Transcript D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 1

D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 0
BADANIA OPERACYJNE
Wykład 0: Informacje o przedmiocie.
dr Dorota Ciołek
Katedra Ekonometrii
Wydział Zarządzania UG
Konsultacje:
p. 112
Środa (I tydz.) 12:00-13:00
Piątek 13:00-14:00
http://wzr.pl/dc
1
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 0
Informacje o przedmiocie:
Forma zajęć:
Wykłady: 15 godzin
Ćwiczenia: 15 godzin
Forma zaliczenie:
Test pisemny – 90 minut,
W razie potrzeby możliwa
jest jedna poprawka testu w sesji poprawkowej.
2
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 0
Zakres tematyczny

Przedmiot badań operacyjnych.

Liniowe modele decyzyjne.

Zagadnienia transportowe.

Zagadnienia przydziału.

Elementy teorii gier: gry dwuosobowe o Sumie zero i
gry z naturą
3
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 0
Literatura

Ignasiak, E. (red.) (2001), Badania operacyjne, PWE,
Warszawa.

Kozubski, J.J. (2004), Wprowadzenie do badań
operacyjnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego,
Gdańsk.

Kukuła, K. (red.) (2007), Badania operacyjne w
przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa.

Sikora W. (red.) (2008), Badania operacyjne, PWE,
Warszawa.

Straffin P. D., (2004), Teoria gier, Wydawnictwo Naukowe
Scholar, Warszawa.

Trzaskalik T. (2007), Wprowadzenie do badań
operacyjnych z komputerem, PWE, Warszawa.

Wagner, H.M. (1980), Badania operacyjne, PWE,
Warszawa.
4
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
BADANIA OPERACYJNE
Wykład 1: Wprowadzenie do badań operacyjnych.
Liniowe modele decyzyjne.
dr Dorota Ciołek
Katedra Ekonometrii
Wydział Zarządzania UG
Konsultacje:
p. 112
Środa (I tydz.) 12:00-13:00
Piątek 13:00-14:00
http://wzr.pl/dc
5
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Badania operacyjne
Nauka wykorzystująca modelowanie matematyczne do
wspierania procesu podejmowania decyzji, przede
wszystkim w zarządzaniu – nauka o zarządzaniu.
Wspieranie podejmowania decyzji oparte jest na zasadach
racjonalnego działania:

zasada największego efektu – przy danych nakładach
środków osiągnąć maksymalny efekt,

zasada najmniejszych nakładów środków – określony
efekt osiągnąć najmniejszymi nakładami środków.
Początki badań operacyjnych: okres przed II Wojną Światową
Prekursorzy: Leonid Kantorowicz, matematyk i ekonomista,
John von Neuman, chemik i matematyk.
6
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Badania operacyjne
Dziedziny pokrewne:

Programowanie matematyczne – konstrukcja i analiza
właściwości algorytmów rozwiązywania problemów
optymalizacyjnych.

Teoria podejmowania decyzji – wypracowanie
odpowiednich reguł decyzyjnych na podstawie analizy
własności konkretnych modeli podejmowania decyzji.

Badania operacyjne – budowa modeli różnych sytuacji
decyzyjnych.
Bliski związek również z:

Ekonomią Matematyczną,

Ekonometrią.
7
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Badania operacyjne
Zastosowania:
- Wojskowość - rozmieszczenie systemów obrony, analiza
niezawodności sprzętu wojskowego, poszukiwanie i
udzielanie pomocy, symulacja gier wojennych.
-
Decyzje dotyczące produkcji – wybór optymalnego
asortymentu produkcji, sterowanie zapasami, zarządzanie
jakością.
-
Marketing - wybór mediów w kampanii reklamowej, ocena
konkurencyjności strategii marketingowych, przydział
personelu do sprzedaży, umiejscowienie centrów
dystrybucji, prognozowanie sprzedaży.
Analiza (zarządzanie) portfelem papierów wartościowych
Planowanie diety.
Zarządzanie personelem.
-
8
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Metody badań operacyjnych

