Transcript 第二章集中量數

第二章 集中量數
集中趨勢量數(Measures of central tendency)，簡稱集
中量數，是全部資料中央位置的數值，故又名中
心位置量數(measure of central location)，一般可
以用它陳述一組統計資料之代表值。
集中量數之作用有下列三項：
1. 簡化作用－能用一數據，很清楚扼要地表示
一事實現象之特性。
2. 比較作用－有了平均數就能比較一些不同的
分配及不同的母體。
3. 代表作用－可以由樣本推論至母體，亦即有
代表母體之作用。
集中量數常用的有下列幾項：
1. 算術平均數(Arithmetic Mean)。
2. 中位數(Median)
3. 分割量數，如：四分位數(Quartiles)、十分位數
(Deciles)、百分位數(Percentiles)。
4. 眾數(Mode)。
5. 幾何平均數(Geometric Mean)。
6. 調和平均數(Harmonic Mean)。
2-1 算術平均數
(一) 算術平均數的意義
算術平均數(Arithmetic Mean)常簡稱平均數(Mean)，
是最常用的集中趨勢量數。設一群資料含X1、X2、
X3…Xn等N個數，則可用M來代表此群數字資料的平
均數，而一般較常用 X（讀做X bar）來表示變數X
的平均數。
(二) 算術平均數的算法
1.未分組資料的平均數：
1
X
X  M  (X 1  X 2  X 3    X n ) 
N
N
2. 分組資料的平均數：
  fd 
X  AM  
i
 N 
其中N：總次數，i：組距，X：組中點，f：次數
AM：假設值，一般選次數最多那一組的組中點
X'  AM
d
i
3.加權算數平均數：
 fX
Xw 
N
(三) 平均數的特性及限制
求平均數時，資料中的每一個數值都會被
使用到，若沒有極端分數，它最能代表一組
資料的集中趨勢；但相對的，它易被特大或
特小的數值所影響。它適用於等距及比率變
數。
2-2 中位數
(一) 中位數的意義
一組數字資料按大小順序排列後，位置居於中間
的數值即為中位數(Median)，一般以 Me 或 Md 來
表示。
(二) 中位數的算法
1.未分組資料的中位數：
2.分組資料的中位數：
(三) 中位數的特性及限制
2-3 其他分割量數
一、四分位數
(一) 四分位數的意義
將資料由小至大排序，再分成四等分，位居第一個
等分位置的數值稱為第一四分位數(first quartile)，
記為Q1又稱下四分位數；位居第二等分位置的數值，
稱為第二四分位數(second quartile)，記為Q2，其實
Q2就是中位數Me；而位居第三等分位置的數值，
就稱為第三四分位數(third quartile)，記為Q3又稱上
四分位數。
(二) 四分位數的算法
1.未分組資料的四分位數：
2.分組資料的四分位數：
二、百分位數
(一) 百分位數的意義
百分位數是將順序資料均分成一百等分的數值。
第i個百分位數記為Pi（其中i = 1 , 2 , 3 ,……或
99），是指至少有i/100的觀察值小於等於該數值，
至少有(100-i)/100的觀察值大於等於該數值。
(二) 百分位數的算法
1.未分組資料的百分位數：
第i個百分位值Pi，是指在一個已排列順序的資
n
料集合中之第 i 
項的值，其中i為百分位
100
的號碼，n是指樣本大小。
2. 分組資料的百分位數：
n

 hi
Pi  Li   i 
 Fi  
 100
 fi
i  1, 2, ... ...,99
其中
Pi：第i個百分位數。
Li：所在組之組真正下限。
fi ： Pi 所在組之次數。
Hi：Pi所在之之組距。
Fi ：Pi 前一組之累積次數。
2-4 眾數
(一) 眾數的意義
眾數(Mode)是指一組統計資料中次數
出現最多的那一個數值，一般以Mo來
表示。
(二) 眾數的算法
1. 未分組資料的眾數：
把資料歸類，找出出現次數最多的數
值，即為眾數。
2. 分組資料的眾數：
(1) 皮爾森(K. Pearson)的經驗法：
Mo  M  3( M  Me)
其中 Mo ：眾數
M：算術平均數
Me：中位數
(2) 金氏(W.I. King)的插補法
f2
Mo  L 
i
f1  f 2
其中 L：眾數組的下限
f1：組值小於眾數組之相鄰組的次數
f2：組值大於眾數組之相鄰組的次數
i：為眾數組的組距
(3) 克魯伯氏(E. Czuber)的比例法：
f1  f
Mo  L 
i
f1  f 2  2 f
其中f：為眾數組的次數
其餘符號同以上公式
(三) 眾數的特性
眾數是數列中出現次數最多的數值，故計
算簡便，且不受極端量數的影響。但是眾
數易受抽樣變動影響及組距或組限變動影
響，甚不穩定，並且當資料次數不多時，
眾數就缺乏代表性。
2-5 幾何平均數
(一) 幾何平均數的定義
幾何平均數(Geometric Mean)為n個數值之
乘積的n次方根
(二) 幾何平均數的算法
1. 未分組資料的幾何平均數
幾何平均數以G來表示，未分組樣本資料
X1，X2，…，Xn之幾何平均數公式如下：
G  n X 1  X 2  ...  X n
2. 已分組資料的幾何平均數
在已分組資料中，若X1，X2，……，
Xk為各組的組中點，且其對應次數為
f1，f2，……，fk，Sfi=n，則已分組資
料之幾何平均數公式如下：
G  X  X  ......  X
n
f1
1
f2
2
fk
k
3.加權幾何平均數：
已知k個數值X1，X2，……，Xk，及其對應的權數
W1，W2，……，Wk，且SWi=n，則加權幾何平
均數公式如下：
GW  X
n
W1
1
X
W2
2
   X
Wk
k
(三) 幾何平均數的特性及限制
一數列的幾何平均數小於算術平均數，
即G ≤ M，而當各數值均相同時，幾何平均數
才會等於算術平均數。
未分組資料的各數值中，若有一數值為零，
或已分組資料的某一組之組中點為零，則依公
式所求的結果就為0；然而0非各數值的代表值，
故若有一數值為0，則不宜採用幾何平均數。
2-6 調和平均數
(一) 調和平均數的定義
調和平均數(Harmonic Mean)亦稱為倒數平均數，
乃各個數值倒數的平均數的倒數，以H表示之。
(二) 調和平均數的求法
1.未分組資料的調和平均數：
一樣本數列的n個數值X1，X2，……，Xn之調和平
均數公式如下：
H
1
1 1
1
1
(

  
)
n X1 X 2
Xn

n
n

i 1
1
(
)
Xi
2. 分組資料的調和平均數：
若分組資料各組的組中點為X1，X2，……，Xn，
且其對應次數為f1，f2，……，fn，fi=n，則分組
後調和平均數公式為：
H
n
fn
f1
f2

  
X1 X 2
Xn

n
n

i 1
fi
(
)
Xi
3.加權調和平均數：
已知一數列X1，X2，……，Xn，及其對應權數
W1，W2，……，Wn，且Wi=n，則加權調和平
均數公式為：
n
Hw  n
Wi
( )

i 1 X i
(三) 調和平均數的特性
一數列的調和平均數小於幾何平均數，即HG，
當各數值均相同時，調和平均數始等於幾何平
均數。
2-7 各種集中量數之關係與比較