D. Ciołek

Metody badawcze

Dynamiczne modele ekonometryczne.

dr Dorota Ciołek

Katedra Ekonometrii Wydział Zarządzania UG http://wzr.pl/dc

[email protected]

1

D. Ciołek

Dynamiczny model ekonometryczny

Modele statyczne opisują relację miedzy zmienną endogeniczną

y t

a zmiennymi egzogenicznymi na zmianę zmiennej

x

.

x

w tym samym okresie czasu – natychmiastowa reakcja zmiennej

y t

W rzeczywistości gospodarczej spotykamy się z różnego typu odroczonymi w czasie reakcjami pomiędzy zmiennymi ekonomicznymi.

Model dynamiczny - w zbiorze zmiennych objaśniających występują opóźnione zmienne endogeniczne, opóźnione zmienne egzogeniczne lub zmienna czasowa

t

. Nie wszystkie wymienione kategorie zmiennych muszą występować jednocześnie.

2

D. Ciołek

Rodzaje modeli dynamicznych

1. Model tendencji rozwojowej:

y t

  0   1

t

  2

t

2  

t

w roli zmiennej objaśniającej występuje zmienna czasowa t – trend deterministyczny.

2. Model z rozłożonymi opóźnieniami (ang. distributed lags model)

DL(q)

(np. z jedną zmienną egzogeniczne):

y t

  0   0

x t

  1

x t

 1   2

x t

 2  ...

 

q x t



q

 

t

opisuje zależność zmiennej endogenicznej

y t

od bieżących i przeszłych zmian zmiennej (zmiennych) egzogenicznych

x

.

3

D. Ciołek

Rodzaje modeli dynamicznych

3. Model autoregresyjny

y t

  0   1

y t

 1 

AR(p)

:  2

y t

 2  ...

 

p y t



p

 

t

bieżące wartości zmiennej

y

przeszłości. zależą od realizacji tej zmiennej w 4. Model autoregresejnymi z rozłożonymi opóźnieniami

ADL(p,q)

:

y t

  0   1

y t

 1   0

x t

  2

y t

 2   1

x t

 1  

...

  2

x t

 2 

p y t



p

 

...

 

q x t



q

 

t

w roli zmiennych objaśniających występuje zmienna endogeniczna z okresów poprzednich oraz zmienna egzogeniczna z tego samego okresu i z okresów poprzednich.

4

D. Ciołek

Interpretacja w modelach dynamicznych

Modele dynamiczne nie mogą być interpretowane w taki sam sposób jak modele statyczne.

Przeprowadza się tzw. analizę mnożnikową: mnożnik natychmiastowy, mnożniki opóźnione indywidualne, mnożniki opóźnione skumulowane, mnożnik długookresowy.

Analiza mnożnikowa opisuje zawsze wpływ zmiennej egzogenicznej na zmienną endogeniczną.

Dla każdej zmiennej egzogenicznej wyznacza się oddzielną grupę mnożników.

5

D. Ciołek

Model z rozłożonymi opóźnieniami

Ogólny zapis modelu:

y t

  0   0

x t

  1

x t

 1   2

x t

 2 

...

 

q x t



q

 

t

 ; (

i

 0 , 1 , opóźnionymi rzędu ...,

i

.

q

)  (natychmiastowym, bezpośrednim).

Informuje, o ile średnio zmieni się zmienna

y

jeżeli zmienna

x

w okresie bieżącym, w tym samym okresie wzrośnie o jednostkę, przy założeniu, że w pozostałych okresach wartość

x

zmieniła się.

nie

6

D. Ciołek

Model z rozłożonymi opóźnieniami

Mnożnik indywidualny opóźniony rzędu

i

: 

i

określa, jak zmieni się zmienna

y

w okresie bieżącym jeżeli

i

okresów wcześniej (w okresie ( poziomu.

t - i

)) zmienna

x

wzrosła o jednostkę i w kolejnych okresach powróciła do poprzedniego Mnożnik skumulowany opóźniony rzędu

i

mnożników indywidualnych:

s

0   0

s

1

s

2     0 0     1 1  

s

0  2    1

s

1   2 jest sumą

i



s i

 

i j

 0 

j



s i

 1  

i

7

D. Ciołek

Model z rozłożonymi opóźnieniami

Mnożnik skumulowany opóźniony rzędu

i

s i

określa, jak zmieni się zmienna

y

w okresie bieżącym jeżeli

i

okresów wcześniej (w okresie (

t - i

)) zmienna

x

wzrosła o jednostkę i w kolejnych okresach utrzymała się na nowym poziomie (utrwalona zmiana zmiennej egzogenicznej).

Do wszystkich interpretacji mnożników: Jeżeli w modelu występuje więcej zmiennych egzogenicznych w interpretacji musimy dodać założenie, że w tym samym czasie pozostałe zmienne pozostaną na niezmienionym poziomie.

