Transcript Hidraulika_Predavanje 4_www_Vodni udar

Vodni
udar
Hidraulički (vodni) udar predstavlja znatno povećanje tlaka u
cjevovodu koji se javlja kao posljedica nagle promjene brzine
(npr. na nizvodnom kraju cjevovoda uslijed smanjenja otvora
na zatvaraču).
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
1
Pojava i širenje vodnog udara
a) PRIJE ZATVARANJA
b) NAKON NAGLOG ZATVARANJA
Razlika između oscilacija vodnih masa i vodnog udara sa kinematskog stanovišta se može usporediti sa:
- vlak – svi vagoni se istovremeno usporavaju
- kolona automobila – lančani sudar
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
2
Pojava i širenje vodnog udara (nastavak)
Front poremećaja (zaustavljanja vode) se širi brzinom a :
l dl
a  lim

t  0 t
dt
Vrijeme zaustavljanja vode u cijelom cjevovodu je definirano izrazom:
L
TL 
a
U slučaju nestlačive vode i krutog cjevovoda vrijedi: TL = 0 a brzina poremećaja a = ∞.
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
3
Pretpostavke
Prilikom proučavanja osnovnih jednadžbi vodnog udara (VU) će se usvojiti
slijedeće pretpostavke:
a) promjene volumena uslijed udara (uslijed povećanja tlaka) su male u
odnosu na početni volumen
b) promjene brzine su veoma nagle, tj. inercijalni član uslijed lokalnog
ubrzanja je neusporedivo veći od inercijalnog člana od usputnog
ubrzanja i sile trenja
c) brzina strujanja v se može u odnosu na brzinu propagacije poremećaja
a zanemariti. Iz ovog uvjeta slijedi da je brzina širenja poremećaja
nezavisna od intenziteta i smjera strujanja osnovnog toka.
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
4
Pod pojmom “tlačni” se podrazumijevaju cjevovodi kod
kojih može doći do pojave vodnog udara.
Tlačni cjevovodi se mogu podijeliti u dvije osnovne skupine
a) tlačni cjevovodi s malim gubicima energije ( npr. u hidroelektranama)
b) tlačni cjevovod i s velikim gubicima energije (npr. za vodoopskrbu )
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
5
Jednadžba vodnog udara
Za nestacionarno strujanje vode vrijedi Bernoullijeva jednadžba:
l2
p1  v12
p2  v22
1 2 v
z1 

 z2 

 H   dl
g 2 g
g 2 g
g l1 t
l1
l
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
6
Jednadžba kontinuiteta
 2
Adl  Av 2  Av 1  0

t l1
l
-
prvi član predstavlja promjenu mase u jedinici vremena u volumenu cijevi između
dva presjeka, nastalu uslijed sabijanja vode i rastezanja cijevi
drugi član znači istjecanje mase iz presjeka 2
treći član znači dotok mase u presjeku 1
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
7
Dinamička jednadžba koja povezuje front poremećaja i presjek zatvarača
unutar malog vremenskog intervala Δt
1 v
h1  h2 
l
g t
promjena brzine Δv
1 l
v2  v1 
h1  h2 
g t
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
8
a
h2  h1   v2  v1 
g
odnosno:
a
h   v
g
h1
h2
v1
v2
a
piezometarska visina prije promjene brzine
piezometarska visina nakon promjene brzine
brzina prije promjene
brzina nakon promjene
brzina širenja vodnog udara
U slučaju potpunog trenutnog
zatvaranja
UDAR ŽUKOVSKOG
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
a
h  v1
9g
Brzina širenja vodnog udara
Dobiva se iz jednadžbe kontinuiteta
Ev

a
1
Ev D
Ec s
pri čemu je:
a
Ev
ρ
Ec
D
s
brzina širenja poremećaja
Modul elastičnosti vode
gustoća vode
modul elastičnosti cijevi
promjer cijevi
debljina stijenke
Brzina širenja vodnog udara u vodi je konstantna veličina za cjevovod
jednolikog presjeka i materijala.
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
10
U slučaju krutog cjevovoda (Ec→∞) brzina širenja vodnog udara
a
Ev

