Transcript 國際數學家
著名數學家 http://file.sysh.tc.edu.tw/~dick/mathematics.htm 1 阿基米德(Archimedes)、牛頓(Issac Newton) 高斯(Carl Friedrich Gauss) 和，被譽為有史以 來的三大數學家。 2 ARCHIMEDES 阿基米德 西元前287~前212年，古希臘偉大的數學 家兼科學家 3 阿基米德 (Archimedes) 『給我一個立足點，我就可以移動地球。』 『勿毀我圓。』 4 阿基米德大約在公元前287年出身於西西里島上的希 臘城市敘拉古，父親菲迪阿斯是 一位天文學家，提 供他良好的教育機會。 一個著名的故事是：敘拉古的亥厄洛(Hiero)王叫金 匠造一頂純金的皇冠，因懷疑裏面摻有銀，便請阿 基米德鑑定一下。就在他走進浴缸裡洗澡的時候， 看見滿出去的水，同時入水愈深，自我感覺身體愈 輕，突然，阿基米德高興得跳起來，一時忘了自己 是光著身體！赤身從浴缸中跳出，口中大呼：『尤 里卡！尤里卡！』』﹝希臘語enrhka，意思是『我 知道了！我知道了！』﹞ 5 阿基米德 (Archimedes) 流體靜力學的基本原理，總結在他的名著《論 浮體》﹝On Floating Bodies﹞中，後來以 『阿基米德原理』著稱於世。 物理學之父。 三本是講平面幾何: 圓的量度,拋物線的求積 和論螺線 有兩部是講立體幾何:論球和圓柱和論劈錐曲 面體和球體 6 主要貢獻 1.導出部分球體的體積、迴轉體的體積（橢 球、迴轉拋物麵、迴轉雙曲面）。 2.他討論阿基米得螺線（例如：蒼蠅由等速旋 轉的唱盤中心向外走去所留下的軌跡）， 圓，球體、圓柱的相關原理。 3.算出球的表面積是其內接最大圓面積的四 倍。 7 主要貢獻 4.阿基米得將歐幾理得提出的趨近觀念作了有 效的運用，他提出圓內接多邊形和相似圓外 切多邊形，當邊數足夠大時，兩多邊形的周 長便一個由上，一個由下的趨近於圓周長。 他先用六邊形，以後逐次加倍邊數，到了九 十六邊形，求π的估計值介於3.14163和 3.14286之間。。 8 主要貢獻 5.阿基米德最得意的傑作是導出 圓柱內切球體的體積是圓柱體積的三分之 二倍。 這定理就刻在他的墓碑上，也成為他名垂千 古的一大註記。 9 公元前212年羅馬軍隊攻入敘拉古，並闖入 阿基米德(75歲)的住宅，看見一位老人在 地上埋頭作幾何圖形，阿基米德怒斥士兵： 『站開些，小子，不要踩壞我的圖！』士 兵拔出短劍，刺死了這位曠世絕倫的大科 學家，阿基米德竟死在愚蠢無知的羅馬士 兵手裏。 參考書目：《 數學家的傳奇 九章》《未知中的已知 凡 異》《青少年百科叢書3科學的發現 謙謙》 及網路 10 在數學史方面，現代最驚人的發現之一是丹麥語言 學家海伯格﹝Heiberg﹞於1906年在土耳其君士坦丁 堡發現的阿基米德的長期失傳的著作，後以《阿基 米德方法》﹝Method﹞為名刊行於世。 《阿基米德方法》的中心思想是：要計算一個未知 量，先將它分成許許多多的微小量，再用另一組微 小量來和它比較，而後者的總體該是較易計算的。 於是通過比較，即可求出未知量來。這實質上就是 積分法的基本思想。阿基米德的睿智，業已伸展到 17世紀中葉的無窮小分析領域裏去了。阿基米德運 用這種富有啟發性的方法，獲得大量的輝煌成果， 為後人開闢了一個廣闊的領域。 11 牛 頓 (ISAAC NEWTON) 德國於1993年1月 14日發行，在他的 350週年誕辰 蘇聯於1987年10月 8日發行 『我不作假說。』 『如果我比其他人看得遠一些，那是因為我站 在偉人的肩膀上的緣故。』 1642～1727 12 牛頓於西元 1642 年聖誕節，誕生於英國林肯 郡的沃爾斯索普(Woolsthorpe)村，小時候 便 愛親自動手做小機械之類的玩藝兒，曾設計了 水鐘與玩具磨坊等不同於其他兒童的創造。 