Transcript piramidologiya

•
Піраміда.
• Слово «піраміда» в геометрію ввели греки,
котрі, запозичували його у єгиптян, які створили
найбільш знамениті піраміди у світі.
Інша теорія виводить що цей термін із грецького слова
«пірос» (жито) - вважають, що греки випікали хлібці,
які мали форму піраміди.
Які бувають піраміди
Зрізані
Повні
Неправильні
Правильні
Математична точка зору
• Евклід піраміду визначає як тілесну
фігуру, обмежену площинами, які
від однієї площини сходяться до
однієї точки.
• Герон запропонував таке означення
піраміди: «Це фігура, обмежена
трикутниками, що сходяться в
одній точці і підставою якої
служить многокутник».
Історичні відомості про піраміду.
Єгипетські піраміди - це
одне з семи чудес світу. Що
ж таке піраміди?
Усипальниці єгипетських
фараонів. Найбільші з них піраміди Хеопса, Хефрена і
Мікеріна в Ель-Гізі в
давнину вважалися одним
із Семи чудес світу.
Найбільша з трьох піраміда Хеопса.
Ось що на сьогоднішній
день відомо про єдиний зі
збережених семи чудес
світу - піраміді Хеопса:
побудована приблизно
4500 років тому в часи IV
династії фараонів
Древнього Єгипетського
Царства, висота - 146.5 м
(зараз приблизно 8 м
верхівки відсутня, як і
зовнішня облицювання),
довжина боку - 230.5 м.
Піраміда викладена з 2.5
мільйонів блоків піщанику
вагою від 0.5 до 2 тонн.
Чудеса Гізи
Величезні обліцовані вапнякові плити
витесані з такою точністю , що в щілини
між ними не пройде і тонке лезо ножа
(про що писав ще арабський історик
Абдель Латіф ) . Всередині піраміди
Хеопса немає ні написів , ні прикрас . Там
знаходяться три похоронні камери .
Похоронна камера фараона представляє
собою кімнату довжиною близько 11
метрів , шириною п'ять метрів і висотою
майже шість метрів. Стіни усипальниці
оброблені гранітними плитами. Саркофаг
з червоного граніту порожній . Ні мумія
фараона , ні похоронне начиння не були
знайдені. Припускають , що піраміда була
розграбована ще в глибоку давнину .
Піраміди.
Долина царів
Ступінчаста піраміда
Джосера
Піраміда природного
походження
“Червона” піраміда в Дашурі
Піраміда Сонця
ЦентральнаяАмерика на північ від Мехіко до Теотиукана
Острів Тенеріфе: Піраміди Гуїмар
На тлі Гімалайського хребта чітко
виділяється пірамідальна частина - гора
Кайлас
• Франкфурт:
заміський будинок
1896. Одна з башт
має форму піраміди
і надає будівлі
величний вид.
Дослідження світової системи
пірамід
АЛЕКСАНДРОВСьКИЙ МАЯК
Піраміди в архетектурі
Торгівельний центр в Ілінге, Лондон
«Великий Лувр» після
реставрації в 1981 р.
Зв'язок між новими залами і двором
здійснюється за допомогою піраміди з
прозорого скла надзвичайно легкої
конструкції. Автором цього
новаторського
проекту був американський
архітектор китайського
походження Ео Мінг Пей.
На Марсі існують єгипетські піраміди
Американські зонди
"Маринер", "Вікінг" і
"Вояджер" передали на
Землю тисячі знімків
поверхні Марса. Її
зображення змусили
багатьох замислитися. На
одних знімках видно щось,
що нагадує єгипетські
піраміди, тільки набагато
більші
Піраміда у психології
Піраміда та лікування
• Пірамідки з рожевого кварцу,
зеленого малахіту або
голубувато-зеленого амазоніту
роблять позитивний вплив на
роботу серцевого м'яза,
знімають нервову напругу,
покращують стан емоційної
сфери.
• Пірамідки з жовто-оранжевого
сердоліку сприятливо
впливають на травлення, а з
світло-зеленого нефритутонізують, заспокоюють
нерви.
