Transcript D. Cio*ek EKONOMETRIA II* wyk*ad 2

D. Ciołek
Konwergencja gospodarcza

Jedna z implikacji neoklasycznego modelu wzrostu SolowaSwana: im dalej od swojego steady state (stanu wzrostu
zrównoważonego) znajduje się dana gospodarka tym szybsze
tempo jej wzrostu.

Kraj bogatszy charakteryzuje się niższym tempem wzrostu niż
kraj biedniejszy co oznacza, że po pewnym czasie kraj biedny
będzie w stanie „dogonić” kraj bogaty, co w konsekwencji
prowadzić ma do wyrównania się poziomów zamożności pomiędzy
tymi krajami.
Konwergencja = doganianie.

Należy zauważyć, że model Solowa nie zakłada, iż wszystkie kraje
na świecie dążą do tego samego poziomu bogactwa. Taki proces
możliwy byłby jedynie wówczas gdyby wszystkie kraje
charakteryzowały się identycznymi cechami gospodarki jak: stopa
oszczędności, stopa deprecjacji kapitału, stopa przyrostu liczby
ludności
D. Ciołek
Konwergencja typu sigma
Grupa krajów ulega procesowi zbliżania się pod względem
gospodarczym w sensie , jeżeli zróżnicowanie poziomów
realnego PKB per capita w tej grupie krajów wykazuje
tendencję do zmniejszania się w czasie.
To znaczy, jeżeli:
t 0
gdzie t jest odchyleniem standardowym ln(yi,t) w okresie t w
całej grupie i krajów.
Zatem kraje zbliżają się do siebie pod względem zamożności,
jeżeli zróżnicowanie poziomów dochodu w całej badanej
grupie gospodarek zmniejsza się w czasie.
D. Ciołek
Konwergencja absolutna typu beta
Mówimy, że mamy do czynienia z konwergencją typu beta
wtedy, gdy biedniejsze regiony mają tendencję do
szybszego wzrostu gospodarczego niż regiony
bogatsze, tzn. istnieje ujemna zależność między stopą
wzrostu zmiennej odzwierciedlającej rozwój regionu, a jej
początkowym poziomem.
Wyznacza się średnią logarytmiczną stopę wzrostu dla każdej
z N gospodarek:
 yT ,i 
 /T
ln

y
t

0
,
i


i  1,..., N ,
D. Ciołek
Konwergencja absolutna typu beta
Tak zdefiniowany proces może być analizowany poprzez
oszacowanie tzw. regresji wzrostu, często nazywanej regresją
typu Barro, następującej postaci:
 yT ,i 
 / T   o  1 ln yt  0,i   i ,
ln

y
t

0
,
i


i  1,..., N ,
 i ~ N 0,  2 I ,
gdzie yt=0,i to zmienna odzwierciedlająca poziom rozwoju
jednostki i na początku analizowanego okresu, yT,i to wartość
zmiennej y w okresie końcowym, i jest składnikiem
zakłócającym regresji.
Kluczowym elementem w powyższej regresji jest parametr
BETA - uzyskanie statystycznie istotnej ujemnej wartości
tego parametru, potwierdza występowanie konwergencji w
analizowanej grupie.
D. Ciołek
Konwergencja warunkowa typu beta
Nie wszystkie kraje dążą do tego samego stanu wzrostu
zrównoważonego (steady state) – każdej gospodarce
odpowiada inny steady state, który zależy od cech ją
charakteryzujących.
Różne modele wzrostu sugerują różne zbiory czynników
determinujących steady state.

w modelu Solowa-Swana najważniejsze są: stopa
oszczędności, stopa deprecjacji kapitału fizycznego, stopa
przyrostu liczby ludności, tempo postępu technicznego.