Za uobičajene dnevne temperature ova brzina iznosi a=1425 m/s
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
11
Brzine širenja poremećaja za razne cijevi
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
12
Faze propagacije vodnog
udara
a)
Početno stanje U početnom trenutku voda se kreće prema zatvaraču (v > 0) a u
čitavom cjevovodu je tlak jednak p
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
13
b) Faza kompresije
Vremenski interval 0<t<L/a u kojem granica između zone u kojoj je voda
zaustavljena i zone u kojoj voda struji se kreće prema vodospremi sve dok se ne
dosegne profil vodospreme. U zoni u kojoj voda miruje postoji nadpritisak Δp=ρ a Δv
t=L/a
Voda je u čitavom cjevovodu zaustavljena i izložena nadpritisku Δp
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
14
c) Faza dekompresije
U intervalu L/a < t < 2L/a je voda u cijevi pod većim tlakom nego što je tlak u vodospremi
pa dolazi do strujanja u smjeru prema vodospremi v < 0 što dovodi do potpunog
rasterećenja Δp = 0.
t=2L/a
Voda u cijevi struji prema vodospremi a tlak u cijeloj cijevi je Δp = 0
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
15
d) Faza podpritiska
Voda koja struji u smjeru vodospreme, po inerciji želi produžiti gibanje u tom smjeru.
Obzirom da je zatvarač zatvoren, tendencija da voda nastavi gibanje će uzrokovati
podtlak (sisajuće djelovanje) u profilu zatvarača po će se cjevovod sažimati a voda
razrjeđivati. Podtlak ima vrijednost -Δp=ρ a Δv. Val podpritiska se kreće prema
vodospremi.
t=3L/a
Voda u čitavom cjevovodu je zaustavljena i izložena podpritisku Δp
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
16
e) Faza rasterećenja
Smanjeni tlak omogućuje ponovno punjenje cjevovoda brzinom v u smjeru
prema zatvaraču. Ispred fronta poremećaja je podpritisak Δp i brzina v = 0 a
iza fronta poremećaja je brzina v i početni tlak p.
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
17
f) t=4L/a - Povratak na početno stanje
U trenutku t=4L/a je u cijeloj cijevi tlak jednak početnom tlaku p a brzina jednaka
početnoj brzini v kao što je bilo prije zatvaranja zatvarača. Ciklus je dakle došao na
početak i ciklusi pojedinih faza se ponavljaju na isti način kao što je to već opisano.
Film: Vodni udar-CFD simulation
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
18
Varijacije tlaka u sredini i na kraju cjevovoda
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
19
Princip superpozicije elementarnih poremećaja
Svaka promjena brzine:
v  vt  t   vt 
uzrokuje promjene tlaka:
a
h   v
g
p  gh
Dva uzastopna smanjenja brzine Δv1 i Δv2 koji uzrokuju odgovarajuće promjene
piezometarske visine
a
h1   v1
g
a
h2   v 2
g
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
20
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
21
Primjer superpozicije dva prirasta
tlaka uslijed dvije promjene brzine
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
22
Linearni zakon promjene brzina
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
Promjena tlaka pri linearnoj promjeni brzine
23
U slučaju prikazanog linearne promjene brzine vode je na osnovu
geometrijskih odnosa moguće odrediti najveću vrijednost tlaka koja se javlja
u cijevi.
hmax  o

a
Tz
vo
g
odnosno:
hmax 
o a
Tz g
vo
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
24
Realni zakon promjene brzina
a
h1  ho   v1  vo 
g
A1
v1   o
2 g h1  z o 
Ao
v0
v1
h
h10
z0
A0
A1
µ0
brzina u cjevovodu prije zatvaranja
brzina u cjevovodu nakon zatvaranja zatvarača u prvom intervalu τ0
piezometarska visina prije zatvaranja
piezometarska visina nakon zatvaranja u prvom vremenskom intervalu τ0
geodetska kota ispusta
površina poprečnog presjeka cijevi
površina izlaznog otvora u prvom intervalu τ0
istjecajni koeficijent koji se za problem vodnog udara može smatrati konstantnim
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
25
U drugom vremenskom koraku imamo pojavu negativne faze pa se može pisati
a
h2  h1   v 2  v1   2h1  ho 
g
A2
v2  
2 g h2  z o 
Ao
Kako se u drugom i svim daljnjim intervalima refleksija udara vrši oko
piezometarske kote h0 u vodospremi, stanje na kraju bilo kojeg vremenskog
intervala se može pisati:
hn  hn 1
a
  v n  vn 1   2hn 1  ho 
g
An
vn  
Ao
2 g hn  z o 
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
26
Promjena tlaka za linearno smanjenje površine proticajnog presjeka
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
27
Dijagram promjene tlaka za razne brzine smanjenja površine proticajnog presjeka
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
28
Određivanje tlaka metodom
karakteristika
Skica modeliranog hidrauličkog sistema
je jednostavan objekt koji služi za akumuliranje vode. Usvaja se da je tlak u
vodospremi konstantan. Ovaj rubni uvjet se prikazuje kao ravna horizontalna linija na Q-h
dijagramu.
1) Vodosprema
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
29
2) Zasun
Brzina na izlazu iz cjevovoda na kraju svakog vremenskog intervala τ0 je određena
veličinom ispusnog otvora An te se može izračunati brzina u cijevi vn
An
vn   o
Ao
2 g hn  z o 
U svakom trenutku zatvaranja zatvarača se može usvojiti da je protok:
Q  Cd Ao 2gh
β
A0
h
Cd
stupanj otvorenosti zatvarača ( β = A/A0)
površina potpuno otvorenog zatvarača
tlačna visina koja formira tlak vode
koeficijent gubitaka na zatvaraču i u sistemu - može se definirat na osnovu poznatog
početnog stanja (h0 i Q0)
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
30
Cd 
Qo
Ao 2 gho
Može se pisati:
 Q