1661年6月，他以"減費生"身份考入劍橋大學 三一學院。但當時牛頓的興趣是在化學的領域。 他入學考試的歐氏幾何成績並不理想，甚至在 大學期間，差點放棄科學而改念宗教學。在他 大學中讀了笛卡兒(Descartes)著"La Geometrie(幾何學)"使他對數學產生興趣。 13 14 15 1664 年底, 牛頓似乎精通了所有數學的知識， 並開始將數學應用在各方面 的領域。 大學畢 業1665這年，倫敦流行瘟疫，他回老家。有一 天，晚餐過後，牛頓在自己的房間裏看伽利略 的《對話》，不一會兒"撲通"一下，像有甚麼 東西落在院裏，接著又是一下。牛頓合上《對 話》，到庭院樹下踱著步子，想著剛才那聲音。 忽然又是"撲通"一聲，一個熟透的蘋果擦著他 的肩膀，跌落在自己的腳邊。牛頓蹲下拾蘋果 時，抬頭看見了那輪明月，不免尋思：蘋果熟 了就會落到地上，那月亮為甚麼不會落下來呢？ 再者，這蘋果為甚麼不會與月亮一樣，飄上天 卻非要往地上落不可呢？為甚麼月亮繞著地球 轉，也不會飛走？ 16 牛頓的主要貢獻: 1668年製成第一架反射式望遠鏡。 1669年，在他老師巴羅(Barrow)辭職後，繼任 為三一學院的數學教授；同年用級數展開法計 算雙曲線下的面積，同時發明了二項式定理及 在著書"無限項方程式分析"中談到微積分基本 定理。 1672年2月，牛頓在皇家學會上宣讀了《光和 顏色的新理論》的論文，歸納了十三個命題。 牛頓並因此而創立了光譜理論。 17 1679 年，牛頓用新的測度計算地球的半徑，並 同時利用自己發明的微分法來理解行星在橢圓軌 道上的運動， 而導出他的 萬有引力公式。 1686年，公佈有萬有引力的巨著《自然哲學的數 學原理》。1687年夏天，這部科學史上劃時代的 巨著《自然哲學的數學原理》終於由哈雷 (Edmund Halley,1656~1742，哈雷慧星的名字由 來) 的主持和資助出版了。這是從哥白尼到牛頓 時期動力學和天文學上所有發現的系統總結和發 展。它以嚴密的數學推理和天文觀測相結合，對 物質的組成、相互作用和運動規律做了全面的論 證，從而建立起一個完整的普遍的力學理論體系， 被譽為所有科學著作中最偉大的一本。 18 牛頓在萬有引力問題上的具體貢獻，歸納 起來有三點：第一，運用積分法證明球體 的引力場可以看作質量集中在球心上的質 量來處理；第二，得到了正確的萬有引力 定律數學表達式；第三，把引力理論應用 到一切物體之間，使之具有普遍性，確定 了天體之間的引力和地球上的引力的同一 性。 1696年3月29日，他搬家到倫敦。1699年正 式升任為造幣廠廠長，同年被選為巴黎科 學院院士。 19 1703年11月30日，他被選為皇家學會會長。1704年 發表《光學》和《曲線求積法》。1705年，他被封 為貴族。1707年《算術通論》出版。1711年《用無 窮多項方程的分析》出版。 1727年2月28日，牛頓以85歲高齡在倫敦剛剛主持了 皇家學會的一次會議，突然膽結石症發作，一陣酸 痛昏迷過去。1727年3月，牛頓病逝，死後葬於威斯 敏斯特大教堂，享年85歲。 參考書目：《數理化通俗演義(上) 理藝》《數學的故 鄉 王懷權》 《大數學家 九章》 《物理發展史上的里程 碑 凡異》及網路 20 高斯( CARL FRIEDRICH GAUSS ) 德國於1977年4月19日 發行，紀念 高斯的200週年誕辰 德國於1955年2月23日 發行，紀念高斯的100 週年忌辰 『寧可少些，但要好些。』 『數學是科學裏的皇后，而數論是數學中的女王。』 1777~1855 21 被譽為「數學王子」的德國大數學家，物理學 家和天文學家。1777年4月30日生於不倫瑞克， 1855年2月23日卒於格丁根。 