Model Mankiwa, Romera, Weila uwzględnia ponadto stopę
akumulacji kapitału ludzkiego.
Itd..
D. Ciołek
Konwergencja warunkowa typu beta
Oznacza to, że grupa krajów dąży do tego samego steady
state (tego samego poziomu gospodarczego), jeżeli są do
siebie podobne pod względem wymienionych cech.
Stąd hipotezę konwergencji warunkowej testuje się poprzez
oszacowanie regresji wielorakiej postaci:
 yT ,i 
 / T   o  1 ln yt  0,i    r xri   i ,
ln

y
r
 t  0 ,i 
 i ~ N 0,  2 I , i  1,..., N , r  1,..., k
gdzie zmienne x, to czynniki determinujące steady state.
Oszacowany parametr BETA – parametr warunkowej beta
konwergencji.
D. Ciołek
Szybkość konwergencji typu beta
Wyższa wartość oceny parametru β mówi o szybszej
konwergencji.
Przeciętna szybkość konwergencji w grupie krajów, osiągniętą
w analizowanym okresie, może być oszacowany według
następującej formuły:
ln(1  ˆT )
 
T
Czas potrzebny na przebycie połowy odległości między y0 a
stanem wzrostu zrównoważonego może być wyliczony jako:
t*  
ln 0,5

D. Ciołek
Ekonometryczne modele konwergencji


Przekrojowe

Szacowane Metodą Najmniejszych Kwadratów

Dla wybranej grupy gospodarek lub dla wszystkich krajów na świecie.
Panelowe – dwa wymiary: czas i przekrój

Modelowanie danych panelowych – Uogólnione Metody Momentów

Wybrane kraje, stopy wzrostu liczone dla kilku interwałów czasowych
Przykład:
Konwergencja w Unii Europejskiej w latach 2000-2011
Dane: Penn World Tables 8.0 – regresja przekrojowa
D. Ciołek
Ogólna postać modelu:
y  f ( x,  )
y – zmienna objaśniana w modelu – endogeniczna,
x – zmienne objaśniające, wyjaśniają kształtowanie się
zmiennej endogenicznej,
 - składnik zakłócający,
f( ) - oznacza postać analityczną funkcyjnej zależności miedzy
zmienną endogeniczną i zmiennymi objaśniającymi.
Zmienne objaśniające
(w modelach jednorównaniowych):
- zmienne egzogeniczne,
- zmienne endogeniczne opóźnione w czasie.
D. Ciołek
Linowy model ekonometryczny
Model liniowy – regresja prosta:
yt   0  1 xt1   t
Model liniowy – regresja wieloraka:
yt  0  1 xt1  2 xt 2  ... k xtk   t
 - są to nieznane, stałe w czasie parametry strukturalne.
 0 - parametr strukturalny wyrazu wolnego,
 i - parametry strukturalne przy zmiennych odzwierciedlają siłę i kierunek wpływu zmiennej
objaśniającej na zmienną endogeniczną, i=1,2,…,k.
k – liczba zmiennych objaśniających w modelu.
D. Ciołek
Model konwergencji:
 yT ,i 
 / T   o  1 ln yt  0,i    r xri   i ,
ln

y
r
t

0
,
i


 i ~ N 0,  2 I , i  1,..., N , r  1,..., k
to regresja wieloraka liniowa ze względu na parametry – zmienne
są nieliniowymi funkcjami zmiennych interpretowalnych.
Jest to regresja przekrojowa.
D. Ciołek
Składnik zakłócający – losowy

Przyczyny uwzględniania składnika losowego w modelu:
- pominięcie niektórych czynników objaśniających
(niektóre czynniki są nierozpoznane przez teorię, inne
są niemierzalne),
- wybór niewłaściwej postaci analitycznej funkcji; postać
analityczna modelu zwykle nie jest dokładnie
określona przez teorię ekonomii,
- błędy w pomiarze zmiennych ekonomicznych,
- losowy charakter zmiennych ekonomicznych.
Składnik zakłócający jest zmienną losową i jak każda zmienna
losowa charakteryzuje się pewnym rozkładem
prawdopodobieństwa.
Cechy rozkładu składnika zakłócającego są ważnym
elementem modelu ekonometrycznego.
D. Ciołek
Estymacja modelu - MNK
Oszacować (estymować) model oznacza znaleźć oceny
parametrów strukturalnych na podstawie konkretnej próby.
Metody szacowania parametrów strukturalnych:
-
Metoda Momentów,
-
Metoda Najmniejszych Kwadratów,
-
Metoda Największej Wiarygodności,
-
i wiele innych…
Twierdzenie Gaussa-Markowa:
W klasycznym modelu regresji liniowej najlepszym
nieobciążonym estymatorem linowym parametrów jest
estymator uzyskany Metodą Najmniejszych Kwadratów (MNK).
BLUE –Best Linear Unbiased Estimator
D. Ciołek
Założenia MNK
Założenia stochastyczne (dotyczą składnika losowego):
1)
2)
E  t   0
dla wszystkich t - wartość oczekiwana składnika
losowego jest równa zero.
 2  t    2 dla wszystkich t – wariancja jest jednakowa dla
wszystkich obserwacji - homoscedastyczność.
3)  i i  j są niezależne dla i  j - składniki losowe dla różnych
obserwacji nie zależą od siebie, nie są skorelowane; brak
autokorelacji składników losowych.
4) x t i  t są niezależne dla wszystkich t – zmienne objaśniające
nie zależą od składnika losowego, tzn. zmienne objaśniające
są nielosowe.