C d Ao

h
2g
odnosno:
pri čemu je:
h  Q




2
2
1
2 g C d Ao   2
2
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
31
ho
ho   o Q   o  2
Qo
2
o
U vremenu t = τ0, 2τ0, 3τ0, ove zavisnosti se mogu prikazati kao familija parabola
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
32
3) Tlačni vod
(cjevovod). Za određivanje karakteristike tlačnog voda je potrebno
poznavati brzinu širenja elastičnih poremećaja u tlačnom vodu koja je definirana
jednadžbom:
a  ao
a0
s
D
Ec
Ev
1
ao 
Ev D
1
Ec s
Ev

brzina propagacije elastičnog vala kroz
neograničen fluid (za vodu a0=1425 m/s)
debljina stijenke cijevi
promjer cijevi (unutarnji)
modul elastičnosti cijevi
modul elastičnosti vode
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
33
Konstrukcija karakteristike cjevovoda
Nagib linija putovanja vala je definiran jednadžbom:
a
tan  
Ag
Npr. a = 1000 m/s, A=0,5m2, => tan α ≈ 200
Odgovara a/Ag = 200, Q = 0.3, h = 60 m, tan α = h/Q = 60/0.3 = 200
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
34
Grafičko rješenje
Za jednostavan slučaj kada imamo cjevovod sa vodospremom i zatvaračem, potrebno
je definirati tri elementa: pravac koji opisuje karakteristiku vodospreme, liniju
karakteristike cjevovoda i parabole koje definiraju zatvarač.
Skica modeliranog hidrauličkog sistema
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
35
“Rubni uvjet”
“Početni uvjet”
Proračun vodnog udara metodom karakteristika (grafički)
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
36
Promjena tlaka u profilu zatvarača
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
37
Zajedničko djelovanje oscilacija i udara
Prirast tlaka u profilu zatvarača
usljed oscilacije vodnih masa
Prirast tlaka u profilu zatvarača
uslijed vodnog udara
Prirast tlaka u profilu zatvarača
uslijed oscilacija vodnih masa
i vodnog udara (sumarni diagram)
Preuzeto iz Press/Schroder:
Hydromechanik im Waserbau
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
Gjetvaj - Hidraulika 2009/10
38
Vodni udar u složenim
cjevovodima
Ekvivalentni cjevovod
Za tlačni cjevovod koji se sastoji iz n dionica različitih promjera ili elastičnih svojstava,
moguće je udar izračunati za ekvivalentni cjevovod (promjene nesmiju biti previše
izražene)
Skica složenog cjevovoda
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
39
EKVIVALENTNA BRZINA UDARA
Iz uvijeta da je vrijeme refleksije udara jednako u
stvarnom i ekvivalentnom cjevovodu
(harmonijska sredina)
L1 L2

 ...
1 a1 a 2

a
L
Ln
... 
an
Bez veće greške se može usvojiti i aritmetička sredina
a1L1  a2 L2  ...
a
L
an Ln
EKVIVALENTNA BRZINA VODE (se dobiva iz uvjeta ekvivalentnosti inercijalnog člana)
L dv L1 dv1 L2 dv2


 ...
g dt g dt
g dt
odatle slijedi
1 d
L1v1  L2 v2  ...

g dt
v1 L1  v 2 L2  v3 L3  ...
v
L
v n Ln
Ekvivalentni cjevovod je dakle određen ekvivalentnom dužinom L, ekvivalentnom brzinom
tečenja v i ekvivalentnom brzinom propagacije vodnog udara a
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
40
ZAKON REFLEKSIJE VODNOG UDARA
Račva prije dolaska vodnog udara
A1v1  A2 v2  A3v3
Ogranak iz kojeg dolazi vodni udar zove se incidentni a njegova veličina je definirana izrazom:

a1 '
h  ho  
v1  v1
g
'
1

Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
41
Račva nakon prolaska vodnog udara




a1 ''
h h  
v1  v1'
g
'
0
'
1
ho'  h0  
a3 '
v3  v3
g
za ogranak 1
ho'  h0  

a2 '
v2  v2
g

za ogranak 2
za ogranak 3
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
42
Jednadžba kontinuiteta
A1v1''  A2 v2'  A3v3'
Povećanje tlaka u cijevima 2 i 3 se može izraziti relativno u odnosu na veličinu udara iz
incidentnog kraka koja nakon eliminacije brzina poprima oblik:
2 A1
ho'  ho
a1
t '

