Transcript 函数及应用（唐希明）
函数及应用 唐希明 沈学斌 银川唐徕回民中学 我们已经历了从07年到10年四年的新课标高考， 在这四年的改革和变化中，我们已有了对新课标教 学和高考较为深刻的理解和认识，但从目前的教学 和高考成绩不难发现，仍有很多问题需要我们一线 老师急待解决。本文试图从平时的教学、高考复习， 如何来理解现行的高考，与此同时，又从四年的高 考中提炼，来如何指导我们平时的教学工作说一些 建议，仅供大家参考。 第一部分：课标、考纲中对函数的要求的解读 在高中阶段，如何认识函数的作用？如何把握 函数的内容？如何进行有效的函数教学？学生在学 完高中课程，在函数的学习中应积淀下什么？这些 问题，是教师必须具备的和解决的问题。 1. 对函数的认识 （1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的最 佳“途径”之一 把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系 的模型，通过探索理解可以用变量与变量之间的 依赖关系反映自然规律，这是我们认识现实世界 的重要作用（宏观的看法）。 我们先来看一看高考是如何考察这一思想的： af a f b f c 2010年（理科）：选择题第11题 已知函数 | lg x| f x 1 - x 6 2 0 x x 10 10 ，若 a , b , c 互不相等，且 f a f b f c ，则的取值范围. A.（ 1，10） B.（5，6） C.（10，12）D.（20，24） 解：分析：求范围 因为 a , b , c 是相互依赖的变量关系 可以归为求一类函数的值域问题 a, b, c abc 要点，将 abc 看成一个整体 y ，再 找出共同的自变量 x . （难点：要对函数有一个较为深刻的理解） 设依解析式 f a f b f c t 必须要 知道 a , b , c 的范围：0 a 1 a , b , c 故可画出函数的简图： 1 f a - lg f b lg f c - 1 2 t lg a a t 1 10 a 10 t a b t b 10 t c 6 t c 2 6 -t abc 10 10 2 6 -t 2 6 -t 0 t 1 -t abc (10 ,12 ) t -t （2）函数是联结两类对象的桥梁 把函数看做是联结两类对象的桥梁，即通常说 的映射关系。即用映射刻画函数，反映两个数集之 间的关系。在两个数集之间架起了桥梁。这样的看 法反映了数学中的一种基本思想。 这种理解方式是高中数学最为常见的一种形式， 在高考中比比皆是，这里就不再细说。 （3）函数是“图形” 函数关系是平面上点的集合，又可以看成平面上 的一个“图形”，在很多情况下，函数是满足一定条 件下的曲线。因此，研究函数就是研究曲线的性质， 研究曲线的变化。 运用这种看法，函数可以看做数形结合的载体之 一。实际上，高中数学课程中的数形结合主要有三个 载体：解析几何、向量（向量几何）、函数 所以，在讨论函数问题时，帮助学生养成画 函数图形，并且用函数图形思考问题的习惯，树 立“图形意识”是掌握函数性质，学好函数的关 键所在。 这就是高中阶段学生学完函数应用留下的东 西。 例如：2009年高考（理科） 用 设 min a , b , c 表示 三个数中的最小值. a, b, c ,则 的最大值为： f x f x min 2 , x 2 , 10 -x x 0 A．4 B. 5 C. 6 D. 7 （详细分析和解答） 培养“把握图形”能力，几何直观的能力是数 x 学 课程的基本目标之一。 2. 中学数学研究函数的什么性质 数学中研究函数主要是研究函数的变化特征 （本质）。 在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性， 也讨论某些函数的奇偶性。 单调性是在高中阶段讨论函数“变化”最为基 本的性质。 从几何角度：就是研究函数图象走势的变化。 从代数角度：可利用单调性来确定函数范围（值域） 和 界性（最值）。 从教材中研究函数这个性质分成二阶段： 第一阶段：在必修1中，要求理解函数单调性的图 形直观，理解单调性的数学定义，途径是通过大量的具 体函数来理解单调性在研究函数中的作用（直观感知）。 界定：用具体的函数，通过类比、归纳、总结其性 质，不需要严格的证明过程。 第二阶段：安排在选修系列1，2课程的导数及应用中。导 数是描述函数变化率的概念。导数可以帮助我们对“函数的变 化”有进一步的了解，在这一部分的内容中，要求学生理解导 数与单调性的联系。即：在一个区间中，如果函数在每一点的 导数大于零，则函数是递增的。如果函数在每一点的导数小于 零，则函数是递减的。反之，也可以用单调性判断导数的符号， 在一个区间内，递增函数如果有导数，则每一点的导数大于或 等于零。反之亦然。 界定：在高中阶段，对严格单调性和单调性的区别不必深 社会究，否则，会因小失大。 例如： 1.已知 a 0 ，函数 f x x 2 2 ax e x（2005年高考） （1）当 x 为何值时，f x 取的最小值？证明你 x 的结论。 （2）设 f x 在[-1，1]上是单调函数，求a 的 取值范围。 （在黑板上进行详细分析和解答） 2.设函数 f x e x 1 x ax 2 （I）若 a =0，求 f x 的单调区间； （II）若当 x 0 时， f x 0 ，求 a 的取值范围. （用在黑板上进行详细分析和解答） 比较两题的变化和课标上的要求，三维目标的 解读。 周期性是中学阶段学习函数的另一个基本性质。 周期性反映了函数变化周而复始的规律。在我们的 生活中，小到粒子，大到宇宙都大量存在着周期性 变化规律。因此，学会用周期的观点来看待周围事 物的变化是非常重要和必须要做的。 