(фантазія з теми «

БАГАТОГРАННИКИ

»)

Виконала: викладач математики

Живогляд С.В.

Лисичанський професійний будівельний ліцей

«У величезному саду геометрії кожен знайде букет собі за смаком.» Д. Гильберт «Математика є прообраз краси світу.» Іоганн Кеплер

Правильних багатогранників зухвало мало, але цей дуже скромний за чисельністю загін зумів пробратися в самі глибини різних наук.

Л. Кэррол

Математика володіє не лише істиною, але і вищою красою - красою відточеною і строгою, піднесено чистою і прагнучою до справжньої досконалості, яка властива лише найбільшим зразкам мистецтва.

Бертран Рассел

ПЛАН ВИВЧЕННЯ ТЕМИ

Визначення правильного опуклого багатогранника.

Платонові тіла, їх види.

Формула Ейлера для опуклих багатогранників.

Формули для обчислення об'єму і площі поверхні правильних багатогранників.

Зірчасті багатогранники, їх види.

Архімедові тіла, їх види.

Використання форми правильних багатогранників природою та людиною.



Букет Платона



Букет

Пуансо

ПРАВИЛЬНИЙ БАГАТОГРАННИК-

опуклий багатогранник, грані якого є правильними багатокутниками з одним і тим же числом сторін і в кожній вершині якого сходиться одне і те ж число ребер.

Правильні багатогранники іноді називають Платоновими тілами.

ПЛАТОНОВІ ТІЛА –

правильні опуклі багатогранники .

ПЛАТОНОВІ ТІЛА

Платон

428 (427) – 348 (347) р.р. до нашої ери

Старогрецький філософ ідеаліст.

У вченні Платона правильні многогранники грали важливу роль.

Тетраедр символізував вогонь, куб - землю, октаедр - повітря, ікосаедр - воду, а додекаедр Всесвіт

Тетраедр Куб Октаедр Додекаедр Ікосаедр Кількість ребер Кількість вершин Кількість граней Вид грані

6 12 12 30 30 4 8 6 20 12 4 6 8 12 20

Леонард Ейлер

(1707 – 1783 рр.)

німецький математик і фізик

Формула Ейлера

(для правильних багатогранників):

Г + В – Р = 2

ФОРМУЛИ ДЛЯ ПРАВИЛЬНИХ БАГАТОГРАННИКІВ

Тетраедр ОБ'ЄМ V= (a ³√2)/12 ПЛОЩА ПОВЕРХНІ S= a²√3 Куб Октаедр Додекаедр Ікосаедр V= a ³ V= (a ³√2)/3 S= 6 a² S= 2 a²√3 V= a ³(15+7√5)/4 S= 3a²√5(5+2√5) V= 5a ³(3+√5)/12 S= 5a²√3

ТІЛА ПУАНСО-КЕПЛЕРА

многогранники (правильні неопуклі многогранники).

зірчасті

ТІЛА ПУАНСО

Іоганн Кеплер

(1571 – 1630 рр.)

Німецький астроном.

У 1619 році описав два зірчасті багатогранники: великий зірчастий додекаедр і малий зірчастий додекаедр Займався теорією напівправильних опуклих багатогранників

ВЕЛИКИЙ ІКОСАЕДР

Грані великого ікосаедра - пересічні трикутники. Вершини великого ікосаедра співпадають з вершинами описаного ікосаедра.

Великий ікосаедр був уперше описаний Луї Пуансо в 1809 р.

МАЛИЙ ЗІРЧАСТИЙ ДОДЕКАЕДР

Грані малого зірчастого додекаедра - пентаграми, як і у великого зірчастого додекаедра. У кожної вершини з'єднуються п'ять граней. Вершини малого зірчастого додекаедра співпадають з вершинами описаного ікосаедра. Малий зірчастий додекаедр був уперше описаний Кеплером в 1619 р.

ВЕЛИКИЙ ДОДЕКАЕДР

Грані великого додекаедра - пересічні п'ятикутники.

Вершини великого додекаедра співпадають з вершинами описаного ікосаедра.

Великий додекаедр був уперше описаний Луї Пуансо в 1809 р.

ВЕЛИКИЙ ЗІРЧАСТИЙ ДОДЕКАЕДР

Грані великого зірчастого додекаедра - пентаграмы, як і у малого зірчастого додекаедра. У кожної вершини з'єднуються три грані. Вершини великого зірчастого додекаедра співпадають з вершинами описаного додекаедра.

Великий зірчастий додекаедр був уперше описаний Кеплером в 1619 р.

Архімед

близько 287 - 212 рр. до нашої ери

Старогрецький учений.

Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих многогранників приписується Архімеду, що уперше перерахувало їх в роботі, що не дійшла до нас. Посилання на цю роботу є в працях математика Паппа.

ТІЛА АРХІМЕДА

напівправильних однорідні опуклі многогранники • Архімедівськими тілами називаються опуклі многогранники, усі багатогранні кути яких рівні, а грані - правильні багатокутники декількох типів (цим вони відрізняються від платоновых тіл).

• Безліч архімедівських тіл можна розбити на п'ять груп.

Використання форми правильних багатогранників

ПРИРОДА ЛЮДИНА

КРИСТАЛИ ЖИВОПИС ОРІГАМІ ВІРУСИ БДЖОЛИНІ СТІЛЬНИКИ АРХІТЕКТУРА ГОЛОВОЛОМКИ УПАКОВКИ ПОБУТОВІ ПРЕДМЕТИ

Кристали білого фосфору утворені молекулами Р 4 . Така молекула має вигляд тетраедра.

Фосфорнуватиста кислота Н 3 РО 2

Молекули дзеркальних ізомерів молочної кислоти.

Будова молекули метану .

Будова грат алмазу.

Кристали куховарської солі

.

Вірус поліомієліту має форму додекаедра.

ФЕОДАРІЯ (

Circjgjnia icosahtdra

)

Правильні багатогранники зустрічаються і в живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодарии (

Circjgjnia icosahtdra

) за формою нагадує ікосаедр. Ікосаедр має найбільший об'єм при найменшій площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму долати тиск водної товщі.

Цікаво, що саме ікосаедр виявився в центрі уваги біологів в їх спорах відносно форми вірусів. Для визначення їх форми, брали різні многогранники, направляли їх на світло під тими ж кутами, що і потік атомів на вірус. Виявилось, що тільки один многогранник дає таку саму тінь - ікосаедр.

Використання багатогранників в архітектурі Велика піраміда в Гизе.

Багатогранники в живопису

В епоху Відродження великий інтерес до форм правильних багатогранників виявили скульптори, архітектори, художники.

Леонардо да Вінчі

(1452 -1519) наприклад, захоплювався теорією багатогранників і часто зображував їх на своїх полотнах. Він проілюстрував правильними і напівправильними многогранниками книгу Ченця Луки Пачоли ''Про божественну пропорцію''.

Зображення Леонардо да Вінчі додекаедра методом жорстких ребер (а) і методом суцільних граней (б) в книзі Л. Пачоли "Божественна пропорція"

Зображення Леонардо да Вінчі усіченого ікосаедра методом жорстких ребер в книзі Л. Пачоли "Божественна пропорція ".

Художнє зображення багатогранників в розробленій Леонардо техніці жорстких ребер Титульний аркуш книги Ж. Кузена "Книга про перспективу".

Надгробний пам'ятник в кафедральному соборі Солсбері

Полотно, на якому написана "Таємна вечеря" Сальвадора Далі має форму золотого прямокутника. Золоті прямокутники менших розмірів використані художником при розміщенні фігур дванадцяти апостолів. У центрі картини розташований додекаедр.

Відомий художник, Альбрехт Дюрер (1471- 1528), що захоплювався геометрією, у гравюрі ''Меланхолія '' на передньому плані зображував додекаедр.

Роботи Фра Джовани да Верона, створені для церкви Santa Maria in Organo у Вероне.

Голландський художник Мориц Корнилис Эшер створив унікальні і чарівні роботи, в яких використаний або показаний широкий круг математичних ідей. Ось дві з його робіт: "Порядок і хаос" і "Зірки ".

Орігамі.

Орігамі

- захоплююче заняття не лише для дітей, але і для підлітків і навіть дорослих!

У руках кожного папір оживає: махає крилами журавель, дрібоче, спускаючись з гірки, людина. Скільки радості, скільки захвату! Ні з чим незрівняне почуття задоволення від виконаного своїми руками виробу. Така іграшка мила серцю, з нею розмовляють, її дбайливо зберігають! Стрибаючі жаби, надувні кульки, коробочки для всіляких дрібниць, витончено складені серветки для святкового столу - світ орігамі нескінченний!!! Папір - благодатний матеріал. Її легко згинати, різати, скручувати, можна підфарбувати, а якщо підмочити виникне паперова скульптура. Метод мокрого складання дається не відразу, спочатку треба потренуватися на простіших фігурках. Однією з моделей орігамі є кусудама. Кусудама - це яскравий многогранник, в якому японці зберігають сухі цілющі трави. Його зазвичай підвішують у ліжка хворого.