Біологічні впливи
Французький учений Жак Берж'є , який вивчав вплив
різних просторових форм на біологічні речовини , спорудив картонну
модель Піраміди і помістив туди бичачу кров. Через деякий час вона
розділилася на дві субстанції - світлу і темну . Інші вчені впевнилися , що
в моделі Піраміди довго зберігаються швидкопсувні продукти. Маятник
, підвішений над вершиною моделі , відхиляється убік або повільно
обертається навколо вершини . Дивно поводяться і рослини. Спочатку
вони тяжіють до сходу, потім описують півколо , рухаючись з півдня на
захід. Чеський винахідник Карел Дрбал в 1959 році пристосував подібну
модель для самозатачіванія лез для гоління , і отримав патент.
Вважається , що пірамідальна форма фокусує космічну енергію ...
У ході дослідження була підтверджена
гіпотеза про існування пірамід навколо
нас. Дійсно, піраміди можна
спостерігати не лише у геометрії, а й у
навколишньому світі. Наприклад, в
психології, економіці, хімії, біології,
архітектурі і навіть на Марсі! Ну і
звичайно, не забудемо великі
Єгипетські Піраміди!
Дякую за увагу!
Пірамідою називається
Вершина
многогранник, однією з
граней якого є многокутник
(основа піраміди), а інші
грані (бічні ребра) трикутники зі спільною
вершиною.
SABCDEF - піраміда
ABCDEF - основа піраміди
S - вершина піраміди
SO – висота піраміди
S
Бічна
грань
B
C
.О
A
F
D
E






Основа піраміди – довільний многокутник, над площиною
якого розміщено вершину піраміди (ABCD)
Вершина піраміди – точка, розташована
на висоті піраміди, яка проектується на
основу цієї піраміди (S)
.
S
Бічні грані – трикутники, що мають
спільну вершину та утворюють бічну
поверхню піраміди (ASB, BSC, CSD,
ASD)
Бічні ребра – Відрізки, що сполучають
вершину піраміди з вершинами основи
(SA, SB, SC, SD)
Висота піраміди – перпендикуляр,
опущений з вершини піраміди на
основу (SO)
C
B
A
Апофема піраміди – висота бічної грані
правильної піраміди (SK)
O
D
K
Піраміда називається n-кутною,
якщо в її основі лежить n-кутник.
В n–кутній піраміді
кількість ребер
дорівнює 2n.
Кількість вершин n+1.
n - кількість кутів
основи піраміди.
Дайте відповіді на
запитання:
Чи існує піраміда, яка має 21
ребро?
Чи є правильним твердження,
що коли всі бічні ребра піраміди
рівні між собою, то піраміда
правильна?
Чи існує піраміда, усі грані якої
є прямокутними трикутниками?
НІ
НІ
ТАК
Дайте відповіді на
запитання:
Чи обов’язково висота піраміди
лежить у середині піраміди?
НІ
Чи може висота піраміди
збігатися з її бічним ребром?
ТАК
Чи є правильним твердження,
що коли всі бічні ребра
піраміди однаково нахилені
до основи , то піраміда
правильна?
НІ
Види
пірамід
Правильна піраміда
ОЗНАЧЕННЯ 1. Піраміда,
S
в основі якої лежить
правильний многокутник і всі
бічні ребра рівні між собою,
називається правильною.
ОЗНАЧЕННЯ 2. Піраміда,
в основі якої лежить
правильний многокутник і
основа висоти піраміди
збігається з центром цього
многокутника, називається
правильною.
C
B
A
O
D
Алгоритм побудови правильної
трикутної піраміди
S
A
/
/
O
C
1.Побудуємо довільний
трикутник
2.Проведемо дві медіани
(які є бісектрисами і
висотами)
3.Проведемо висоту до
площини трикутника
(основа висоти – точка
перетину медіан)
B
4.На висоті оберемо
точку (S)
5.Проведемо з вершин
трикутника до точки S
прямі.
Правильна піраміда має такі властивості:
 бічні ребра правильної
піраміди рівні;
S
 у правильній піраміді всі
бічні грані - рівні трикутники;
 в будь-яку правильну
піраміду можна як вписати,
так і описати сферу;
 площа бічної поверхні
правильної піраміди
дорівнює половині добутку
периметра основи на
апофему.
C
B
A
O
D
Теорема. Площа бічної поверхні правильної
піраміди дорівнює добутку півпериметра її
основи на апофему піраміди.
