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6

數學的進一步應用 (1)
目錄
6.1 黃金分割
6.2 續指數與對數函數
6.3 九點圓


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數學的進一步應用 (1)

6

6.1 黃金分割
A. 黃金比率
所謂黃金分割，對某一段長度來說，就是把這段長度分割為一長一短的兩
段，而較長一段的長度與全長之比，恰好等於較短一段的長度與較長一段
的長度之比。

圖 6.2
圖 6.2 所示為一枝棒
AC
AB



CB

AB ，若我們說在

C 點把棒作黃金分割，則

可得

。

AC

目錄

這種特定的比率稱為黃金比率。

第2頁


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數學的進一步應用 (1)

6

6.1 黃金分割
定義 6.1：
黃金比率就是指一個悅

目的長方形的兩邊之比

1.618 : 1 或 1 : 0 .618 。而黃金比率的真確值為

例。這個比率約為
5 1
2

:1 或 1 :

5 1
。
2

例子：

目錄

(a)

世上最大的金字塔是柯孚王之墓，它是一個正角錐體，其底部是一個每
邊長為 230 m 的正方形，且高度為 146 m。金字塔的高度與底邊之比為
146 : 230  1 : 1.58。

(b)

另一座聞名的金字塔是高卡拉王之墓，它也是一個正角錐體，只是體積
較小。金字塔的底部是一個每邊長為 108 m 的正方形，且高度為 67 m。
金字塔的高度與底邊之比為 67 : 108  1 : 1.61。

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6

數學的進一步應用 (1)

6.1 黃金分割
設一段直線 PQ 的長為 (1 + x)cm。
圖 6.5(a)

我們把這線段劃分為兩段，分別為 PR = 1 cm 及 RQ = x cm。
圖 6.5(b)

根據黃金比率的定義，可得
PR



RQ

PQ

因此，
目錄

1



。

PR

x

1 x 1
1  (1  x ) x
0  x  x 1
2

x

1
2

5

 由二次公式

或

1

5

（捨去）

2

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數學的進一步應用 (1)

6.1 黃金分割
B. 黃金比率的應用
(i) 巴特農神殿
巴特農神殿 ( Parthenon ) 是建於雅典的一座最著名的古希臘神殿，這座
神殿處處都呈現了黃金比率的特徵。

目錄
圖 6.8

其長度和闊度之比 （即 L1 : W1）近似於黃金比率。

第5頁


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6

數學的進一步應用 (1)

6.1 黃金分割
(ii) 艾菲爾鐵塔
法國巴黎的地標艾菲爾鐵塔 ( Eiffel Tower ) 高 320 m，而第
二層的頂邊至塔頂與第二層的底邊至地面的長度之比，也等
於黃金比率 （如圖 6.9 所示的 l1 : l2）。

目錄

圖 6.9

第6頁


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6

數學的進一步應用 (1)

6.1 黃金分割
C. 斐波那契數列
斐波那契數列是一個特殊的數列，這是由偉大的意大利數學家斐波那契
( Leonardo Fibonacci ) 所發現。這數列最早是從研究兔子的生長趨勢而導出的。
假設有一對新生兔子，一雄性 (A1) 及一雌性 (A2)，並把牠們放生於野外。

第一個月： A1 及 A2 成長
第二個月： A1 及 A2 在一個月大時交配，在第二個月的月尾時，雌兔就誕下另
一對兔子 B1（雄性）及 B2（雌性）。

目錄

第三個月： A1 及 A2 交配，在第三個月的月尾時，雌兔就誕下另一對兔子 C1
（雄性）及 C2（雌性）。B1 及 B2 成長。
假設兔子不會死去，並且凡年齡滿兩個月的雌兔，每個月都可誕下一對一雄一
雌的小兔。 則以後兔子的數目會怎樣變化？

第7頁


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數學的進一步應用 (1)

6.1 黃金分割

目錄

圖 6.12

第8頁


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數學的進一步應用 (1)

6.1 黃金分割
定義 6.2：
斐波那契數列就是一個滿足於下列的遞推公式的數列：
T n  T n  1  T n  2 （對於
其中 T1  1，T 2  1 及 T n 代表這數列第

n  3），
n 項的值。

根據定義可得，斐波那契數列的首十項為

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55。

目錄

第9頁


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數學的進一步應用 (1)