德國大數學家高斯是德國最偉大，最傑出的科 學家，如果單純以他的數學成就來說，很少在 一門數學的分支裡沒有用到他的一些研究成果。 22 一個著名的故事亦可以說明高斯很小時就有很快的計算能力。 當他還在小學讀書時，有一天，算術老師要求全班同學算出 以下的算式： 1 + 2 + 3 + 4 + ....+ 98 + 99 + 100 = ? 在老師把問題講完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地寫 下答案5050，而其他孩子算到頭昏腦脹，還是算不出來。最 後只有高斯的答案是正確無誤。 原來 1 ＋ 2 ＋ 3＋……………………＋98＋99＋100 100＋99 ＋98＋……………………＋ 3＋ 2＋ 1 101＋101＋101＋…………………＋101＋101＋101＝101×100＝10100 , 10100 ÷2＝5050 。 按：今用公式表示 1 + 2 + ... + n 23 還不到三歲的時候，有一次，他看作水泥工廠 工頭的父親在算工人的薪水，最後在好不容易 算出來的時候，嘆一口氣，說出數字，準備記 下來，高斯便開口說：「爸爸，你算錯了，應 該是這樣的......！」高斯爸爸懷疑的再算一 次，結果真的是高斯說的總數。 24 高斯的老師布特納認為遇到了數學神童，覺得 沒有能力教他，就掏腰包從漢堡郵購一本高等 算術讓高斯研讀，和十八歲的助教巴陀 (Martin Bartels)在研討上往來密切，高斯很 高興和比他大差不多十歲的老師的助手一起學 習這本書。經過巴陀(Martin Bartels)的介紹， 高斯認得了卡洛林學院的教授勤模曼 (Zimmermann)，再經由勤模曼的引薦得以晉見 費迪南公爵 ( Duke Ferdinand )。 25 高斯在十一歲的時候就發現了二項式 定理 ( x + y )n的一般情形,這裡 n可 以是正負整數或正負分數。當他還是 一個小學生時就對無窮的問題注意 了。 26 高斯的學校生涯 在費迪南公爵的善意幫助下，十五歲的高斯進入一間 著名的學院（程度相當於高中和大學之間）。在那裡 他學習了古代和現代語言，同時也開始對高等數學作 研究。 他專心閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日這些歐洲著名數學 家的作品。他對牛頓的工作特別欽佩，並很快地掌握 了牛頓的微積分理論。 1795年10月他離開家鄉的學院到哥庭根 ( Gottingen ) 去念大學。哥庭根大學在德國很有名，它的豐富數學 藏書吸引了高斯。許多外國學生也到那裡學習語言、 神學、法律或醫學。這是一個學術風氣很濃厚的城市。 27 起初在當個語言學家還是當個數學家二者 之間猶豫不決，他決定獻身於數學是1796 年3月30日的事。在數論方面的研究，高斯 從數目本身著手。從小就拿數目字作各種 運算的實驗，更確切的說，他在玩數字， 由此他發現了數目字之間的關係和定理。 28 希臘的數學家早知道用圓規和沒有刻度的直尺 畫出正三、四、五、十五邊形。但是在這之後 的二千多年以來沒有人知道怎麼用直尺和圓規 構造正十一邊、十三邊、十四邊、十七邊多邊 形。還不到十八歲的高斯發現了：一個正 n 邊形可以用直尺和圓規畫出當且僅當 n 是底 下兩種形式之一： 29 註:十七世紀時法國數學家費馬 ( Fermat ) 以為公式在 k = 0, 1, 2, 3, ....給出素數。 （事實上，目前只確定 F0,F1,F2,F4是質數， F5不是）。 1796年，當他差一個月滿十九歲時，在期刊上 發表「關於正十七邊形作圖的問題」。 30 1797年時高斯在他的日記上寫，他有許多數學 想法出現在腦海中，由於時間不定，因此只能 記錄一小部份。