Transcript презентація до уроку в 11 класі

Вчитель: Терентій О.О.
Задача1. Піраміда Хеопса ─ правильна чотирикутна піраміда,
сторона основи якої дорівнює 500 ліктів (лікоть ─ одиниця
вимірювання єгиптян, що дорівнює 466 мм), висота – 318
ліктів. Знайти об’єм піраміди.
Розв’язання
H = 466 ∙ 318 = 148188 (мм ) = 148,188 м – висота піраміди.
466 ∙ 500 = 233000 (мм) = 233 м – сторона основи піраміди.
V = 1/3 ∙233∙233∙148,188 = 2681659,3 (м3)− об’єм піраміди
Хеопса.
Відповідь: 2681659,3 м3
Задача2. Класні кімнати повинні бути розраховані так,
щоб на кожного учня припадало не менше 6 м3 повітря.
Скільки учнів можна розмістити у нашому кабінеті
математики, який має форму прямокутного
паралелепіпеда з вимірами 8,8 м, 6,4 м і 3,2 м, не
порушуючи санітарних норм ?
Розв’язання
1) 8,8·6,4·3,2 = 180,224(м3) −об’єм класної кімнати або
об’єм повітря в кімнаті.
2) 180,224 : 6 = 30,04 = 30 ( уч.) − можна розмістити у
нашому кабінеті математики.
Відповідь:30 учнів
Епіграф уроку
Узагальнення – це, мабуть,
найлегший і найочевидніший шлях
розширення математичних знань.
В. Сойер
Очікувані результати:
 повторити теоретичний матеріал з теми,
узагальнити, систематизувати і поглибити знання ;
 удосконалити вміння розв’язувати задачі на
знаходження об’ємів;
 навчитися співпрацювати;
 розвивати вміння працювати самостійно;
 оформляти правильно розв’язки ;
 розвивати увагу, математичне мислення, просторове
уявлення;
 критично оцінювати свої навчальні досягнення;
 розвивати компетентності ( інформаційні,
полікультурні, комунікативні,соціальні, …)
 виховувати увагу, кмітливість, охайність,
працьовитість, самостійність, самокритичність.
Етапи уроку, які підлягають
самооцінюванню та
взаємооцінюванню
I. Без теорії немає практики.
II. Тільки в спільній праці
народжується істина.
III. І один у полі воїн.
Узагальнення знань
Без теорії немає практики
“Знаємо, пам’ятаємо, розуміємо” .
( І етап уроку, який підлягає самооцінюванню )
Закінчіть речення.
1) Конус називається рівностороннім, якщо його осьовим перерізом є
……………………………………………………………………………………………………………………...
2) Циліндр називається рівностороннім, якщо його осьовим перерізом
є……………………………………………………………………………………………………………………..
3) Якщо піраміда правильна, то в її основі лежить ……………………………………………
4) Переріз кулі діаметральною площиною називається……………………………
5) Якщо в основі піраміди лежить прямокутний трикутник і всі бічні ребра
рівні, то основа її висоти знаходиться
………………………………………………………………………………………………………………………..
6) Формула квадрата діагоналі прямокутного паралелепіпеда
…………………………………………………………………………………………………………………..
7) Якщо площина дотикається до кулі, то вона перпендикулярна до
проведеного в точку
дотику……………………………………………………………………………………………….............
8) Якщо всі грані піраміди нахилені до пл.основи під одним кутом, то вершина
піраміди проектується в
………………………………………………………………………………………………………………………
9) Якщо всі ребра піраміди рівні або нахилені до пл.основи під одним кутом,
то вершина піраміди проектується в…………………………………………..
1) знайти площу основи правильної чотирикутної призми, якщо
діагональ основи дорівнює 12 см.;
2) знайти площу основи тетраедра, ребро якого дорівнює 6 см;
3) площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 169 см 2
,знайти сторону основи;
4) знайти площу основи паралелепіпеда, якщо в основі -ромб з
діагоналями 7 см і 8 см;
5) чому дорівнює радіус основи циліндра, якщо площа основи – 49 π
см2 ?;
6) радіус основи рівновеликого циліндра – 8 см, знайти висоту
циліндра;
5) знайти ребро куба, об’єм якого дорівнює 125 π см3.
