480 1 1
1




2
1,6 1,5 2 1,6 1,5
43
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Harmonijska sredina
za distribuciju frekvencija H je:
k
 fi
f1  f 2  ...  ... f i  ...  f k i 1
H
 k
f1 f 2
fi
fk
f
i

 ... 
 ... 

x1 x2
xi
x k i 1 x i
44
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
ODNOS POTPUNIH SREDNJIH VRIJEDNOSTI
H G X
45
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija
Indeksi kvalitativnih nizova
Detaljno na primjeru 3.6.
46
prof. dr. sc. Mirjana Čižmešija