Доведення:
S
l
C
B
a
A
O
D
Якщо дві бічні грані піраміди
перпендикулярні до площини основи
S
Якщо дві бічні грані
піраміди (ABS),
(CBS)
перпендикулярні до
площини основи
(ABC), то SB – їх
спільне ребровисота піраміди
C
B
A
Піраміди, в яких одна бічна грань
перпендикулярна до площини основи
S
Якщо одна із граней
піраміди (SAC)
перпендикулярна до
площини основи, то
висота піраміди
лежить у площині цієї
грані і є висотою цієї
B
грані.
C
A
O
Піраміди, в яких бічні ребра нахилені
до площини основи під рівними
кутами
Якщо всі бічні ребра
піраміди рівні або
однаково нахилені до
площини основи
піраміди, або
утворюють однакові
кути з висотою
піраміди, то основою
висоти піраміди є центр
кола, описаного
навколо основи
піраміди.
Піраміди, в яких усі двогранні кути
при основі рівні між собою
Якщо всі двогранні кути при
основі піраміди рівні, або всі
висоти бічних граней рівні,
або всі висоти бічних граней
утворюють однакові кути з
висотою піраміди, то
основою висоти піраміди є
центр кола, вписаного в
B
основу піраміди.
S
K
O
N
A
C
M
Зрізана піраміда
(прозора)
Зрізаною пірамідою
називається
многогранник, що
лежить між основою
піраміди і січною
площиною,
паралельною її основі.
Бічні грані правильної
зрізаної піраміди – рівні
рівнобічні трапеції.
Формула площі правильної
зрізаної піраміди
(Піраміда прозора)
“ Математика володіє не тільки істиною, але
і вищою красою - красою відточеною і
суворою, піднесено чистою і прагнучої до
справжньої досконалості, що властиво лише
найбільшим зразкам мистецтва.”
- Бертран Рассел
М
Аn
А1
А4
А2
А3
Піраміда —
багатокутник, який
Поверхня піраміди
складається
з плоского
складається
з основи
багатокутника
і точкиі
бічних
граней.у площині
Кожна
(яка
не лежить
бічна
грань
— трикутник.
основи)
та всіх
відрізків,
Однією
з його вершин
є
що
сполучають
вершину
вершина
пірамідипіраміди,
з точкамиа
протилежною
стороною
основи. Відрізки,
що
— сторона вершину
основи
сполучають
піраміди.
піраміди
з вершинами
основи, називаються
бічними ребрами.
α
Знайдіть бічне ребро правильної чотирикутної піраміди, висота якої
дорівнює 12см, а діагональ основи дорівнює:
Варіант 1: 18см
Варіант 2: 10 см
Бічне ребро піраміди дорівнює 10см і утворює з висотою піраміди кут 60.
Знайдіть:
Варіант 1: проекцію бічного ребра на основу піраміди
Варіант 2: Висоту піраміди
3
2
Знайдіть площу основи правильної чотирикутної піраміди, у які висота
дорівнює
см, а
Варіант 1: бічне ребро дорівнює см
Варіант 2: Апофема дорівнює
см
Дано: SAВС — правильна трикутна піраміда, точка О — центр грані AВС, М —
середина ребра ВС. Установіть відповідність між початком твердження (1-3)
та його висновком (А-Г) так, щоб утворилось істинне твердження.
1. Якщо бічне ребро піраміди дорівнює а і утворює з
площиною основи кут α. то висота піраміди дорівнює
2. Якщо апофема піраміди дорівнює а ї утворює з
площиною основи кут α. то радіус кола, вписаного в
основу піраміди, дорівнює
3. Якщо апофема піраміди дорівнює а і утворює з
бічним ребром кут α, то бічне ребро піраміди
дорівнює
А.
Б.
В.
Г.
Задача
Основа піраміди SABC – рівнобедрений трикутник ABC. AB= BC= 12
см. Бічна грань SAC, що містить основу трикутника , перпендикулярна
до площини ABС, а дві інші бічні грані нахилені до основи під кутом
60°
Знайдіть площу основи піраміди 𝑆𝑂 = 4 3
Відповідь: 48 см2
Задача
Основа піраміди – ромб із меншою діагоналлю 4 см і гострим кутом
60°. Усі бічні грані утворюють з основою піраміди рівні кути по 45°.
Знайдіть висоту піраміди
Відповідь: 3 см.
Задача
Відома піраміда Хеопса в Єгипті – правильна чотирикутна піраміда,
висота якої дорівнює 147м, а площа основи – 5,3 га. Знайдіть міру
двогранного кута при ребрі її основи і кут нахилу до площини
основи її бічного ребра.
