Transcript Магические квадраты

Магические квадраты
Ученицы 9 «А» класса
Средней школы №1980
Г. Москвы
Поляковой Анны
•
•
1. Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это
квадратная таблица , заполненная n2 числами
таким образом, что сумма чисел в каждой
строке, каждом столбце и на обеих диагоналях
одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел
только в строках и столбцах, то он называется
полумагическим. Нормальным называется
магический квадрат, заполненный целыми
числами от 1 до n2. Магический квадрат
называется ассоциативным или
симметричным, если сумма любых двух чисел,
расположенных симметрично относительно
центра квадрата, равна n2 + 1.
Нормальные магические квадраты существуют
для всех порядков , за исключением n = 2, хотя
случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из
одного числа. Минимальный нетривиальный
случай показан ниже, он имеет порядок 3.
2. Сумма чисел в каждой строке,
столбце и на диагоналях, называется
магической константой, M. Магическая
константа нормального волшебного
квадрата зависит только от n и
определяется формулой
3. Первые значения магических
констант приведены в следующей
таблице (последовательность
A006003 в OEIS):
Порядок n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
M (n)
15
34
65
111
175
260
369
505
671
870
1105
Ло Шу
•
Ло Шу (кит. трад. 洛書, упр. 洛书, пиньинь luò shū)
Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был
известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на
черепаховом панцире датируется 2200 до н.э..
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)
•
Самый ранний уникальный магический
квадрат обнаружен в надписи XI века в
индийском городе Кхаджурахо. Это
первый магический квадрат, относящийся
к разновидности так называемых
"дьявольских" квадратов.
7
12
1
14
2
13
8
11
16
3
10
5
9
6
15
4
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)
•
В 13 в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов.
Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй
рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые
из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их
построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний
оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел
не дают сумму 37)[4]:
27
29
2
4
13
36
9
11
20
22
31
18
32
25
7
3
21
23
14
16
34
30
12
5
28
6
15
17
26
19
1
24
33
35
8
10
Квадрат Альбрехта Дюрера
•
Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия
I», считается самым ранним в европейском искусстве.[5]Два средних числа в нижнем
ряду указывают дату создания картины
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается
во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток
(16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках,
образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).
Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально
симметрично расположенных чисел равна 17.
Дьявольский магический квадрат
•
•
Дьявольский квадрат или пандиагональный квадрат — магический квадрат, в котором
также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям
(диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.
Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если
принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные
переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:
1
8
13
12
1
12
7
14
1
8
11
14
14
11
2
7
8
13
2
11
12
13
2
7
4
5
16
9
10
3
16
5
6
3
16
9
15
10
3
6
15
6
9
4
15
10
5
4
Однако было доказано[7], что из последнего третьего варианта
простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата.
То есть третий вариант — это базовый дьявольский квадрат, из
которого различными преобразованиями можно построить все
остальные.
Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3,
для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют
для порядка одинарной чётности n = 4k + 2 (
•
•
Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств,
за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не
существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются
совершенные.[8]
Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных
переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.
1
15
24
8
17
9
18
2
11
25
12
21
10
19
3
20
4
13
22
6
23
7
16
5
14
Примеры более сложных квадратов
18
22
1
10
14
24
3
7
11
20
5
9
13
17
21
6
15
19
23
2
12
16
64
2
3
61
60
6
7
57
9
55
54
12
13
51
50
16
17
47
46
20
21
43
42
24
40
26
27
37
36
30
31
33
32
34
35
29
28
38
39
25
41
23
22
44
45
19
18
48
49
15
14
52
53
11
10
56
8
58
59
5
4
62
63
1
25
4
8
Шахматный подход
Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков
назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к
построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он
попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня.
Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы
чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка
позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются
регулярно и построчно с учётом цвета ячеек.