Тільки в спільній праці народжується
істина
Виконати тестові завдання:
1) Знайти об’єм піраміди, основа якої - ромб із діагоналями 10 см і
12 см, а висота піраміди дорівнює 15 см.
А) 300 см3
Б) 900 см3
В) 480 см3
Г) 240 см3
2) Знайти об’єм рівновеликого циліндра, висота якого – 8 см.
А) 64
π см3
Б) 96
π см3
В) 128
π см3
Г) 512
π см3
3) Знайти об’єм конуса, осьовим перерізом якого є рівнобедрений
трикутник з основою 6 см і бічною стороною 5 см.
А) 45
4)
π см3
Б) 36
π см3
В) 15
π см3
Б) 288
π см3
Г) 12
π см3
π см2. Знайти об’єм кулі.
В) 108 π см3
Г) 432 π см3
Площа великого круга кулі дорівнює 36
А) 216
π см3
Розв’язання
1) S о = 1/2d1∙d2= 1/2 ∙10∙12 = 60 ( см2) –
площа основи.
V =1/3 Sо∙H = 1/3 ∙60∙15 = 300( см3) – об’єм
піраміди.
Відповідь: А) 300 см3
2)
Осьовим перерізом рівновеликого
циліндра є квадрат.
Оскільки висота циліндра ─ 8 см, то його
радіус дорівнює 4 см.
V = π R2 H = π ∙42∙8 = 128 π ( см3) – об’єм
циліндра.
Відповідь: В) 128 π см3
3) Висота рівнобедреного трикутника є також і медіаною, яка
ділить сторону пополам, значить радіус основи циліндра
дорівнює 3 см, а його висота – 4 см
( трикутник із сторонами 3, 4, 5 – єгипетський ).
V =1/3 π R2H = 1/3 π ∙32∙4 = 12 π (см3) – об’єм конуса.
Відповідь: Г) 12 π см3
4)
Оскільки площа великого круга дорівнює 36 π см2, то
R = 6 см- радіус кулі. Тоді V = 4/3 π R3 = 4/3 π ∙63 =
= 288 π ( см3) – об’єм кулі.
Відповідь: Б) 288 π см3
Самооцінювання та взаємооцінювання роботи в групах.
( 1 − 3 бали ).
І один у полі воїн
Скласти план розв’язання задач, проаналізувавши їх
1. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник із
сторонами 5см, 5см, 6см. Всі бічні ребра піраміди
нахилені до площини основи під кутом 450. Знайти
об’єм піраміди.
2. Радіус описаного навколо основи правильної
трикутної піраміди кола дорівнює 6см. Всі бічні
грані нахилені до площини основи під кутом 600.
Знайти об’єм піраміди.
3. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник
із сторонами 5см, 5см, 6см. Всі бічні ребра
піраміди нахилені до площини основи під
кутом 450. Знайти об’єм піраміди.
4. Радіус описаного навколо основи правильної
трикутної піраміди кола дорівнює 6см. Всі бічні
грані нахилені до площини основи під кутом
600. Знайти об’єм піраміди.
Н
β
2R
Нехай на малюнку зображено осьовий переріз
циліндра, діагональ якого дорівнює т, а кут, який
утворює ця діагональ з діаметром основи дорівнює α.
Із прямокутного трикутника знайдемо висоту
циліндра та його діаметр:
H = т Sinα , d = 2r = т Cosα, звідки r = 1/2 т Cosα,
тоді V = π R2H =1/4 π т3Sinα Cos2α ( куб. од.) ─
об’єм циліндра.
Відповідь: 1/4π т3Sinα Cos2α куб. од.
В
О
А
Розв’язання
1. Нехай на малюнку зображено конус, який утворюється від
обертання прямокутного трикутника АОВ ( L АОВ =900) навколо
більшого катета ВО, у якому гіпотенуза АВ = 20см, а L АВО =
300.
У прямокутному трикутнику катет, який лежить проти кута
300, дорівнює половині гіпотенузи, значить R = 10 см – радіус
основи конуса. За співвідношеннями у прямокутному
трикутнику H = R∙tg 600 = 10 √3 (см) ─ висота конуса.
Тоді V = 1/3 π R2H= 1/3 π ∙100∙10 √3 = 1000√3 π (см3) - об’єм
конуса.
3
Відповідь: 1000√3 π см3
3
M
5
A
O
6
3.
