Transcript 教育統計學之三：集中量數

教育統計學之三：集中量數
本章重點：
一、集中量數的意義和種類
二、算術平均數
三、中位數（中數）
四、眾 數
五、其他集中量數
六、SPSS12.0實務操作
一、集中量數（measures of central location）的
意義和種類
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算術平均數（arithmetic mean，簡寫成M）
中位數（median，簡寫成Md）
眾數（mode，簡寫成Mo）
截尾平均數（trimmed mean，簡寫成TM）
幾何平均數（geometric mean，簡寫成GM）
調和平均數（harmonic mean，簡寫成HM）
一般化平均數(generalized mean)
二次式平均數（quadratic mean，簡寫成QM）
• 算術平均數的算法
（一）算術平均數簡稱「平均數」（mean, M）。
（二）如有X與Y兩個變數，則以χ代表X變數的平均
數，ý代表Y變數的平均數。
（三）算術平均數公式：
（四）歸類資料的計算
1. 列出各組的組中點（x）
2. 計算組中點 × 次數（fx）
3. 公式：
• 加權平均數的算法
1. 適用時機：
各種分數的重要性份量各不相同，或者已有累計同分出現的
次數時。
• 算術平均數的特性與適用時機
1. 適用時機：
（1）適用於等距變項和比率變項等屬於連續變項的資料。
（2）由於每一個分數對平均數都具有影響力，所以在需要
以集中趨勢（central tendency）時，使用平均數最恰當。
算術平均數的特性與適用時機
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平均數的特性
1.
2.
離均差之和（sum of deviations）＝0
團體中每個分數都加或減一個常數Ｃ時，新的平均數等於原來的平
均數加或減這個常數Ｃ。
團體中每個分數都乘或除一個常數Ｃ時，新的平均數等於原來的平
均數乘或除這個常數Ｃ。
團體中每個分數與算術平均數之差的平方和（離均差平方和，sum
of the squared deviations, 簡稱SS）會比團體中其他分數與算術平
均數以外的任何分數之差的平方和小。此種特性即是統計學上所謂
的“最小平方法”（least squares）
數個團體分數所合併起來的分數之算術平均數，等於其個別團體分
數之算術平均數之和。
兩個團體分數之差的算術平均數，等於其個別團體分數之算術平均
數之差。
3.
4.
5.
6.
中位數的算法（1）
• 中位數的算法
（一）中位數（Median, Md, 中數），意指團體資料經過排序
後，最中間的位置。
（二）中數會將所有的資料分為相等的兩半。
（三）定義公式
• 特性和適用時機
– 次序變項、等距變項、比率變項
– 極端分數
中位數的算法（2）
例一：甲乙丙丁戊五隻老鼠跑完某一迷津之時間依次為
27、190、25、43、和64秒，問中位數多少？
例二：甲乙丙丁戊己六隻老鼠跑完某一迷津之時間依次
為12、27、190、25、43、和64秒，問中位數多少？
中位數的算法（3）
解一：
排序：25、27、43、64、190，中位數為第（5+1）/
2 = 3 個數字，也就是43（秒）
解二：
排序：12、25、27、43、64、190，中位數為第
（6+1）/ 2 = 3.5 個數字，也就是（27 + 43）/ 2 =
35（秒）
中位數的算法（4）
（四）已歸類資料的計算公式：
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L = 中數所在組的真正下限
F = 中數所在組以下的累積次數
fmd = 中數所在組的次數
h = 組距
N = 總人數
範例：中位數的計算
眾數的算法（1）
• 眾數的算法
• Pearson的近似眾數
統計學家Pearson根據多年實務研究資料中發現算術平均數、
中位數以及眾數之間的關係，其中，中位數「恆在」平均數
與眾數之間。
χ-Mo = 3（χ-Md）
• 平均數、中位數與眾數三者在各種次數分配中的相關位置
• 眾數的特性和適用時機
– 名義變項、次序變項、等距變項和比率變項
– 適用於質性的資料。眾數是唯一在質性資料中，可求得
集中量數。
– 團體的大略集中趨勢，最常發生的事件
– 不適用於不規則或無顯著集中趨勢時
眾數的算法（2）
（一）眾數（Mode, Mo），意指出現次數最多的數值，或最
多人所得到的分數。
例子：有十二名嬰兒，體重分別為13、14、16、14、15、14、
14、18、12、13、16、15公斤，其眾數為14公斤。
（二）如果分數裡相鄰的兩個分數出現次數最多，則眾數為
這兩個分數的平均數。
（三）如果分數裡不相鄰的兩個分數出現次數最多，則此組
分數裡會出現雙眾數與「雙峰分配」的現象。
平均數、中數與眾數之間的關係
平均數、中數與眾數之間的關係
• 算術平均數、中位數和眾數的關係
• 該挑選哪一種集中量數？
• 集中量數的共同數學特性
– 集中量數(k+mX)=k+(m)x集中量數(X)
平均數、中位數與眾數三者在各種次數分配中的
相關位置
SPSS for Windows操作範例
2.開始進行次數分配的統計分析
3. Frequencies的對話窗
4.選擇統計數值類型