在高中阶段，不讨论一般函数的周期性，只讨 论基本的具体三角函数的周期性。例如，正弦、余 弦、正切函数的周期性。 例如：2009年高考（理科） 已知 y sin x 0 , 的图象如图所示， 则 =_______. 奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研 究的函数性质，但要注意它不是最基本的性质。 奇偶性质反映了函数图形的对称性质，但它与坐 标系的选择有关。在高中数学课程中，对于一般 函数的奇偶性，也不做深入讨论，只讨论基本的 具体函数的奇偶性。 x | x 2 或 x 2 例如：2010年（理科） 设偶函数 f x A．x | x 3 x 8 x 0 ，则 x | f x 2 0 2 或 x 4 C. x | x 0 或 x 6 B. x | x 0 或 x 4 D. x | x 2 或 x 2 = 3. 具体函数模型 了解函数的形式定义，仅仅是理解函数的一 部分，理解函数的一个重要的方法，就是在头脑 中留住一批具体函数的模型。在高中，要帮助学 生对每一个抽象的数学概念，使他们在头脑中都 有一批具体的“模型”。是学习数学一种良好的 习惯。 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 一次函数、二次函数是基本初等函数，这些函数 是最基础的，也是最重要的，还有一些简单的分 段函数，一些有实际背景的函数（例如： 1 1 x 0 y x y ， x -1 x 0 等。等等，这些都是基本 的、重要的函数模型。 例如：幂函数和对数函数（讲解） （补充：这些基本函数都是“好”的函数，所谓好，是指 它具有任意阶导数，非常地光滑，在高中数学中，对于任意一 个“好的函数”，在一定的范围内都可以用多项式函数来近似 的表达。泰勤公式，这是高等数学的重要结果之一。） 另一个基本特点是：他们在研究世界运动变化规律时，应 用的最多的函数，也是刻画变量变化最为基本的形式。 关于一元二次函数是重要的一类多项式函数，在高中，对 于此类函数做了详细的研究（研究的方法和过程），应该要求 学生首先很好的掌握此类函数。 4. 三角函数 高中阶段，我们通过三角函数帮助我们更好 的理解周期函数（它也是“好”的函数，具有任 意阶系数）和对称性，对于上述的基本初等函数 模型，我们希望给学生脑子里留下三个方面的东 西： （1）背景，从函数模型的实际背景的角度把 握函数；（源） （2）图像，从几何直观的角度把握函数； （3）基本变化，从代数的角度把握函数的变 化情况。 例如，指数函数变化之所以快 “将和变积” 对数函数变化之所以慢 “将积变 和” 总之，要使函数在学生头脑中“扎下根”。 5. 函数与其它内容的联系 函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个 高中数学课程中，特别是在方程、不等式、线性 规划、算法、随机变量、数列等内容中都突出地 体现了函数思想。 （1）函数与方程 用函数的观点看待方程，是高中数学和初中 数学最大的差异之一，初中局限于恒等变形。 （进而可以用来对不等式的理解）可以把方程的根 看成函数与轴交点的横坐标。从而，方程可以看作 函数的局部性质，求方程的根就变成了思考函数图 形与轴的交点问题，这是解决方程问题的基本思想。 （此部分内容一般都是融于其它内容进行考查） （2）函数与数列 数列是一类特殊的函数，也是高中数学唯一的离 散型函数，数列在研究连续函数中发挥着重要作用。 在高中阶段，主要讨论一些特殊的数列——等差和等 比数列的性质，故等差数列、等比数列都是最为基本 的二类数列模型。 核心：等差数列是线性函数的离散化。 等比数列是指数函数的离散化。 例如：2009年高考（理科）16题 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知 a m 1 a m 1 a m 0 2 ， S 38 ，则 m _____ . 2 m 1 2010年高考（理科）17题 设数列 a n 满足 a 1 2 ，a n 1 a n 32 2 n 1 ， （1）求数列 a n 的通项公式； （2）令 b n na n ，求数列 b n 的前 n 项和 S n ； （3）函数与不等式 y f x 函数 的图象把坐标系的横坐标轴分成 若干部分区域，一部分区域是使函数值等于0， 即x | y f x 0 ，一部分区域是使函数值大于0， 即 x | f x 0 ，一部分区域是使函数值小于0， 即 x | f x 0 。用函数的观点看，就是确定使 y f x 的图象在 x 上方和下方的 x 的区域。 例：已知函数 f 1 x 2 x 2 1 x 0 ，则满足不等式 f x x 0 1 f 2 x 的 x 的取值范围是________. （2010年高考理科江苏省第11题） （4）函数与线性规划、函数与算法 线性规划问题是最优化问题的一部分，从函 数的观点看，首先要确定目标函数，用目标函数 刻画“好、坏、大、小”等。一般而言，目标函 数是二元函数，可行 实质上是这个函数的定义 域，最优值即为函数的最值。 在算法中，最基本的结构之一是循环结构。 循环结构是理解算法的一个难点，其要点是通过 给循环变量赋值来实现循环的。用函数来刻画循 环变量，把循环变量看成“运算次数”的函数。 一种循环变量的值可以取“运算次数”，以此来 控制循环次数，另一种循环变量的值可以取“运 算结果”，是用来控制精确度的变量。 总之，高中新课程中，大部分内容都与函数有 关，也正好体现新课标“螺旋式”上升的课程安排 理念（认识——再认识），用函数（映射）的思想 去理解这些内容，是新课标重要的一个出发点。反 之，通过这些内容的学习，可以加深对于函数思想 的认识，我们只有很好的理解课课标的这些“特意 的安排”，才能更有效的实施教学，才能更好的应 对高考。