B
5
Розв’язання
C
Нехай МАВС – дана піраміда, у якій АВ = ВС = 5см, АС = 6см. МО = H ─ висота
піраміди. Оскільки всі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим же
кутом, то основа висоти – т.О – центр описаного навколо основи кола ( в ∆ АВС – це
точка перетину серединних перпендикулярів), а ОВ = R ─ радіус описаного кола. У
∆ МОВ: МО – перпендикуляр, МВ – похила, ОВ – проекція похилої МВ, тому L МВО = 450 – кут
між бічним ребром і пл.основи.
Знайдемо площу основи та радіус описаного навколо основи кола: р = (5+5+6) : 2 =
8(см) ─ півпериметр основи.
Sо = √p(p-a)(p-b)(p-c) = 12( см2) ─ площа основи.
R = (5 ∙ 5 ∙ 6): (4 ∙ 12) = 25/8 (см) – радіус описаного кола.
Із ∆ МОВ (L МОВ = 900, LВМО= LМВО = 450) маємо: H = R= 25/8 (см) – висота піраміди
Тоді V = 1/3 Sо H = 1/3 ∙12∙ 25/8 = 25/2 = 12,5 (см3)─ об’єм піраміди.
Відповідь: 12,5 см3
M
Розв’язання
A
B
K
r
O
Нехай МАВС – дана піраміда, у
якій АВ = ВС = АС, МО = H ─
висота піраміди. Оскільки всі бічні
грані нахилені до площини основи
під одним і тим же кутом і основою
піраміди є правильний трикутник,
то основа висоти – т.О – центр
описаного і вписаного в основу
кола ( в ∆ АВС – це точка перетину
бісектрис, медіан і висот ), значить
ОВ = R ─ радіус описаного кола, а
r = ОК ─ радіус вписаного кола.
C
У ∆ МОК:МО─ перпендикуляр, МК ─ похила, а ОК ─ проекція похилої МК.
Оскільки ОК і АС перпендикулярні, то і МК і АС теж перпендикулярні за
теоремою про три перпендикуляри, значить LМКО= 600 ─ лінійний кут
двогранного кута ( між бічною гранню і основою).
Знайдемо радіус вписаного в основу кола, площу основи та висоту
піраміди:
КО=r = R/2 = 3(см) – радіус вписаного в основу кола.
а = √3 R=6 √3(см) ─ сторона основи.
Sо =( (6√3)2 √3 )/4 = 27 √3( см2)─ площа основи;
H = МО = ОК∙tg600= =3 √3 (см) ─ висота піраміди ;
Тоді V = 1/3∙ Sо∙H = 1/3∙ 27 √3∙3 √3 = 81 (см3) ─ об’єм піраміди.
Відповідь: 81 см3









повторити теоретичний матеріал з теми, узагальнити,
систематизувати і поглибити знання ;
удосконалити вміння розв’язувати задачі на
знаходження об’ємів;
навчитися співпрацювати;
розвивати вміння працювати самостійно;
оформляти правильно розв’язки ;
розвивати увагу, математичне мислення, просторове
уявлення;
критично оцінювати свої навчальні досягнення;
розвивати компетентності ( інформаційні, полікультурні,
комунікативні, …)
виховувати увагу, кмітливість, охайність, працьовитість,
самостійність, самокритичність.
Рівень
( бали)
І рівень
1-3
Домашнє завдання
Обчисліть об’єм куба, діагональ основи якого
дорівнює 2√3 см
ІІ рівень
4-6
Ш рівень
7-9
Об’єм конуса дорівнює 32 π см3 . Обчисліть висоту
ІV рівень
10-12
Довжина сторони основи правильної чотирикутної
піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро утворює з
площиною основи кут 300 . Обчисліть об’єм піраміди.
Додаткове
завдання
Прямокутний трикутник з катетами 6см і 8см
обертається навколо гіпотенузи. Обчисліть об’єм тіла
обертання. ( Рекомендую спочатку вивести формулу для
обчислення об’єму такого тіла обертання).
конуса, якщо радіус його основи дорівнює 4 см.
Об’єм циліндра дорівнює 200 π см3, а його висота ─
8см. Обчисліть довжину основи кола циліндра.
Спасибі за урок, діти!
Бажаю всім присутнім
успіху!