Transcript CzechowiczMadry

ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET
TECHNOLOGICZNY W SZCZECINIE
WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ I MECHATRONIKI
Projektowanie technologii maszyn w systemach CAD/CAM
Projektowanie krzywych typu spline i ich
programowanie na różnych układach sterowania
numerycznego
Michał Czechowicz & Grzegorz Mądry
M2-L13
Wstęp teoretyczny
Splajn (ang. Spline)- jest to tak zwana funkcja sklejana stopnia s.
Oznacza to, że splajnem będziemy nazywali dowolną funkcję S
określoną na przedziale [a,b] spełniającą warunki:
• w każdym przedziale [ti,ti+1], gdzie a=t0<t1<..<tm=b, S jest
wielomianem stopnia co najwyżej s.
• S oraz jej pochodne rzędu 1,2..,s-1 są ciągłe dla wszystkich
argumentów x z przedziału [a,b].
W przeszłości kreślarz wykorzystywał kaczki oraz paski drewna aby
narysować krzywą. Krzywe te miały ciągłość drugiego stopnia oraz
przechodziły przez stopnie/punkty kontrolne.
Wstęp teoretyczny
Splajn możemy przedstawić za pomocą zbioru punktów.
Reprezentacja krzywej nie będzie wówczas oddawała dokładnie
gładkiej krzywej (poprzez wykorzystanie odcinków liniowych).
Należy nadmienić również iż sam proces kreowania „wielolini”
– polilini jest uciążliwy i monotonny
Dokładniejszą metodą jest przedstawienie splanuj jako
odcinków wielomianów.
Wstęp teoretyczny
Mówiąc o splajnach należy zwrócić uwagę na pewne terminy:
• Punkty kontrolne- zbiór punktów, które decydują o kształcie
krzywej – mają one wpływ na kreowanie kształtu krzywej.
• Węzły- punkty kontrolne na krzywej.
• Interpolacja- dopasowanie krzywej do punktów kontrolnych.
(krzywa przechodzi przez punkty kontrolne)
• Aproksymacja- punkty kontrolne jedynie „ sterują” kształtem
krzywej.
kropki – punkty kontrolne
Kwadraty – węzły
Wstęp teoretyczny
Na rysunku przedstawiono przykład splajnu typu B
Wstęp teoretyczny
Podział splajnów:
A-spline – tworzy krzywą przechodzącą przez zaprogramowane
punkty pomocniczne (wielomian trzeciego stopnia)
B-spline – Zaprogramowane punkty nie są punktami
pomocniczymui, lecz tylko punktami kontrolnymi. Powstała
krzywa przechodiz w pobliżu powstałych punktów (wielomian
1, 2 lub 3 stopnia).
C-spline – Jest najbardziej znaną i rozpoznawaną interpolacją
spline’u. Przebieg krzywej przez punkty przechodzi po stycznej
bądź w sposób łukowy po zadanych punktach.
Wstęp teoretyczny
Matematyczne przedstawienie splajnu – krzywa B-sklejana
Krzywa B-sklejana (ang. B-spline) jest jedną z najczęściej
stosowanych reprezentacji parametrycznych krzywych
sklejanych. Angielska nazwa spline (postulowana nazwa polska
to splajn, lub łącznica) wzięła się z gwary kreślarzy i odnosiła do
długiej elastycznej metalowej taśmy, której używano do
rysowania samolotów, samochodów, statków itp. Zawieszając
odpowiednio dobrane obciążniki można było uzyskać krzywą o
ciągłości geometrycznej drugiego rodzaju. Odpowiednikiem
matematycznym spline jest krzywa B-sklejana trzeciego stopnia.
Angielska nazwa krzywych B-sklejanych – B-spline jest skrótem
od basis spline function, co znaczy "funkcja bazowa splajnów".
Wstęp teoretyczny
Krzywa B-sklejana
Na rysunku poniżej przedstawiono krzywą B-sklejaną. Na
przedstawionym rysunku zaznaczono również węzły (kropki
koloru czarnego)
Własny przykład splajnu
Do stworzenia Splajnu wykorzystanu program AutoCAD
1
Przedstawiony splajn wraz z punktami dopasowania
I ich współrzędnymi
Własny przykład splajnu
Tworzenie polilini – zabieg przekształcenia splajnu mający
Na celu zaprogramowanie obrabiarki bez implementacji typu
splajn ( implementacja liniowo kołowa)
Splajn przekonwertowana na polilinię przy użyciu dokładności
rzędu „2” w programie AutoCAD
Własny przykład splajnu
Stowrzenie listy punktów charakterystycznych dla polilini:
LWPOLYLINE
Warstwa: "0"
Obszar: Obszar modelu
Identyfikator = 202
Otwarta
Stała grubość 0.0000
obszar 80.6809
długość 176.9240
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
17.9976
12.4007
10.7362
10.4326
11.5428
15.4133
25.7357
31.1692
35.8389
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
11.1614
21.2358
26.2331
31.1827
35.2513
40.7921
