Transcript 1. Oblikovanje matematičnih pojmov v predšolskem in zgodnjem

1. Oblikovanje matematičnih pojmov
Uvod
1. 1 Opredelitev pojma 'pojem'
1.2 Oblikovanje pojmov
Primer: Oblikovanje pojma večkotnik
Izkušnje z večkotniki
1.2.1Učenje z razumevanjem
1.2.2 Ključni dejavniki pri oblikovanju pojmov
 Protiprimeri oz. negativni primeri
 Poimenovanje pojmov in komunikacija o pojmih
 Motnje pri oblikovanju pojmov
 1.3 Teorija v praksi
Literatura
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
1
Uvod
Učenje matematike je za učence smotrno,
 ker je matematika bistveni element komunikacije,
 ker je pomembno sredstvo v vsakdanjem življenju,
 ker je fascinantna,
 ker omogoča imaginacijo, intuitivnost in kreativnost misli,
 ker nudi sistematično delo ter
 ker s pomočjo matematike razvijamo učenčevo samozaupanje v njegove
(matematične) sposobnosti.
Učenec si v procesu učenja matematike pridobiva
 znanje o matematičnih pojmih in simbolih,
 matematične veščine ter
 matematične strategije.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
2
1.1 Opredelitev pojma ‘pojem’
pójem … miselna tvorba, določena z bistvenimi lastnostmi,
značilnostmi
konkretnega
ali
abstraktnega
predmeta,
predmetov…; lepo je relativen pojem; pojem časti, hiše, vojne…//
kar se da določiti, spoznati zlasti z umom: svoboda ni predmet,
ampak pojem (SSKJ, 1994)
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
3
1.2 Oblikovanje pojmov
Pri oblikovanju pojmov sta bistvena dva procesa:
 pridobivanje izkušenj in
 uvrščanje izkušenj v obstoječe okvire izkušenj.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
4
Raznovrstnost izkušenj
Ekonomičnost spomina
Abstrahiranje - proces ozaveščanja
podobnosti naših izkušenj
Posebne lastnosti,
ki so določene s
posamezno
pojavno obliko
predmetov in
pojmov, ponavadi
pozabimo
Abstrakcija oziroma pojem
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
5
Primer: Oblikovanje pojma večkotnik
Oblikovanje pojma trikotnik
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
6
Oblikovanje pojma večkotnik
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
7
Je to večkotnik?
Lik?
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
8
Izkušnje z večkotniki
 Razvrščanje večkotnikov
 Poimenovanje večkotnikov
 Izdelovanje večkotnikov (rezanje, oblikovanje štirikotnikov na geoplošči,
programsko okolje LOGO…)
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
9
to paralel :velikost1 :velikost2 :kot
repeat 2[fd :velikost1 rt :kot fd:velikost2 rt 180-:kot]
end
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
10
 Simetrija pri večkotnikih
 Obseg večkotnika
 Ploščina večkotnika
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
11
Povzetek
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
12
1.2.1 Učenje z razumevanjem
Razumeti ‘razumeti’ prav gotovo ni enostavno. Davis (1992) na
primer opisuje, da o razumevanju govorimo takrat, ko novo
idejo lahko pospravimo v večji okvir starih idej. To je najbolj
izrazito takrat, ko je na novo pridobljena informacija odgovor na
določeno vprašanje oziroma, ko smo iskali prav to informacijo.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
13
Metafora sestavljanke
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
14
Pri obravnavi matematičnih pojmov v glavnem lahko izbiramo med
dvema alternativnima pristopoma:
 behaviorističnim in
 kognitivnim (Orton, 1992).
Kognitivni pristop upošteva učenčevo predznanje ter učenčevo
zrelost oziroma pripravljenost za učenje določenega pojma.
Kognitivni pristop temelji na delu Piageta.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
15
Na podlagi Piagetovega dela je Dienes (1960) oblikoval tri stopnje,
ki igrajo pomembno vlogo pri oblikovanju matematičnih pojmov:
 stopnja igre,
 stopnja strukture in
 stopnja vaje.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
16
Tri stopnje pri učenju matematičnih pojmov je opredelil tudi Bruner
(1966). Bruner razlikuje med
 enaktivno,
 ikonično in
 simbolično stopnjo.
Stopnje po Brunerju lahko pri usvajanju matematičnih pojmov
apliciramo hierarhično, ali kot tri različne pristope pri usvajanju
matematičnih pojmov. Primernost posameznega pristopa je
določena s starostjo učenca in naravo matematičnega pojma.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
17
Učenje matematike z razumevanjem je raziskoval tudi Ausubel
(1968), ki je postavil neko splošno teorijo o učenju z
razumevanjem.
Učenje z razumevanjem je opredelil kot proces pridobivanja
znanja, ki temelji na vzpostavljanju povezav z obstoječo
posameznikovo strukturo znanja.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
18
Povzetek: Bruner se je zavzemal za to, da bi morali učenci pri
pouku samostojno odkrivati, Ausubel pa je dal prednost
sistematičnemu učenju, ki rezultira v bolj sistematičnem znanju.