Розв’язання
M
4) З трикутника MOK, tgMOK
Дано:
𝑂𝑀MABC
147 правильна
= 𝑂𝐾 = 115MO=147м.,
≈ 1,2783
піраміда;
𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 5,3 га
C
D
A
O
В
K
5) З трикутника ABC за
теоремою Піфагора
2 =
2 , м2
1) 5,3
= 53
000
𝐴𝐶га
2𝐴𝐵
𝑂𝐶 2 = 2𝐴𝐵2 ,
𝐴𝐵 230
𝑂𝐶 =
=
2
2AB =
2) ABCD – квадрат,
53 000 = 230 м.
6) З трикутника MOC,
𝑂𝑀
147 2
tgMCO = 𝑂𝐶 = 230 ≈ 0,9038
1
3) OK = 2 𝐴𝐵 = 115 м.
Задача
У правильній трикутній піраміді SABC R – середина ребра BC, S –
вершина, AB = 7, SR = 16. Знайдіть площу бічної поверхні.
Розв’язання
S
Площа бічної поверхні даної
піраміди дорівнює
1
𝑆б = 𝑃𝐴𝐵𝐶 ∗ 𝑆𝑅 =
2
C
B
=
1
∗ 3 ∗ 𝐴𝐵 ∗ 𝑆𝑅 =
2
3
= ∗ 7 ∗ 16 = 168
2
R
A
Задача
Висота бічної грані правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10
см. Визначте повну поверхню піраміди, якщо бічна грань нахилена
до площини під кутом 60.
Розв’язання
O
B
C
K
A
N
D
Площа
бічної
грані дорівнює:
Оскільки
кут ONK=60,
то KN =
1ON
𝑆2 = 𝐶𝐷 ∗ 𝑂𝑁 1
2 60° = 10 ∗ =
𝐾𝑁 = 𝑂𝑁 cos
2
1 = 5 𝑐𝑚
𝑆2 = 10 ∗ 10 = 50 (𝑐𝑚2 )
2
За умовою піраміда –
правильна, то К проектується
у центр основи, квадрата =>
Площа
поверхні
𝐴𝐷
= 2𝐾𝑁
= 2 ∗ дорівнює:
5 = 10𝑐𝑚
𝑆пов = 𝑆1 + 4𝑆2 =
= 100 + 4 ∗ 50 = 300(𝑐𝑚2 )
Таким чином, площа основи
дорівнює:
300
см²
𝑆1 =Відповідь:
𝐴𝐷2 = 102 =
100
(𝑐𝑚)
Задача
В правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює 8 см, а
плоский кут при вершині дорівнює ϕ. Знайдіть висоту піраміди.
Розв’язання
Розглянемо ∆BCD, BC= 8 cm
За теоремою косинусів:
D
𝑩𝑪𝟐 = 𝑩𝑫𝟐 + 𝑪𝑫𝟐 − 𝟐𝑪𝑫𝑩𝑫 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝝋
𝟏𝟔
𝟔𝟒
𝟏
𝟒
𝑯 = 𝟔𝟒 =𝝋𝟐𝐁𝐃
− 𝟐−
= 𝟐𝐁𝐃
𝟒 ∗ 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝛗𝝋 − =
𝟑
𝟑
φ 𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐
𝒔𝒊𝒏
𝟐
𝟔𝟒 = 𝟒𝑩𝑫𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝟐
𝝋
𝝋
𝝋
𝟒
𝟐
𝟑 − 𝟒𝒔𝒊𝒏𝑩𝑫
𝟑𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐
=
𝟐
φ
=𝟒
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐
𝝋 =𝟒
𝝋
𝟐
𝟑𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟑𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐
A
C
=𝟒
O
K
M
B
𝟏
𝑡𝑔2 φ
2
φ
𝟏
𝟒 𝟏 − 𝟑 𝑡𝑔2
𝟏
==
У𝟑 ∆CDO: 𝒕𝒈 φ𝟐
OC = r
−
𝑫𝑶 = 𝒉 =
2
𝑫𝑪𝟐 − 𝑨𝑪𝟐
ЗА теоремою синусів:
ВС
= 2𝑂𝐶
sin 60˚
8
𝑂𝐶 =
3
Дякую за увагу