Transcript Лекция_5
Основы теории управления Лекция 5 Устойчивость линейных САУ Равновесное состояние • Равновесное состояние объекта – состояние, в котором сумма всех внешних воздействий на объект равна нулю. • 1. 2. 3. Виды равновесного состояния: Устойчивое Неустойчивое Нейтральное Устойчивость системы • Каждая система характеризуется неким равновесным состоянием, которое нарушается при внешних воздействиях. • Устойчивость системы – свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния (такой тип устойчивости принято называть асимптотической устойчивостью). • Неустойчивая система не возвращается к состоянию равновесия по окончанию воздействия, а непрерывно удаляется от него или совершает недопустимо большие колебания около него. Согласно такому определению, нейтральные системы являются неустойчивыми системами. Устойчивость линейных САУ • Линейные САУ могут быть математически выражены в виде линейных дифференциальных уравнений. • Каждому линейному однородному дифференциальному уравнению соответствует его (алгебраическое) характеристическое уравнение. • Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной САУ является отрицательность вещественной части всех корней соответствующего характеристического уравнения. • Положительные корни указывают на неустойчивость САУ (расходящиеся колебания). • Нулевые корни выявляют положение САУ на границе устойчивости (гармонические колебания). Критерии устойчивости • Попытки анализа устойчивости путём прямого отыскания корней характеристического уравнения сопряжены с рядом практически трудностей. Требуется лишь обнаружить нахождение корней в левой комплексной полуплоскости. • Теорема (о необходимом условии устойчивости). Необходимым (но недостаточным) условием устойчивости системы является строгая положительность всех коэффициентов характеристического уравнения системы. Теорема Лагранжа – Дирихле (о достаточном условии устойчивости): Положение равновесия замкнутой системы достаточно устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум. • • Виды критериев устойчивости: алгебраические и частотные. Критерий Гурвица • • • Полином Гурвица – полином D() степени n>0, корни которого лежат в левой комплексной полуплоскости. Линейная САУ устойчива в том и только в том случае, если полином, стоящий в левой части характеристического уравнения, есть полином Гурвица. Критерий Гурвица. Для того, чтобы полином характеристического уравнения являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры определителя Гурвица. Критерий Рауса Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были одного знака. Если это не выполняется, то система неустойчива. 1 2 3 4 - 1 ... - 2 ... 3 ... 4 ... ... ... ... ... ... ... Критерий Михайлова • • Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова D(i), начинаясь при =0 на действительной оси, увеличением от 0 до обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения. Следствие. Система устойчива, если чётная U() и V() нечётная функции при изменении частоты от 0 до обращаются в 0 поочерёдно, начиная с нечётной функции, т.е. их корни чередуются. Критерий Найквиста • Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф разомкнутой системы W(i) при изменении от 0 до охватывал L/2 раз в положительном направлении точку (-1;i0), где L – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. • Следствие. Если разомкнутая система устойчива (L=0), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф W(i) при изменении от 0 до не охватывал точку (-1;i0). Запас устойчивости • Изменение параметров САУ может вызвать неустойчивость (т.е. может привести к появлению корней характеристического уравнения в правой полуплоскости или на мнимой оси). Такую возможность следует учитывать при проектировании САУ и заранее обеспечивать некий запас устойчивости. • Запас устойчивости по фазе (угол 180-1), где 1значение фазы, при котором |W(i)|=1. Запас по фазе показывает, насколько нужно увеличить фазу системы, не изменяя её амплитуды, устойчивая прежде система оказалась на границе устойчивости. • Запас устойчивости по амплитуде (=1/ |W(i)|), где значение частоты, соответствующей фазе 180. Запас по амплитуде показывает, во сколько раз необходимо увеличить коэффициент усиления, чтобы устойчивая система оказалась на границе устойчивости. • Запасы устойчивости САУ не только гарантируют сохранение устойчивости при изменении параметров, но и в определённой степени характеризуют качество САУ. Литература Лотош М.М. «Основы теории автоматического управления» www.knigainformatika.com/rule/rule.html