Transcript 08_pendugaan selang

METODE STATISTIKA
Bab 9
PENDUGAAN SELANG
By
M. YAHYA AHMAD
M. Yahya Ahmad
PROSES ESTIMASI
Populasi
Sampel Acak
Rerata, ,
tidak diketaui
Rerata
X = 50
Sampel
Saya yakin 95%
bahwa nilai 
berada di antara
di antara 40 & 60.
Pendugaan Titik vs. Pendugaan
Selang


Pendugaan titik. Pendugaan titik dari suatu populasi
adalah nilai parameter tunggal dari suatu statistik. Mis.,
nilai x sampel merupakan nilai penduga dari μ,
demikian pula proporsi p merupakan nilai penduga titik
dari proporsi P.
Pendugaan Interval. Suatu penduga intervel
ditentukan oleh dua angka, dimana diantara kedua nilai
inilah nilai parameter populasi berada. Mis., a < x < b
merupakan nilai penduga bagi μ. Hal ini menunjukkan
bahwa rerata populasi lebih besar dari a tetapi lebih
kecil dari b.
Nilai Peduga Titik
Niali Penduga
Parameter Populasi
Statistik Sampel
Mean

X
Proportion
p
PS
Variance

Difference
2
1   2
S
2
X1  X 2
Selang Kepercayaan
Selang
Kepercayaan
Mean

Diketahui
Proporsi

Tidak
Diketahui
Selang Kepercayaan

Ahli Statistik menggunakan Selang
Keperrcayaan untuk menyatakan ketepatan
dan ketidak-pastian terkait dengan suatu
metode penarikan contoh. Suatu selang
kepercayaan terdiri dari tiga bagian, yaitu.



Tingka keyakinan (confidence level).
Statistik.
Rentang kesalahan (margin of error).
Tingkat Keyakinan
(Confidence Level)

Probabilitas dari selang kepercayaan
dinamakan tingkat keyakinan (confidence
level). Tingkat keyakinan menggambarkan
seberapa kuat kita yakin bahwa suatu metode
penarikan contoh tertentu akan menghasilkan
suatu selang kepercayaan yang memuat nilai
yang sebenarnya dari nilai parameter
populasi.
Rentang Kesalahan
(Margin of Error)

Dalam suatu selang kepercayaan, kisaran nilai
di bawah dan di atas nilai statistik sampel
dinamakan rentang kesalahan (margin of
error).
Selang Kepercayaan untuk 
(jika  Diketahui)

Asumsi




Simpangan baku populasi diketahui
Populasi menyebara normal
Jika populasi tidak menyebar normal,
gunakan ukuran sampel besar
Selang kepercayaan dari nilai penduga:
X  Z / 2

n
   X  Z / 2

n
Elemen Pendugaan
Selang Kepercayaan

Tingkat keyakinan


Ketepatan (range)


Keyakinan dimana suatu interval akan berisikan
nilai parameter populasi yang tidak diketahui
Kedekatan nilai statistik penduga dengan
parameter
Biaya

Untuk mendapatkan sampel berukuran n
dibutuhkan sejumlah biaya
Tingkat Keyakinan


Ditulis dengan 1 0 0  1    %
Interpresi dari frekuensi relatif
 Dalam jangka panjang, 1 0 0  1    % dari seluruh
interval yang dapat dibangu akan mengandung
nilai populasi yang ditaksir

Interval tertentu dapat saja memiliki atau
tidak memiliki nilai parameter yang ditaksir

Tidak ada probabilitas yang dilibatkan dari suatu
interval tertentu
Tingkat Keyakinan dan
Selang Kepercayaan
Sebaran Rerata dari penarikan
contoh
_
X
  Z  / 2 X
Interval
menyebar
dari
X  Z X
hingga
X  Z X
 /2
1
  Z  / 2 X
 /2
X  
Selang Kepercayaan
X
1 0 0 1    %
dari interval
yang dibuat
akan berisi
nilai; µ sebanyak (1-α%)
tidak
Menentukan Faktor Reliabilitas z/2

Misalkan untuk selang kepercayaan 95%
1    .95
α
α
 .025
2

 .025
2
Unit z:
z = -1.96
unit X:
Batas
Bawah
0
Point
Penduga
Estimate
titik
z = 1.96
Batas
Atas
Temukan bahwa z.025 = 1.96 dari tabel distribusi normal
baku
Tingkat Keyakinan yang Umum
Digunakan

Dalam nernagai penelitian. Tingkat keyakinan yang
umum digunakan adalah 90%, 95%, dan 99%
Confidence
Level
Confidence
Coefficient,
1 
Z/2 value
80%
90%
95%
98%
99%
99.8%
99.9%
.80
.90
.95
.98
.99
.998
.999
1.28
1.645
1.96
2.33
2.58
3.08
3.27
Faktor-faktor yang Mempengaruhi
lebar Selang Kepercayaan