A1 A2 A3
h1  ho


a1 a 2 a3
Pri tome je t koeficijent prijenosa (transmisije) udara iz incidentnog kraka u ogranke 2
i 3. Slično se može odrediti i koeficijent refleksije vodnog udara za incidentni krak 1:
ho'  h1'
r '
 t 1
h1  ho
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
43
Veličina koeficijenta prijenosa i refleksije ne ovisi o polaznoj brzini kao niti o smjerovima
ogranaka. Za proizvoljni broj ogranaka n se može općenito pisati:
2 Ai
ai
t n
Aj
a
j 1
r  t 1
j
Pri čemu se sa i označava incidentni krak a s indeksom j svi ogranci po redu
uključujući i incidentni.
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
44
Vodni udar u zagrebačkoj vodovodnoj
mreži
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
45
Raspored tlakova na crpilištima
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
46
Raspored tlakova u karakterističnim
čvorovima mreže
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
47
Utjecaj otpora trenja na veličinu vodnog
udara
Širenje vodnog udara u cjevovodu sa dominantnim utjecajem trenja
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
48
U stacionarnom režimu tečenja brzina u cijevi definirana je izrazom:
vo   2 gho
pri čemu je sa µ označen koeficijent istjecanja koji uključuje otpore na cijeloj dužini cijevi L.
U trenutku potpunog zatvaranja zatvarača tlak u profilu 2 se povećava
h2 
a
vo
g
U profilu poremećaja (putujućeg vala) je vrijednost prirasta tlaka definirana
izrazom:
a
hx   v1  v0 
g
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
49
Uz pretpostavku jednolike raspodjele brzine v1 će (dodatni) prirast tlaka u profilu
zatvarača biti:
a
h  v1
g
Brzina v1 se može izraziti iz dinamičke jednadžbe napisane u impulsnom obliku
tako da se nakon sređivanja dobiva vrijednost prirasta tlaka
1 h0 x
h 
3 L
a tlak u profilu zatvarača će biti:
h2 
a
1hx
v0  0
g
3 L
Najveći prirast tlaka se javlja kad se udar povrati reflektiranjem od vodospreme
tj. za x = 2L
a
2
h2 max  v0  h0
g
3
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
50
Prirast tlaka sa uzimanjem
u obzir linijskih gubitaka
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
51
Fizikalni model vodnog udara
Dovod vode
Zračni kotlić
Tlakomjer
Zasun
Tlačni cjevovod
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
52
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
53
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
54
FILM: Q1,Q2,..
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
55
Naglo otvaranje cjevovoda
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
56
Stacionarna brzina istjecanja
v  2gh0
Povećanje brzine, trebalo bi pratiti opadanje tlaka
h  a v
g
što je više nego što je početni tlak h0 tako da je razlika znatno
veća od napona vodenih para hv.

h0  h   hv
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
57
Kako se radi o istjecanju u atmosferu s tlakom p0 = 0 najveći pad tlaka može biti
jednak h0 što daje maksimalnu brzinu u početku istjecanja
v1 
g
h0
a
a
h2  h0  h   v1  v2 
g
v22
h 
2g
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
58
Proračun naglog otvaranja
Proračun naglog otvaranja pomoću Schnyder-Bergeronove metode
Preuzeto iz Press/Schroder:
Hydromechanik im Waserbau
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
59
Prekid vodnog stupca
• Prekid vodnog stupca nastaje kad tlak
vode padne na napon vodenih para( npr.
naglo otvaranje zasuna). Iako se odmah
nakon otvaranja uspostavlja relativno
mala brzina, pomicanje čela udara
uzvodno izaziva podtlak. U trenutku
kada tlak padne na napon vodenih para,
voda prelazi u plinovito stanje, pa se
umjesto strujanja vode u tom dijelu
formira strujanje fluida sačinjenog od
mješavine vode i vodenih para.
v=0
Po
?g
Po
?g
• Kada se elastični poremećaji šire kroz smjesu zraka i vode, jednadžbe
stanja odnosa temperature, gustoće i tlaka postaju različite od jednadžbi
usvojenih kod računanja elastičnih poremećaja u vodi, pa tako odnosi
izvedeni za vodni udar u ovom slučaju više ne vrijede.
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
60
Oscilacije vodnih masa i vodni udar
Prirast tlaka u profiluzatvarača
Usljed oscilacije vodnih masa
Prirast tlaka u profilu zatvarača
uslijed vodnog udara
Prirast tlaka u profilu zatvarača
Uslijed oscilacija vodnih masa
i vodnog udara (sumarni diagram)
Preuzeto iz Press/Schroder:
Hydromechanik im Waserbau
Gjetvaj - Hidraulika 2012/13
61