8

D. Ciołek

Model z rozłożonymi opóźnieniami

Mnożnik długookresowy – parametr równowagi długookresowej:   

q i

 0 

i

Jeśli długookresowy poziom zmiennej egzogenicznej

x

wzrasta o jednostkę, to odpowiada temu zmiana długookresowego poziomu zmiennej endogenicznej

y

o

δ

jednostek. Relacja długookresowa – długookresowa postać modelu:

y

  0  

x

  Podstawowy problem w modelach właściwego stopnia maksymalnego opóźnienia w modelu – czyli określenie rzędu

q

.

DL

polega na ustaleniu

9

D. Ciołek

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami

ADL(p, q):

y t

  0   1

y t

 1   0

x t

  2

y t

 2   1

x t

 1  

...

  2

x t

 2 

p y t



p

 

...

 

q x t



q

 

t

ADL(1, 0):

y t

  0 |  |  1   1

y t

 1   0

x t

 

t

; (

t



2 ,....,

T

)

Interpretacja modelu polega na wyliczeniu mnożników.

10

D. Ciołek

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami Mnożnik krótkookresowy:

 0   0 Pokazuje jak w bieżącym okresie zmienna endogeniczna zależy od jednostkowej zmiany zmiennej egzogenicznej, przy założeniu stałości pozostałych czynników.

Mnożniki indywidualne opóźnione: 

i

 

i

1  0 mnożnik

i

-tego rzędu.

Jeżeli w okresie

t - i x

(

i

okresów przed okresem bieżącym) zmienna wzrośnie o jednostkę i w kolejnych okresach powróci do poprzedniego poziomu, to zmienna endogeniczna

y

bieżącym będzie wyższa o

π i

jednostek.

w okresie

11

D. Ciołek

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami Mnożniki skumulowane opóźnione:

s i

  0   1   2    

i

 

i j

 0 

j

Jeżeli w okresie

t - i x

(

i

okresów przed okresem bieżącym) zmienna wzrośnie o jednostkę i w kolejnych okresach utrzyma się na tym nowym poziomie, to zmienna endogeniczna

y

bieżącym będzie wyższa o

π i

jednostek.

w okresie

12

D. Ciołek

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami

Zakładamy, że istnienie równowaga długookresowa, czyli:

x



E

 

t

  

t

 

t

 1  Model

ADL(1,0)

y

  0 zapiszemy następująco:   1

y

  0

x

  zatem:

y

( 1   1 )   0   0

x

 

y

 1   0  1  1   0  1

x

 1  1  1 

13

D. Ciołek

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami Długookresowa postać modelu – relacja długookresowa:

y

  0 *  

x

  * Długookresowy wyraz wolny:

Mnożnik długookresowy:

 0 *   1   0  1  1   0  1 Jeśli długookresowy poziom zmiennej egzogenicznej

x

wzrasta o jednostkę, to odpowiada temu zmiana długookresowego poziomu zmiennej endogenicznej

y

o

δ

jednostek.

14

D. Ciołek

Model autoregresyjny z rozłożonymi opóźnieniami

ADL(1, 1):

y t

  0   1

y t

 1   0

x t

Mnożnik krótkookresowy:  0   0   1

x t

 1  

t

;

Mnożniki indywidualne opóźnione: 

i

 

i

1  0  

i

1  1  1 ; Mnożnik długookresowy:    1 0     1 1

(

t



2 ,....,

T

)

15

D. Ciołek

Przykład:

Makroekonomiczna funkcja konsumpcji

Celem badania jest analiza konsumpcji globalnej w Polsce w latach 1970-2000. Znane są wartości konsumpcji globalnej (w mld $) oraz dochodu globalnego (w mld $) w tych latach. Dane pochodzą z Penn World Tables i wyrażone są w cenach stałych z roku 1996. W badaniu opieramy się na ekonomicznej teorii konsumpcji: C = f (Y).

Konsumpcja i PKB w Polsce w latach 1970-2000.

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Konsumpcja PKB

16

D. Ciołek

Przykład:

Makroekonomiczna funkcja konsumpcji

Model makroekonomicznej funkcji konsumpcji wynikający z teorii trwałego dochodu (teorii permanentnego dochodu):

C t

  0   1

Y t

  2

C t

 1  

t

Przy pomocy MNK oszacowano parametry strukturalne powyżego modelu dla 31 obserwacji rocznych z okresu 1970-2000:

C t

  ( 

9 , 7334

13 , 574 )  (

0 ,



2398

0 , 0794 )

Y t



0

( 

, 70360

0 , 09078 )

C t

 1  

ˆ

t

Wyznaczone zostały również następujące miary i statystyki testów:

R

2  0 , 944

R

2  0 , 939  ˆ   12 , 29

C

 221 , 92

JB =

4,56 [0,522]

V

   ˆ 

C W =

3,52 [0,080]  100 %  12 , 29 221 , 92  100  5 , 538 %

DW

= 1,4597

17

D. Ciołek

Przykład:

Makroekonomiczna funkcja konsumpcji

Badanie autokorelacji składników losowych: Test h-Durbina:   

