Respuesta de 2º orden y Error
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Transcript Respuesta de 2º orden y Error
Sistemas de control
TI-2233
Miguel Rodríguez
Respuestas de 2º orden y Calculo del
error
Sistemas de control
Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta sobre amortiguada, dado un sistema que
tiene 2 raíces reales en el denominador:
K
K
G( s) 2
s a1s a0 ( s )(s )
• Aplicamos un escalón a la entrada
K
1
Y ( s) 2
s a1s a0 s
K 1
1
1
s ( ) ( s ) ( ) ( s )
Sistemas de control
Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta sobre amortiguada
Sistemas de control
Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta Críticamente amortiguada, las dos raíces
del denominador están en el mismo lugar
K
G(s)
(s )2
– Aplicando un escalón
K
1
Y ( s)
2
(s ) s
K 1
1
2
s ( s ) ( s ) 2
Sistemas de control
Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta Críticamente amortiguada
y (t )
K
t
t
[
1
e
te
]
2
Sistemas de control
Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada; Asumiendo que el
sistema tiene raíces complejas
G( s)
K
K
K
2
( s jw)(s jw) s 2s ( 2 w2 ) ( s ) 2 w2
– Aplicando un escalón a la entrada
K
1
Y ( s)
2
2
(s ) w s
K
2
w2
1
(s )
s ( s ) 2 w2 ( s ) 2 w2
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada: en el dominio del
tiempo
K
y(t ) 2
w2
t
t
1 e cos(wt ) e sin wt
K
y(t ) 2
w2
( 2 w2 )1/ 2 t
e sin(wt )
1
w
Sistemas de control
Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada
• El denominador de la función de transferencia se escribe
normalmente de la siguiente manera:
s 2 2zwn s wn s 2 2s ( 2 w2 )
2
• Donde z es la relación de amortiguamiento y wn es la
frecuencia natural, siguiendo con nuestra notación
tenemos que:
z / wn
y wn 2 w2
2
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada
• Relación de amortiguamiento
s 2 2zwn s wn s 2 2s ( 2 w2 )
2
0 z 1
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Términos usados:
• Retardo (delay time) es el tiempo que necesita la salida a la
respuesta de un escalón para alcanzar el 50% de su valor final.
• Tiempo de subida (rise time) el tiempo que necesita la salida desde
el 10% hasta el 90% del valor en estado estacionario.
• Tiempo de establecimiento (settling time) es el tiempo que se toma
la salida a la respuesta de un escalón para alcanzar un valor
estacionario, normalmente a un 5% del valor de estado
estacionario.
• Overshoot, Máximo rebasamiento, es la máxima diferencia entre el
valor de estado estacionario y la transiente.
máximo overshoot 100%
valor de estado estacionar io
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Máximo valor de overshoot. Derivamos la función
y(t) e igualamos a cero.
dy (t ) K t
e sin wt 0
dt
w
– La solución depende del seno, y es para los
valores:
t i / w, i 0,1,2, etc.
– Los mínimos y máximos son definido por:
K
i 1 i / w
y (i ) 2
(
1
)
e
2
w
Sistemas de control
Respuestas del sistemas a las entradas
• Errores
– El desempeño de un sistema es normalmente
evaluado en termino de el error entre lo
demandado o requerido y la señal de salida.
•
•
•
•
Error en la medición
Error en el modelado
Interferencias del ruido
Error de estado estacionario.
Sistemas de control
• Error del sistema
K (s m bm1s m1 b1s b0 )
G0 (s) q n
s (s an1s n1 a1s a0 )
• Ejemplos
Tipos de Errores
Sistemas de control
Tipos de Errores
• Error de estado estacionario
E (s)
– Ejemplo: Halle el error en estado estacionario,
señal de entrada escalón.
3
G0 ( s)
( s 2)
Sistemas de control
Tipos de Errores
• Error de estado estacionario (entrada rampa)
V (s)
1
s2
• Tarea: realice la misma operación para una señal de
entrada parabólica.
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Tipos de Errores
• Error de estado estacionario
Tipo de sistema
Entrada escalón
unidad
Entrada rampa
unidad
Entrada parábola
unida
0
1
1 Ks
1
0
2
0
0
3
0
0
1
Kr
1
Ka
0
Sistemas de control
Tipos de Errores
• Error transitorio:
– Es el valor del error durante la respuesta del
transitorio. Y se puede hallar restándole al error
del sistema el error de estado estacionario.
ET (s) E(s) sE(s) |s0 (s)
Error transitorio al escalón.
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Tipos de Errores
• Perturbaciones (Disturbances):
Y ( s)
K
(s K )
V ( s)
1
(s K )
N ( s)
Sistemas de control
Perturbaciones
– Perturbaciones. Ejemplo:
• Hallar K y para que la salida del sistema sea
críticamente amortiguada y el rechazo a perturbaciones
de 1/10. Entradas escalón.
Y ( s)
K
s
V
(
s
)
N ( s)
2
3
2
s s K
s ( 1) s ( K ) s K
2wnz , wn 2 K z 1;
K 400; 40
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Perturbaciones
– Perturbaciones
• A la salida:
V(s)
N(s)
1
(s )
+
-
+
+
(s )
Y ( s)
V ( s)
N ( s)
(s K )
(s K )
K
Y(s)
Sistemas de control
Sensibilidad
– Sensibilidad: Variación de la salida en función a
las variaciones en el tiempo del sistema o el
control.
Y ( s) / Y ( s)
S
G( s) / G( s)
• Ejemplo: Señal de entrada Invariante en un sistema a
lazo abierto.
Y
G
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Sensibilidad
– Sensibilidad a lazo cerrado
G( s)
Y ( s)
V ( s)
1 G( s) H ( s)
Y ( s) V ( s)1 G( s) H ( s) G( s) H ( s)V ( s)
V ( s)
2
G( s)
1 G(s) H (s)
1 G(s) H (s)2
Y ( s) G ( s)
S
G ( s) Y ( s)
Y
G
– Tarea: Hallar la sensibilidad de la salida debido a
variaciones en la función de transferencia del
Y ( s) H ( s)
control
Y
S
G
H ( s) Y ( s)