Variasi Data


Ukuran Sampel


Dicirikan dengan 
X 
Interval memanjang dari
X - Z
x
sd X + Z 
x

n
Tingkat Keyakinan

1 0 0 1    %
© 1984-1994 T/Maker Co.
Menentukan Ukuran Sampel (Cost)
Terlalu
Besar:
Terlalu
Kecil:
•
Memerlukan
banyak
sumberdaya
• Tidak teliti
/ tidak tepat
Menentukan Ukuran Sampel untuk
Rerata
Berapa besar ukuran sampel diperlukan agar 90%
yakin bahwa nilai populasinya tepat berada ± 5?
Suatu suatu menyarankan bahwa simpangan
bakunya adalah 45.
Z 
2
n
2
Error
2

1.645
2
5
 45 
2
2
 219.2  220
Pembulatan
Menentukan Ukuran Sampel
X  (Z
 /2

)
) 
 /2 n
 X  (Z
X
Menentukan Ukuran sampel untuk variable:
z*
 z*s 
 E  n  

n
 E 
s
2
dimana: E adalah kesalahan yang diperbolehkan (kadang-kadang
dinamakan Margin of Error), z adalan nilai-z yang terkait dengan
tingkat keyakinan yang dipilih, dan s simpangan baku dari data
survei pendahuluan.
Contoh lain

Sekelompok konsumen akan menentukan berapa
biaya rekening listrik yang dihabiskan untuk satu
keluarga di bulan Juli dengan tingkat keyakinan
99% dan tingkat kesalahan $5. Berdasarkan
berbagai studi, simpangan baku adalah $20.00.
Beraka ukran sampel yang diperlukan?
 ( 2 . 58 )( 20 ) 
n  

5


2
 107
Sample Size for Proportions

The formula for determining the sample size
in the case of a proportion is:2
 Z 
n  p (1  p ) 

E 

where p is the estimated proportion, based on
past experience or a pilot survey; z is the z
value associated with the degree of
confidence selected; E is the maximum
allowable error the researcher will tolerate.
Menentukan Ukuran Sampel
dengan MS Excel


Klik dua kali pada ikon dan perhatikan
langkah-langkahnya
Contoh kejadian untuk selang kepercayaan
dengan Winstat
Selang Kepercayaan untuk 
(  Tidak diketahui)

Asumpsi





Simpangan baku populasi tidak diketahui
Populasi menyebar normal
Jika populasi tidak menyebar normal, gunakan
sampel berukuran besar
Gunakan sebaran t-Student
Besarnya selang kepercayaan:

S
S
X  t / 2 , n  1
   X  t / 2 , n  1
n
n
Sebaran t-Student
Normal
baku
Sebaran
berbentuk bel
simetris
dengan ujung
lebih tipis
t (df = 13)
t (df = 5)
0
Z
t
Derajat Bebas (df )


Jumlah observasi yang bebas bervariasi
setelah rerata sampel dihitung
Contoh
Derajat bebas

Df dari 3 bilangan adalah 2
= n -1
= 3 -1
=2
Tabel t-Student
Luas area di atas bagian
ujung
df
.25
.10
.05
Mis. n = 3
df = n - 1 = 2
 = .10
/2 =.05
1 1.000 3.078 6.314
2 0.817 1.886 2.920
 / 2 = .05
3 0.765 1.638 2.353
t Values
0 2.920
t
Contoh
Suatu sam pel acak n  25 m em iliki X  50 dan S  8.
Susunlah selang kepercayaan 95% untuk 
X  t / 2 , n  1
50  2.0639
S
n
8
   X  t / 2 , n  1
   50  2.0639
25
46.69    53.30
S
n
8
25
Menyusun Selang Kepercayaan


Klik 2 kali pada ikon MS Excel
Klik 2 kali pada ikon SSP
Estimasi untuk Populasi Terbatas

Sampel dipilih tanpa pengembalian

Selang kepercayaan untuk rerata ( unknown)


X  t / 2 , n  1
S
n
N  n
 N  1
Selang kepercayaan untuk proporsi

pS  Z / 2
p S 1  p S
n
 N  n
 N  1
Penentuan ukuran sampel untuk
Populasi terbatas

Sampel dipilih tanpa pengembalian

Jika menaksir rerata
Z  / 2
2


n0 
e
2
2
JIka menaksir populasi
Z  / 2 p 1  p 
2

n0 
e
2
Ringkasan
ˆ  r ( , n )  
Bentuk umum selang
kepercayaan:
ˆ
( = rerata populasi; = tingkat keyakinan; = simpangan baku)
Tidak diketahui
 diketahui
Ukuran
sampel (n)
<30
≥30
Distribusi Populasi
Normal
Tidakdiketahui
ˆ  Z
 /2


?
n
ˆ  Z
 /2


n
Distribusi Populasi
Normal
Tidak diketahui
ˆ  t
 / 2, n  1

ˆ
?
n
ˆ  Z
 /2

ˆ
2
ˆ    ( x  ˆ ) /( n  1) 


i
n
1/ 2