2
5)  t ~ N 0, 
 - składnik losowy dla każdej obserwacji ma
rozkład normalny.
D. Ciołek
Założenia MNK
Jeżeli nie są spełnione założenia numeryczne – nie jesteśmy
w stanie zastosować matematycznych formuł na MNK.
Jeżeli nie są spełnione stochastyczne założenia 1), 2), 3), 4)
estymator MNK, przestaje być BLUE, daje obciążone oceny
parametrów strukturalnych.
Założenie 5) nie ma znaczenia dla własności MNK. Jego
spełnienie jest konieczne, aby można było zastosować testy
statystyczne pozwalające sprawdzić wszystkie powyższe
założenia.
Większość testów statystycznych bazuje na złożeniu, że
analizowana zmienna losowa ma rozkład normalny.
D. Ciołek
Weryfikacja modelu
Weryfikacja stochastyczna:
-
Sprawdzenie prawdziwości założeń dotyczących składnika
losowego – badanie własności estymatora MNK w tym
modelu.
-
Sprawdzenie własności prognostycznych modelu.
Weryfikacja ilościowa:
-
Sprawdzenie poprawności doboru postaci analitycznej
modelu,
-
Sprawdzenie istotności zależności między zmienną
endogeniczną a zmiennymi objaśniającymi,
-
Sprawdzenie dobroci dopasowania modelu do danych
rzeczywistych.
Weryfikacja ekonomiczna:
-
Sprawdzenie zgodności wyników oszacowania z teorią
ekonomiczną.
D. Ciołek
Weryfikacja stochastyczna:
-
Weryfikacja hipotezy o braku autokorelacji składników
losowych.
-
Weryfikacja hipotezy o stałości wariancji składników
losowych.
-
Weryfikacja hipotezy o normalności rozkładu składnika
losowego.
Jeżeli powyższe hipotezy są prawdziwe wówczas:
estymator MNK parametrów strukturalnych liniowego
modelu ekonometrycznego jest estymatorem
nieobciążonym, zgodnym i najbardziej efektywnym w klasie
estymatorów nieobciążonych – BLUE.
D. Ciołek
1) Testowanie występowania autokorelacji
- Test Durbina-Watsona - służy do badania autokorelacji
rzędu pierwszego
H0: brak autokorelacji zakłóceń losowych (rzędu I) – spełnione
założenie
H1: występuje autokorelacja zakłóceń losowych (rzędu I) – nie
spełnione założenie
- Test Godfreya - służy do testowania autokorelacji wyższego
rzędu w modelach statycznych i dynamicznych.
H0: brak autokorelacji zakłóceń losowych – spełnione założenie
H1: występuje autokorelacja zakłóceń losowych– nie spełnione
założenie
Uwaga: w modelach dla danych przekrojowych nie
badamy autokorelacji.
D. Ciołek
2) Testowanie heteroskedastyczności
Np. Test White’a
H0 – wariancja zakłóceń jest stała – homoscedastyczność
H1 – wariancja zakłóceń losowych nie jest stała – heteroscedastyczność
3) Testowanie normalności rozkładu zakłóceń
Np. Test Jarque,a-Bery
H0 – rozkład zakłóceń losowych jest rozkładem normalnym
H1 – rozkład zakłóceń losowych nie jest rozkładem normalnym
D. Ciołek
Błędy szacunku parametrów strukturalnych
Oszacowany model regresji wielorakiej można zapisać:
yˆ t  ˆ0  ˆ1 xt1  ...  ˆk xtk
ˆ ˆ  ˆ ˆ 
0
1
ˆ ˆ 
k
Interpretacja:
Szacując parametr
i
 