Programowanie liniowe,

Programowanie całkowitoliczbowe,

Zagadnienia transportowe,

Zagadnienia przydziału,

Programowanie nieliniowe,

Programowanie wielokryterialne,

Programowanie dynamiczne,

Programowanie sieciowe,

Teoria masowej obsługi,

Itd..
9
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Metodologia postępowania
Etapy:
1) Sformułowanie problemu decyzyjnego – sporządzenie
uproszczonego opisu fragmentu interesującej nas
rzeczywistości gospodarczej;
2) Budowa modelu matematycznego sytuacji decyzyjnej;
3) Wybór odpowiedniego algorytmu i znajdowania rozwiązania
optymalnego;
4) Analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego;
5) Weryfikacja modelu;
6) Wdrożenie rozwiązania w rzeczywistości gospodarczej.
10
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Rodzaje modeli decyzyjnych
Ze względu na posiadane informacje:
1) Modele deterministyczne – w warunkach pewności,
parametry modelu są znana i stałe – rozwiązanie
optymalne modelu, to decyzja optymalna.
2) Modele niedeterministyczne:
- stochastyczne – w warunkach ryzyka, niektóre
parametry modelu są zmiennymi losowymi o znanym
rozkładzie prawdopodobieństwa – wynik decyzji jest
łącznym rezultatem działań decydenta i czynników
losowych.
- podejmowanie decyzji w warunkach
niepewności – parametry modelu mogą przyjmować
różne wartości w zależności od tego, jaki wystąpi stan
otoczenia.
11
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Rodzaje modeli decyzyjnych
Ze względu na horyzont czasowy:
1) Modele operacyjne – w krótkim horyzoncie
czasowym, duża powtarzalność.
2) Modele strategiczne - wspierają podejmowanie
decyzji mających znaczenie w długim okresie.
Ze względu liczbę kryteriów optymalizacji:
1) Modele jednokryterialne,
2) Modele wielokryterialne.
Ze względu na postać analityczną wykorzystanej w modelu:
1) Modele liniowe,
2) Modele nieliniowe.
12
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Podstawowe pojęcia
Sytuacja decyzyjna – sytuacja, w której podejmujemy
decyzję, fragment rzeczywistości mającej znaczenie w
danym przypadku.
Decydent – osoba podejmująca decyzję o wyborze sposobu
działania i ponosząca odpowiedzialność za efekty realizacji.
Strategia działania – metoda postępowania przynosząca
określony efekt.
Decyzja dopuszczalna – sposób działania możliwy do
podjęcia przy danych ograniczeniach.
Decyzja optymalna – decyzja najlepsza z punktu widzenia
danego kryterium.
Model decyzyjny - matematyczny zapis sytuacji decyzyjnej.
13
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Linowy model decyzyjny –
program liniowy
Na model decyzyjny składają się:

jednoznacznie zdefiniowane zmienne decyzyjne –
informują, o czym powinien zdecydować decydent,

warunki ograniczające (warunki wewnętrznej
zgodności) – odzwierciedlają ograniczoność zasobów lub
minimalne wymagania, które należy spełnić,

funkcja kryterium (funkcja celu) – definiuje cel, który
przyświeca decydentowi – np. maksymalizacja zysku
(przychodu) lub minimalizacja kosztów,

warunki nieujemności (warunki brzegowe) –
ograniczają zbiór dopuszczalnych rozwiązań zmiennych
decyzyjnych do liczb nieujemnych.
14
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Liniowy model decyzyjny
Zapis ogólny – postać standardowa (dla maksymalizacji)
c1 x1  c 2 x 2    c n x n  max
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2


a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  bm
x1 , x 2 ,  , x n  0
15
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Liniowy model decyzyjny
Zapis ogólny – postać standardowa (dla minimalizacji)
c1 x1  c 2 x 2    c n x n  min
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2


a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  bm
x1 , x 2 , , x n  0
16
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Liniowy model decyzyjny
Zapis macierzowy:
c T x  max (min)
A x  () b
x0
cT  [c1 , c2 ,, cn ] - wektor współczynników funkcji celu,
xT  [ x1 , x2 ,, xn ] - wektor zmiennych decyzyjnych,
A  [aij ] i  1,2,, m; j  1,2,, n - macierz współczynników z
warunków ograniczających,
b  [b1 , b2 ,, bm ] - wektor wyrazów wolnych (zasobów,
wymogów).
17
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Postać kanoniczna LMD
Postać kanoniczna liniowego modelu decyzyjnego – postać
gdzie warunki ograniczające mają postać równań oraz
na wszystkie zmienne nałożone są warunki
nieujemności.
W warunkach ograniczających uwzględniamy tzw. zmienne
dodatkowe s, które do funkcji celu wchodzą z
zerowymi wagami.
Zmienne dodatkowe wprowadzane są do warunków
ograniczających będących nierównościami:
- mniejsze równe: zmienna s jest dodawana;
- większe równe: zmienna s jest odejmowana.
18
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Liniowy model decyzyjny
Zapis ogólny – postać kanoniczna (dla maksymalizacji)
c1 x1  c2 x2    cn xn  0 s1  0 s 2 ... 0 sm  max
a11 x1  a12 x2    a1n xn  s1  b1
a21 x1  a22 x2    a2 n xn  s 2  b2


