Магический квадрат

Работу выполнили: Газизов Азат 11-а класс, Зиннурова Алия 5-в класс Руководитель: Зямилова Г. Р. Учитель математики МОУ «ДСОШ №2» Сармановского р-на., Р.Т.

Цели работы:

Распознать сущность магических квадратов, их влияние на развитие познавательных интересов человека

Задачи:

1.

Раскрыть исторические сведения о магических квадратах 2.

3.

4.

Показать их связь с жизнью Выяснить алгоритм построения магического квадрата Познакомиться с другими магическими квадратами

Древние люди куда больше зависели от природы, чем мы. Не имея метеорологических станций и спутников, центров для обработки наблюдений и прогнозирования, они предсказывали погоду по поведению птиц и животных, форме облаков, цвету восхода и заката Солнца. Найденные приметы передавались из поколения в поколение. Ими не пренебрегает и современная служба погоды.

Подобные приметы существовали не только для определения погоды, люди пытались найти связи для всех важных для них явлений с другими явлениями. А с появлением чисел им стали придавать и мистический смысл. От беды нужно иметь защиту. Так появились разнообразные амулеты. В Китае и Индии с давних пор одним из видов амулета была бумажка с девятью цифрами, записанными в некотором порядке(рис.1) . Главное свойство такого расположения цифр в том, что их сумма в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из двух диагоналей одна и та же.

4 9 2 3 5 7 8 1 6

Рис.1

По древней китайской легенде, император Ню, живший 4000 лет назад, однажды нашел на берегу реки священную черепаху, на панцире которой был изображен рисунок, состоящий из черных и белых кружков, соединенных черточками. Этот рисунок назвали «ло-шу»(рис.2) .Подсчитав количество кружков в каждой из фигур, мы получим наш прежний магический квадрат.

Рис. 2

Так как 1 + 2+3+4 + 5+6 + 7 + 8+9 = 45 , то в каждой строке (столбце, диагонали) стоит треть от этого числа, т.е. 15 .

Теперь определим число, стоящее в центре. Обозначим его через х и сложим все числа, стоящие на вертикали, горизонтали и диагоналях, проходящих через центр(рис.3).

4 9 2 3 5 7

Рис.3

8 1 6

Так как 1 + 2+3+4 + 5+6 + 7 + 8+9 = 45 , то в каждой строке (столбце, диагонали) стоит треть от этого числа, т.е. 15 .

Теперь определим число, стоящее в центре. Обозначим его через х и сложим все числа, стоящие на вертикали, горизонтали и диагоналях, проходящих через центр(рис.3).

4 9 2 3 5 7

Рис.3

8 1 6

При этом каждое число войдет в сумму по одному разу, а центральное — четыре раза, поэтому 4*15=(45 - х)+4х . Отсюда находим, что:

60=4x+(45-x) 60=45+4x-x 60=45+3x 3x=60-45 3x=15 x=15:3 x=5

Из соображений четности следует, что в углах квадрата должны стоять четные числа, а в серединах сторон нечетные.(рис.4) Рис.4

4

9

2

3 5 7

8

1

6

Из соображений четности следует, что в углах квадрата должны стоять четные числа, а в серединах сторон нечетные.(рис.4) Рис.4

4

3

8

9

5

1

2

7

6

Всего таких квадратов 8:

4 9 2 3 5 7 8 1 6 8 1 6 3 5 7 4 9 2 2 9 4 7 5 3 6 1 8 4 3 8 9 5 1 2 7 6

1) 2) 3) 4)

6 7 2 1 5 9 8 3 4 8 3 4 1 5 9 6 7 2 6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 7 6 9 5 1 4 3 8

5) 6) 7) 8)

По образу квадрата «ло-шу» в дальнейшем стали придумывать магические квадраты большего размера. На картине знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера «Меланхолия» мы видим магический квадрат размерами 4X4 (рис.5). Любопытно, что два числа в середине его нижней строки указывают год создания картины (1514 г.).

16 5 9 4 3 2 10 11 6 7 15 14 13 8 12 1 Рис.5

Альбрехт Дюрер «Меланхолия»

Магическим квадратом стали называть квадрат n x n , в клетках которого записаны числа от 1 до

n

2 так, что в каждой строке, каждом столбце и по каждой из двух его диагоналей сумма чисел одна и та же. Найти эту сумму не составляет труда, так как 1+2+…+n 2 =(n 2 (n 2 +1))/2 . Поэтому сумма в каждой строке (столбце, диагонали) равна (n(n 2 +1))/2 .

Долгое время составление магических квадратов было весьма популярным занятием математиков и любителей математики. Магический квадрат 8х8 Бенджамина Франклина: 52 61 4 13 20 29 36 45 14 3 62 51 46 35 30 19 63 60 5 12 21 28 37 44 11 6 59 54 43 38 27 22 55 58 7 10 23 26 39 42 9 8 57 56 41 40 25 24 50 63 2 15 18 31 34 47 16 1 64 49 48 33 32 17

Известны и небольшие квадраты с дополнительными свойствами. Так, квадрат 4X4, изображенный на рисунке 6, имеет сумму 34 не только по строкам, столбцам и диагоналям, но и по «разломанным диагоналям» (рис.6), а также в каждом квадрате 2X2.

1 8 11 14 12 13 2 7 6 3 16 9 15 10 5 4 Рис.6

Создавались магические квадраты больших размеров. Известный немецкий математик М. Штифель в книге существует.

«Arithmetica integra» квадрат размерами 16X16. Известны не составляет труда, поскольку имеются , вышедшей в 1544 году, приводит магический магические квадраты размерами 43 X 43. Изготовление большого магического квадрата алгоритмы, позволяющие строить магические квадраты любых размеров. Следует, правда, отметить, что магического квадрата 2X2 не

При всем том, многое о магических квадратах неизвестно. Неизвестно, как зависит количество магических квадратов nхn от значения размера n. Известно лишь, что квадратов 4X4 существует 880, а квадратов 5X5 — около четверти миллиона. Прямой перебор всех возможностей даже для квадратов 5 X 5 на современных ЭВМ займет очень большое время!

• • Использованная литература: Физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант» №4 1995 г.

М.М. Постников «Магические квадраты»