幸虧他把研究的成果寫成一本 叫＜算學研究＞，並且在二十四歲時出版，這 書是用拉丁文寫，原來有八章，由於錢不夠， 只好印七章，一般同餘、一次同餘、冪剩餘、 二次同餘、二次型式、應用、分圓。這包括算 術基本定理：每一個大於1的正整數，都可唯 一寫為質數的乘積。這書可以說是數論第一本 有系統的著作。 31 1799年高斯呈上他的博士論文，這論文證明了 代數一個重要的定理：任何一元代數方程都有 根(每一個單變數的多項式都可分解成一次式 或二次式)。這結果數學上稱為”代數基本定 理”。高斯認為這個定理是很重要的，在他一 生中給了一共四個不同的證明。 32 1855年2月23日心臟病發逝世。1877年布雷默 爾奉漢諾威王之命為高斯做一個紀念獎章。上 面刻著：『漢諾威王喬治V. 獻給數學王子高 斯』，自那之後，高斯就以〝數學王子〞著稱。 參考書目：《高斯 凡異》《數學史概論 曉 園》 及網路 33 關孝和 關孝和（Seki Takakazu，約 1642～1708年），日本數學 家，和算時期承先啟後的大 家，發展筆算代數、行列 式，創立追求圓周率的新方 法，並得到球體積公式。 34 時代背景 日本從大化革新開始，先後派遣隋使，遣唐使及 留學生到中國，曆算之學也隨著諸種文物輸往日 本。這期間中國的主要算書日本都有，但是數學 並沒有相應的水準。 十六世紀末，豐臣秀吉征韓，中國文物第二次大 量輸往日本，其中包括了《算學啟蒙》及《算法 統宗》這兩本算書，受其影響，日本發展了獨具 風格的和算，直到明治維新之後，才因與西方接 觸而有改變。 35 重要發現 中國的天元術原本是利用算籌立方程式，解方程 式。日人澤口一之寫成《古今算法記》（1671 年）。關孝和發揮遺題繼承的精神，著成了《發微 算法》一書，將天元術的內容，利用省略符號，表 成筆算式的代數。大致說來，關孝和的代數就是多 項式及其方程式的推演與計算，只不過用的是甲、 乙、丙等與現代截然不同的符號。代數筆算化是和 算的重大成就之一，也標示著和算從中國數學脫胎 而自主的一個里程碑。 36 重要發現 除了發展筆算代數外，關孝和還為了解三個聯立 的二次方程式，而創造了三階行列式，並推廣到 四、五階。此外，他也發展了求得「方垛」kp和 1p + 2p + 3p +…+ np方法。 和算另一大成就是有關圓與球的研究，也就是和 算後期所稱為「圓理」。 37 和算求圓周率的方法和Archimedes的一樣。從直徑 為1的圓內接正四邊形開始，利用公式 逐次計算內接正m邊形的一邊長am。設內接正2n邊 形的總長是 sn(=2na2n)。和算家曾算到s17，實際 計算得到圓周率9位正確的小數，然而他們不知道 正確到什麼程度，而取π值為3.1415。 38 到了關孝和，圓周率的求法有了革命性的改 變。由 s2,s3,…,s17，他計算兩和之差 d3=s3-s2，d4=s4-s3，…， d17=s17-s16，及這 些差的兩兩之比d3/d4, …,d17/d16。他發現這 些比值逐漸變小，但幾乎都相等。因此為了 求得π的近似值，而假定d17/d16以下的比值 都相等。如此，則π=3.14159265359可寫成 為等比級數之和，而得使圓周率增加到 11 位，可惜關孝和也無法確定如此之準確度。 39 關孝和的大弟子建部賢弘（Takebe Katahiro， 1664～1739年）做進一步的研究，一樣只算到 s17 ，卻可得π的小數到 40 位，但他一樣無 法確定其準確度。建部賢弘還得到冪級數的展 開，把和算帶往微積分的途徑。然而可惜的是， 誤差估計，或推而廣之，一般証明的觀念與能 力的欠缺，卻是整個和算圓理中最弱的一環， 因此和算終究未能進入微積分的殿堂。（關孝 和的球體積公式是猜到的，而不是理論推得 的！） （節錄自科學月刊第十八卷第二、第三期的文 章《和算──日本的傳統數學》。） 40