6.1 黃金分割
假設我們有七個正方形，這些正方形每邊的長度分別為 1 cm，1 cm，2 cm，
3 cm，5 cm，8 cm及13 cm。現在，我們把這些正方形依下述步驟砌圖。

圖 6.13

目錄

若我們量度這些矩形的長度和闊度，可發現每個砌成的矩形的闊度與長度都是
斐波那契數列的連續項。
若我們不斷地以邊長為斐波那契數列的正方形砌出矩形，則矩形的長度和闊度
之比將趨於黃金比率，也就是接近於一黃金矩形。

第 10 頁


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數學的進一步應用 (1)

6.1 黃金分割
D. 斐波那契數列的應用
(a) 在音樂方面
留意圖 6.14 中所示的鋼琴鍵盤上的 13 個鍵，這 13
個鍵當中有 8 個是白色，其餘 5 個是黑色的。此 5 個
黑色鍵再可細分為兩組，其中一組有 3 個鍵，而另一
個則有 2 個鍵。
注意上述所提及的數字 1、2、3、5、8 及 13，都
是斐波那契數列的連續項。
圖 6.14
目錄

波那契數列與黃金比率的關係，也時常出現於樂曲的節拍中。例如：一首樂
曲的高潮大約位於樂章的 61.8% 之處，而非位於樂章的中部或章末。此外，
一首有 32 個小節的樂章，則高潮常編在第 20 個小節之處。

第 11 頁


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數學的進一步應用 (1)

6.1 黃金分割
(b) 在自然界方面
若我們小心觀察一朵花的花瓣數目與排列，就不難發現花瓣的數目通常屬於
斐波那契數列其中的一項，即 1、3、5、8、13 及 21。

目錄

第 12 頁


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數學的進一步應用 (1)

6.2 續指數與對數函數
指數與對數函數的應用
(a) 在經濟學方面
假設我們在儲蓄戶口存入 $P，年利率為 r%，而每年結算利息 k 次，則存了
t 年之後的本利和 $A 可以下式計算：
r 

A  P 1 

100 k 


目錄

kt

在上述情況下，每次所獲得的利息將重新存入戶口，以賺取下次結算的利息。
這種存款方式所得的利息稱為複利息。

第 13 頁


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數學的進一步應用 (1)

6.2 續指數與對數函數
(b) 在化學方面

一種溶液的酸度依溶液中氫離子的濃度而定，若氫離子的濃度愈高，則溶
液的酸度也愈高。氫離子的濃度直接以 pH 標度表示，也稱為氫離子指數。
溶液的 pH 值
設 H

 為溶液的氫離子濃度，
pH   log  H 。


且單位為

mol/dm

，則其 pH 值為

3



例如：設一溶液的氫離

pH

8

mol/dm

3

，則其 pH 值為

 
  log 10 

pH   log H

目錄

子濃度為　10



8

  (  8 ) log 10

 log a  b log a
b

8

第 14 頁


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數學的進一步應用 (1)

6.2 續指數與對數函數
(c) 在社會科學方面
一些社會科學家指出，人口的增長依循指數模式而變化。他們還提出了
幾種人口增長的模式，根據這些模式，便可從現有的人口推斷出一個城
市將來的人口。
假設一個城市的人口增長依循指數函數而變化：
P  20 000  (1 . 08 ) ，
n

其中 20 000 為這城市現有的人口，n 為經歷的年數。
目錄

由函數所得，這城市在五年之後的人口將增至約 29 000 人。

第 15 頁


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數學的進一步應用 (1)

6.2 續指數與對數函數
(d) 在考古學方面

一放射性物質衰變了一半時，所需的時間稱為半衰期。
已知碳 14 的半衰期為 5730 年。考古學家利用量度一件古物的碳 14 強度，
就可以估計這件古物的年代。
放射衰變公式
當一生物死後，其體內的放射性物質歷時 t 年之後的強度 A 可依下
式計算：


t

A  A0  2 ，
h

目錄

其中 A0 為原有的放射性強度及 h 為物質的半衰期。

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數學的進一步應用 (1)

6.3 九點圓
定理 6.1：
一個三角形的三個垂足、三邊的中點以及三個由
頂點至垂心的連線的中點，這九點共圓。

圖 6.17

目錄

在圖 6.17 中，三個垂足（點 P、Q 及 R）、 三邊的中點（點 D、E 及 F）
以及三個由頂點至垂心的連線的中點（ 點 A、B 及 C ），九點共圓。

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