mylimy się średnio in plus, in minus ˆ ˆi .
lub
uwzględniamy błąd szacunku w interpretacji parametru
strukturalnego.
20
D. Ciołek
Syntetyczne miary dopasowania
1) Średni błąd resztowy (odchylenie standardowe reszt)
ˆ   ˆ 2
określa o ile jednostek (in plus; in minus), przeciętnie rzecz
biorąc, zaobserwowane wartości zmiennej endogenicznej
odchylają się od wartości teoretycznych (wyznaczonych na
podstawie oszacowanego modelu) tej zmiennej.
2) Współczynnik zmienności losowej
V 
ˆ 
y
100
Informuje o tym, jaki jest procentowy udział średniego błędu reszt
w średniej wartości zmiennej endogenicznej.
21
D. Ciołek
Syntetyczne miary dopasowania
3) Współczynnik determinacji
2
ˆ
(
y

y
)
t 1 t
T
R2 
2
(
y

y
)
t 1 t
T
informuje jaka część całkowitej zmienności zmiennej
endogenicznej została ,,wyjaśniona'' przez model empiryczny.
4) Współczynnik zbieżności (indeterminacji)
ˆ2

t 1 t
T
2 
2
(
y

y
)
t 1 t
T
Informuje, jaka część rzeczywistej zmienności zmiennej
endogenicznej nie została ,,wyjaśniona'' przez model
empiryczny, tj. kształtuje się pod wpływem czynników
nieuwzględnionych w modelu empirycznym.
22
D. Ciołek
Syntetyczne miary dopasowania
Jeżeli w modelu występuje wyraz wolny, to:
2
2
oraz
0  1
0  R 1
W każdym przypadku suma obu współczynników:
R  1
2
2
Należy pamiętać, że:
W przypadku szacowania modelu dla niestacjonarnych szeregów
czasowych, wraz ze wzrostem liczebności próby, obie miary
stają się obciążone i oceniają dopasowanie zbyt optymistyczne.
23
D. Ciołek
Istotność parametrów strukturalnych
Test t-Studenta - indywidualnej istotności parametru
strukturalnego
Hipotezy:
H0: parametr jest statystycznie nieistotny – stojąca przy nim zmienna nie wpływa
w statystycznie istotny sposób na zmienną objaśnianą
H1: parametr jest statystycznie istotny – stojąca przy nim zmienna w
statystycznie istotny sposób wpływa na zmienną objaśnianą
Statystyka z próby:
ˆi
ti 
(i  0,1,...,k )
ˆ ( ˆi )
Iloraz ten na rozkład:
H0 odrzucamy gdy:
ti ~ tT k 1
| t i | t / 2
D. Ciołek
Istotność parametrów strukturalnych
Test F - łącznej istotności parametru strukturalnego
Hipotezy:
H0: wszystkie parametry przy zmiennych są statystycznie nieistotne
H1: przynajmniej jeden z parametrów przy zmiennych jest statystycznie istotny
Statystyka z próby:
T  k 1 R2
F * 
2
k

Statystyka na rozkład:
F * ~ FTkk 1
D. Ciołek
Do wszystkich testów statystycznych
Prawdopodobieństwo empiryczne – prob, p-value, wartość-p
Jest to prawdopodobieństwo przyjęcia przez statystykę wartości
nie mniejszej od uzyskanej wartości statystyki z próby, przy
założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa.
Reguła decyzyjna:
prob  
- brak podstaw do odrzucenia H0.
prob  
- odrzucamy H0.
Inaczej prob oznacza poziom istotności powyżej którego należy
odrzucić hipotezę zerową.
D. Ciołek
Przykład:
Konwergencja w Unii Europejskiej w latach 2000-2011
– regresja przekrojowa
Dane: Penn World Tables 8.0