H H A

0 : :  1  1   0 0

h

 

ˆ

1

T

1 

T



ˆ

2

(



ˆ

1

)

DW



ˆ

 2  1   ˆ 1  2   1  czyli

( 0 , 09078 )

2  ˆ 1  1 

DW

2 

0 , 00824

 1  1 , 4597 2  0 , 27015

h

 0 , 27015 1  31 31  0 , 00824  1 , 74 Wartość krytyczna:

z

 

z

0 , 05  1 , 96

18

D. Ciołek

Przykład:

Makroekonomiczna funkcja konsumpcji

Mnożnik krótkookresowy:  0  0 , 2398 Mnożniki indywidualne opóźnione:  1  0 , 2398  0 , 7036  0 , 1687  2  0 , 2398  0 , 7036 2  0 , 1187  3  0 , 2398  0 , 7036 3  0 , 0838 Mnożniki skumulowane opóźnione:

s

0   0  0 , 2398

s

1  0 , 2398  0 , 1687  0 , 4085

s

2  0 , 2398  0 , 1687  0 , 1187  0 , 5272

s

3  0 , 2398  0 , 1687  0 , 1187  0 , 0838  0 , 611

19

D. Ciołek

Przykład:

Makroekonomiczna funkcja konsumpcji

Postać długookresowa modelu:

C



1

  0  1 

1

  0  1

Y

  *

C

  1  9 , 7334 0 , 7036  0 , 2398 1  0 , 7036

Y

  *

C

  32 , 8387  0 , 809 

Y

  * Mnożnik długookresowy:   0 , 809  ˆ 1 

20

D. Ciołek

Dynamiczne Modele Panelowe

Załóżmy, że mamy panelowy model autoregresyjny z efektami indywidualnymi: y it  α i  γy i, t  1  u it Sprawdźmy, czy możliwe jest oszacowanie powyższego modelu za pomocą poznanych estymatorów: RE, FE i FD. a) Estymator RE Zauważmy, że zmienna y i,t-1 jest zmienną objaśnianą w równaniu modelu dla obserwacji z okresu t-1 : y i, t  1  α i  γy i, t  2  u i, t  1 Widać, że zmienna ta zależy od efektu indywidualnego - metoda RE nie może być wykorzystana. Copyright by Dorota Ciołek  i -

21

D. Ciołek

Dynamiczne Modele Panelowe

b) Estymator FE - within Przy założeniu, że w wektorze zmiennych objaśniających znajduje się jedynie wartość opóźnionej zmiennej objaśnianej, postać estymatora można zapisać jako: γˆ FE   i t  i  y t it   y y i, t i  1   y  i, t y  1 i,  1   2 y i,  1  Podstawiając wzór modelu autoregresyjnego do licznika powyższego wzoru otrzymujemy: γˆ FE  γ   i t  i  u t it   y u i, t i  1   y  i, y t  1 i,  1   2 y i,  1  Copyright by Dorota Ciołek

22

D. Ciołek

Dynamiczne Modele Panelowe

Estymator byłby nieobciażony gdyby drugi czynnik był równy zero. Można jednak wykazać, że granica stochastyczna licznika równa jest: plim N    i t  u it  u i   y i, t  1  y i,  1    δ 2 ε T 2 (T  1)  Tγ  (1  γ) 2 γ T  0 Oznacza to, że:  Powyższe wyrażenie jest zbieżne do zera przy T dążącym do nieskończoności, czyli przy długich szeregach.

 Najczęściej, gdy szeregi są dość krótkie (nawet gdy T=10) estymator jest znacznie obciążony!

23

Copyright by Dorota Ciołek

D. Ciołek

Dynamiczne Modele Panelowe

c) Estymator FD Zauważmy, że postać będąca podstawą do zastosowania tej metody w przypadku rozpatrywanego modelu autoregresyjnego jest następująca: y it y i, t 1  γ(y i, t  1  y i, t  2 )  (u it  u i, t 1 ) Niestety, zmienna objaśniająca nie jest niezależna od składnika losowego.

Fakt wystąpienia zależności między zmienną (zmiennymi) objaśniającymi a zmienną objaśnianą sugeruje możliwość zastosowania metody zmiennych instrumentalnych. Copyright by Dorota Ciołek

24

D. Ciołek

Dynamiczne Modele Panelowe

Modele dynamiczne szacowane są przy pomocy pewnej wersji UMZI – estymator UMM zaproponowany przez Arellano i Bonda (1991) Szacując najprostszy model autoregresyjny postaci: y it  α i  γy i, t  1  u it zapisujemy go w postaci pierwszych różnic: y it y i, t 1  γ(y i, t  1  y i, t  2 )  (u it  u i, t 1 ) Szukamy instrumentu dla zmiennej (y i, t  1  y i, t  2 ) Jeżeli składnik losowy nie wykazuje autokorelacji, to właściwym instrumentem w tym przypadku jest zmienna

y i,t-2

.

25

Copyright by Dorota Ciołek