48.5389
50.9092
51.8422
Z=
Z=
Z=
Z=
Z=
Z=
Z=
Z=
Z=
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Własny przykład splajnu
Stowrzenie listy punktów charakterystycznych dla polilini c.d.:
o
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
od punktu
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
X=
38.9531
40.3000
40.0676
38.9745
36.7507
36.8922
38.9531
42.6959
48.4479
62.6826
76.2392
81.1438
83.9355
84.1736
81.1611
72.5860
69.9218
70.4094
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
Y=
51.0766 Z=
48.2393 Z=
43.8773 Z=
38.3969 Z=
25.9660 Z=
19.9579 Z=
14.3477 Z=
10.6412 Z=
7.7704 Z=
5.3339 Z=
6.7917 Z=
8.7886 Z=
11.5283 Z=
14.3477 Z=
18.9045 Z=
27.8926 Z=
32.5718 Z=
37.1493 Z=
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Pseudo algorytm
Osiągnięcie splajnu na obrabiarce posiadającą implementację
liniowo kołową, jest możliwe przez realizację przez maszynę
polilini:
Interpolacja liniowa między punktami: G1 X0.2 Y0.3 F100
T- wywołanie narzędzia
G54- przesunięcie punktu zerowego
G90- przesunięcie programowane absolutnie
M03 – kierunek obrotów wrzeciona w prawo
G71- ustawienie jednostek pomiarowych w mm
G95- ustawienie posuwu F w mm/obr
G1- interpolacja liniowa
Zapis programu sterującego
N5 G90 S500 T1 D1 M03
N15 G54 G71 G95
G1 X=17.9976 Z=11.1614 F0.2
G1 X=12.4007 Z=21.2358 F0.5
G1 X=10.7362 Z=26.2331 F0.5
G1 X=10.4326 Z=31.1827 F0.5
G1 X=11.5428 Z=35.2513 F0.5
G1 X=15.4133 Z=40.7921 F0.5
G1 X=25.7357 Z=48.5389 F0.5
G1 X=31.1692 Z=50.9092 F0.5
G1 X=35.8389 Z=51.8422 F0.5
G1 X=38.9531 Z=51.0766 F0.5
G1 X=40.3000 Z=48.2393 F0.5
G1 X=40.0676 Z=43.8773 F0.5
G1 X=38.9745 Z=38.3969 F0.5
G1 X=36.7507 Z=25.9660 F0.5
G1 X=36.8922 Z=19.9579 F0.5
G1 X=38.9531 Z=14.3477 F0.5
G1 X=42.6959 Z=10.6412 F0.5
G1 X=48.4479
G1 X=62.6826
G1 X=76.2392
G1 X=81.1438
G1 X=83.9355
G1 X=84.1736
G1 X=81.1611
G1 X=72.5860
G1 X=69.9218
G1 X=70.4094
N200 M30
Z=7.7704 F0.5
Z=5.3339 F0.5
Z=6.7917 F0.5
Z=8.7886 F0.5
Z=11.5283 F0.5
Z=14.3477 F0.5
Z=18.9045 F0.5
Z=27.8926 F0.5
Z=32.5718 F0.5
Z=37.1493 F0.5
SINUMERIK 840D sl i 828D
Dla najbardziej zaawansowanych technologii wytwarzania form, matryc
i skomplikowanych elementów przestrzennych, realizowanych w technologii
5-osiowej, firma Siemens opracowała pakiet technologiczny MDynamics.
Oprogramowanie SINUMERIK 840D sl i 828D zawierające ten pakiet
posiadają interpolacja funkcjami Spline dla powierzchni krzywoliniowych,
dzięki czemu omija się proces zamiany Splinów na polilinie w programach
CAD.
Krzywe typu Spline a SINUMERIK
Ponieważ obecnie stawia się coraz większy nacisk na dokładność
powierzchni opartych na krzywych typu Spline powstają specjalne systemy
programowania obrabiarek CNC takie jak NX CAM
Komunikacja SINUMERIKA z NX CAM – to obsługa bez konwersji danych
dla krzywych typu Spline, zapewnia szybszy start obrabiarki CNC, dużo
większą jakość powierzchni dla szybkich obróbek oraz lepszy wynik niż
wygładzanie i upłynnianie przez NC.
Krzywe typu Spline a HEIDENHAIN
Również inne układy sterowania takie jak: HEIDENHAIN iTNC530 lub GE
GE-Fanuc posiadają interpolację typu Spline.
Kod GE-Fanuc realizujący krzywą NURBS
Przykładowy kod zawierający krzywą stworzoną przy pomocy polecenia
Spline w oprogramowaniu HAIDENHAIN przedstawiono na kolejnym
slajdzie.
Przykładowy kod programu
Przykładowy kod programu sterującego dla sterowania typu
Heidenhain iTNC530 realizujący krzywą typu Spline:
3 TOOL CALL 1 Z S4500
12 L X0 Y0 Z0 F1000
SPL X100 Y100 Z-0.5
K3X0.0 K2X0.0 K1X-100.0
K3Y0.0 K2Y100.0 K1Y-200.0
K3Z0.0 K2Z0.0 K1Z0.0
- wywołanie narzędzia,
- ustalenie posuwu
- końcowa pozycja Splinu
- punkty kontrolne
W Heidenhain iTNC530 Spline oparta jest na wielomianach 3 stopnia.
Symulacja kodu
Symulacja kodu zawierającego krzywą typu Spline w programie NC Program
Spliny - ciągły rozwój
W AutoCad 2011 nowe opcje splajnów zwiększają elastyczność i zapewniają
większą kontrolę. Pozwalają na łatwe dodawanie i usuwanie wierzchołków,
edytowanie punktów dopasowania lub wierzchołków sterujących i punktów
nieciągłości, a nawet określanie stopnia dopasowania splajnu do krzywej