Če pogledamo naš šolski prostor, potem imamo občutek, da se
sicer vedno bolj nagibamo k Brunerjevi teoriji, vendar pa po
drugi strani gojimo večje zaupanje v Ausubelove ideje.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
19
Lahko sklenemo, da pri učenju o pojmih obstajata dve poti
(Marentič Požarnik, 2000):
 samostojno oblikovanje (odkrivanje) pojmov in
 pridobivanje obstoječih pojmov od odraslih, predvsem na osnovi
besednih razlag.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
20
Pridobivanje obstoječih pojmov od odraslih poteka v glavnem na
dva načina: kot poučevanje s primeri in kot poučevanje pojmov
prek definicij oziroma po deduktivni poti.
Samostojno oblikovanje pojmov zagovarja konstruktivizem.
 ‘Kognitivna ovira’ (spreminjanje napačno oblikovanih pojmov);
razumevanje pojma ‘je enako’
 Druge ovire? (inovativni algoritmi; kam vodijo?)
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
21
 Učna
metoda mora zagotoviti interakcijo med konkretno
aktivnostjo in miselno aktivnostjo. Optimalno ravnovesje med
obema pa je določeno s starostjo učencev, z njihovimi
sposobnostmi, naravo matematičnega pojma in dostopnostjo
ustreznih materialov.
 Radikalni konstruktivizem
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
22
 Sociokonstruktivizem moramo razumeti kot proces individualnih
konstrukcij v socialnem okolju. Matematiko bi lahko opredelili kot
sociološko znanost v smislu, da so vsi pomeni matematičnih idej
dogovorjeni oziroma v družbi na določen način prepoznavni.
 Lahko bi celo govorili o matematiziranju namesto o matematiki.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
23
Poskusi konstruktivizma:
Didaktični realizem na Nizozemskem:
 Ker so konstrukti vezani na kontekst, morajo biti kontekstualni
tudi matematične naloge in matematični jezik.
 Med konstrukti posameznikov morajo obstajati določene
konfrontacije (konflikti, presenečenja in šale).
 Konstrukti morajo imeti določen pomen in jih je mogoče vgraditi
v obstoječo miselno strukturo.
van den Brink (1984, 1985, 1991)
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
24
Strategije računanja 37+24 na ‘prazni številski osi’ (Selter, 1998, str. 7)
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
25
1.2.1 Ključni dejavniki pri oblikovanju pojmov
 Protiprimeri oz. negativni primeri
Pravokotna oblika kot protiprimer kvadratne oblike
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
26
 Poimenovanje pojmov in komunikacija o pojmih
Besede označujejo pojme.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
27
Primarni pojmi (npr. trikotnik)
Sekundarni pojmi (npr. lik)
Če je pojem A primer pojma B, potem je
pojem B sekundarni pojem.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
28
 Motnje pri oblikovanju pojmov
… so podatki, ki so za pojem nepomembni
Računanje do 20 (Vzeto iz Hafner, Mulec, Uran, 1998, str. 118 in 119)
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
29
Pojmi in relacije med njimi ter matematična dejstva (izrazi, simboli,
formule) oblikujejo shemo (miselno strukturo).
Naravna števila
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
30
Zakaj v shemi ni odštevanja in deljenja?
Realna števila
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
31
Prilagodljivost strukture (Piaget)
Stopnje kognitivnega razvoja (nivoji otrokovega mišljenja)
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
32
1.3 Teorija v praksi
Pojmi v matematiki so abstraktne ideje, ki pa za otroka zaživijo s
pomočjo reprezentacij.
Pri reprezentacijah oziroma pri oblikovanju
matematičnih
pojmov pri metodiki matematike sledimo načelu od
konkretnega do abstraktnega.
Poznamo:
 reprezentacije s konkretnim materialom
 grafične reprezentacije
 reprezentacije z matematičnimi simboli. (4)
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
33
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
34
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
35
Literatura
Bruner, J. S. (1966) Toward a Theory of Instruction. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Davis, R. B. (1992) Understanding “Understanding”. Journal of Mathematical Behavior 11(3), 225241.
Dienes, Z. (1960) Building Up Mathematics. London: Hutchinson Educational.
Hodnik Čadež, T. (2001) Vloga različnih reprezentacij računskih algoritmov na razredni stopnji
(doktorska disertacija). Filozofska fakulteta.
Lerman, S. (1989) Constructivism, Mathematics and Mathematics Education. Educational Studies in
Mathematics 20(2), 211-223.
Marentič Požarnik, B. (2000) Psihologija učenja in pouka. Ljubljana: DZS.
Orton, A. (1992) Learning Matehmatics (Issues, Theory and Classroom Practice). London: Cassell
Education.
Selter, C. (1998) Building on Children’s Mathematics - A Teaching Experiment in Grade Three.
Educational Studies in Mathematics 36(1), 1-27.
Van den Brink, F. J. (1984) Numbers in Contextual Frameworks. Educational Studies in Mathematics
15, 239-257.
Van den Brink, F. J. (1985) Staging Arithmetic: a Suggestion for the Start of Mathematics Instruction.
For the Learning of Mathematics 5(2), 35-37.
van den Brink, F. J. (1991) Didactic Constructivism. V: von Glasersfeld, E. (ur.) Radical Constructivism
in Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer.
Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih
pojmov
36