am1 x1  am 2 x2    amn xn  sm  bm
x1 , x2 ,, xn  0
s1, s 2, ...,sm  0
19
Przykład 1:
zagadnienie optymalnego asortymentu produkcji
Zakład złożony z trzech zakładów produkcyjnych, w których odbywa się
krojenie, mieszanie i paczkowanie, produkuje dwa rodzaje herbaty: I i II.
Maszyny w każdym wydziale mogą pracować po 8 godzin dziennie.
Proces produkcji można w skrócie opisać w następujący sposób:
Pierwszy rodzaj herbaty najpierw jest krojony, a potem paczkowany.
Wytworzenie każdej tony tej herbaty zajmuje 1/2 godziny krojenia i 1/3
godziny paczkowania. Herbata drugiego rodzaju jest najpierw mieszana,
a następnie paczkowana. Na każdą tonę tej herbaty przypada 1 godzina
mieszania i 2/3 godziny paczkowania. Herbata pierwsza może być
sprzedawana za 800 $ za tonę, natomiast herbata druga za 600 $ za
tonę. Jaki poziom produkcji obu wyrobów powinna ustalić firma, jeśli jej
celem jest maksymalizacja całkowitego przychodu?
20
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Rozwiązanie liniowego modelu decyzyjnego
Rozwiązanie modelu decyzyjnego polega na znalezieniu
rozwiązania optymalnego, czyli najlepszego z punktu
widzenia określonego kryterium, możliwego do uzyskania w
danych okolicznościach (przy danych ograniczeniach).
Rozwiązanie dopuszczalne – takie wartości zmiennych
decyzyjnych, które możliwe są do uzyskania przy danych
ograniczeniach.
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych – obszar (lub przestrzeń) do
którego należą wszystkie punkty (kombinacje zmiennych
decyzyjnych), które spełniają wszystkie ograniczenia
równocześnie (warunki ograniczające i warunki brzegowe).
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem wypukłym.
21
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Rozwiązanie liniowego modelu decyzyjnego
Metody rozwiązywania:

metoda graficzne – tylko do modeli z dwiema zmiennymi
decyzyjnymi,

metoda simplex – metoda uniwersalna dla liniowych modeli
decyzyjnych.
Rozwiązanie metodą graficzną:
1) Szukamy obszaru rozwiązań dopuszczalnych – obszaru w
którym spełnione są wszystkie warunki ograniczające.
2) Wykorzystując gradient funkcji kryterium, w wierzchołkach
obszaru rozwiązań dopuszczalnych szukamy rozwiązania
najlepszego z punktu widzenia funkcji kryterium – rozwiązanie
optymalne.
Rozwiązanie optymalne reprezentuje taka kombinację
zmiennych decyzyjnych x1 i x2, która daje optymalne, najlepsze
z punktu danego celu, rozwiązanie.
22
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 1
Liczba rozwiązań optymalnych
Liniowy model decyzyjny może mieć:

jedno rozwiązanie optymalne – tylko w jednym
wierzchołku zbioru rozwiązań dopuszczalnych znajduje
się największa (najmniejsza) wartość funkcji celu.

nieskończenie wiele rozwiązań – gdy optymalna wartość
funkcji celu znajduje się równocześnie w dwóch
wierzchołkach zbioru rozwiązań dopuszczalnych.

brak rozwiązań optymalnych – gdy zbiór rozwiązań
dopuszczalnych jest zbiorem pustym.
23
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 2
Model dualny do liniowego modelu
decyzyjnego
Każdemu zagadnieniu programowania liniowego odpowiada
sformułowane w odpowiedni sposób zagadnienie dualne
(dwoiste).
Zastosowanie modelu dualnego:

Analiza ekonomiczna wyników rozwiązania,

W niektórych sytuacjach umożliwia łatwiejsze rozwiązanie
modelu prymalnego (MP).
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 2
Zasady budowy modelu dualnego
1) Liczba zmiennych decyzyjnych w MD jest równa liczbie
warunków ograniczających w MP.
2) Liczba warunków ograniczających w MD jest równa liczbie
zamiennych decyzyjnych w MP.
3) Dualna funkcja celu jest przeciwna wobec prymalnej funkcji
celu.
4) Wyrazy wolne z MP stają się współczynnikami w funkcji
kryterium MD.
5) Współczynniki z funkcji kryterium MP stają się wyrazami
wolnymi w MD.
6) Macierz współczynników przy zmiennych w warunkach
ograniczających MD jest równa transponowanej macierzy
współczynników z warunków ograniczających MP.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 2
Zasady budowy modelu dualnego - cd
7) Znaki w warunkach ograniczających są standardowe dla
dualnej funkcji celu (max: ; min: ).
8) Warunki brzegowe:
- Jeżeli warunek ograniczający w MP odpowiadający danej
zmiennej dualnej jest standardowy, wówczas zmienna
dualna ma ograniczenie brzegowe  0.
- Jeżeli warunek ograniczający w MP odpowiadający danej
zmiennej dualnej jest niestandardowy, wówczas zmienna
dualna ma ograniczenie brzegowe  0.
- Jeżeli warunek ograniczający w MP odpowiadający danej
zmiennej dualnej jest równością, wówczas zmienna dualna
nie ma ograniczenia brzegowego.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 2
Dualny model decyzyjny – dla max
Model Prymalny
c1 x1  c2 x2    cn xn  max
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2


am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm
Model dualny
b1 y1  b2 y 2    bm y m  min
a11 y1  a 21 y 2    a m1 y m  c1
a12 y1  a 22 y 2    a m 2 y m  c 2


a1n y1  a 2 n y 2    a mn y m  c n
x1 , x2 ,, xn  0
c T x  max
Axb
x0
y1 , y 2 ,  , y m  0
b y  min
T
A yc
T
y0
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 2
Dualny model decyzyjny – dla min
Model Prymalny
c1 x1  c 2 x 2    c n x n  min
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2


a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  bm
x1 , x 2 ,  , x n  0
Model dualny
b1 y1  b2 y 2    bm y m  max
a11 y1  a 21 y 2    a m1 y m  c1
a12 y1  a 22 y 2    a m 2 y m  c 2


a1n y1  a 2 n y 2    a mn y m  c n
y1 , y 2 ,  , y m  0
c T x  min
b T y  max
Axb
x0
AT y  c
y0
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 2
Model dualny w postaci kanonicznej
1)
b1 y1  b2 y 2    bm y m  0  g1  0  g 2  ...  0  g n  min
a11 y1  a 21 y 2    a m1 y m  g1  c1
a12 y1  a 22 y 2    a m 2 y m  g 2  c 2


a1n y1  a 2 n y 2    a mn y m  g n  c n
y1 , y 2 ,..., y m  0
g1 , g 2 ,..., g n  0
2)
b1 y1  b2 y 2    bm y m  0  g 1  0  g 2  ...  0  g n  max
a11 y1  a 21 y 2    a m1 y m  g 1  c1
a12 y1  a 22 y 2    a m 2 y m  g 2  c 2


a1n y1  a 2 n y 2    a mn y m  g n  c n
y1 , y 2 ,  , y m  0
g 1 , g 2 ,...,g n  0
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 2
Twierdzenia o dualności
Twierdzenie 1
Jeżeli model prymalny ma rozwiązanie optymalne, to również
model dualny ma rozwiązanie optymalne. Optymalna
wartość funkcji celu w MP jest równa optymalnej wartości
funkcji celu w MD.
Twierdzenie 2
Jeżeli w rozwiązaniu optymalnym zmienna prymalna przyjmuje
niezerową wartość, to odpowiadająca jej (sprzężona z nią)
zmienna dualna w rozwiązaniu optymalnym jest równa
zero.
Jeżeli w rozwiązaniu optymalnym zmienna prymalna jest równa
zero, to odpowiadająca jej (sprzężona z nią) zmienna
dualna w rozwiązaniu optymalnym przyjmuje wartość
niezerową.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 2
Interpretacja zmiennych dualnych
Dualna zmienna decyzyjna:
Wartość optymalna dualnej zmiennej decyzyjnej yi określa
przyrost optymalnej wartości funkcji celu zagadnienia
prymalnego przy wzroście ograniczenia bi o jednostkę.
Zgodnie z neoklasyczną teorią ekonomii – określa krańcową
produktywność jednostki i-tego środka produkcji.
Dualna zmienna dodatkowa:
Wartość optymalna dualnej zmiennej dodatkowej gj informuje o
tym, o ile musiałaby zmienić się wartość współczynnika z
prymalnej funkcji celu przy zmiennej xj , aby ta zmienna w
rozwiązaniu optymalnym przyjęła niezerową wartość.