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CT 57
(année scolaire 2001/2002)
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Les systèmes articulés (treillis)
JM CHATEL
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Les systèmes triangulés (Treillis)
Plan de la séance
1 - Généralités
2 - Degré d ’hyperstaticité
3 - Stabilité d ’une structure triangulée
4 - Exemples de triangulation de poutres
5 - Détermination des efforts normaux dans les barres
6 - Exercices d ’application
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1 - Généralités
1.0 - Historique
Les systèmes triangulés (ou treillis) ont été pendant longtemps le type
classique de la construction métallique et de la charpente en bois.
Exemples :
- tour EIFFEL,
- ponts de chemin de fer (GARABIT),
- halles diverses (La Vilette, …),
- couvertures de gares (gare saint-Lazare,...),
- etc ...
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1 - Généralités
1.1 - Définition
Un système triangulé est un système composé de barres droites articulées
à leurs extrémités.
S
a
S
b
L
La longueur des barres est
grande par rapport à leurs
dimensions transversales.
L >> (a ou b)
Les points de concours de plusieurs
barres sont appelés des nœuds.
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1 - Généralités
1.2 - Hypothèses de calcul
F1
F2
F3
Le poids propre des barres est négligé.
Toutes les charges sont appliquées aux noeuds.
Les fibres moyennes des barres sont concourantes aux nœuds
(théoriquement en même point).
Toutes les barres sont articulées aux nœuds.
Les barres ne sont soumises qu’à un effort normal (N)
de compression ou de traction.
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1 - Généralités
1.3 - Structure réelles
Membrure supérieure
Articulation théorique
Membrure
inférieure
Montant
Diagonale
Articulation
réelle
Le calcul reste
valable si :
A
Gousset
- les fibres moyennes sont concourantes en un même point A
- le gousset est petit devant la longueur des barres
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2 - Degré d ’hyperstaticité
2.1 - Liaisons externes
Elles correspondent aux liaisons du système considéré avec l ’extérieur.
Il en existe trois types :
Liaison du type :
L1
Liaison du type :
L2
Liaison du type :
L3
- la liaison « appui simple »
(engendre une inconnue statique)
- la liaison « rotule »
(engendre deux inconnues statique)
- la liaison « encastrement »
(engendre trois inconnues statique)
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2 - Degré d ’hyperstaticité
2.2 - Liaisons internes
Elles correspondent aux liaisons internes entre les barres composant la
structure.
Il en existe trois types :
- l ’ appui simple
nœud de type n1
Engendre une liaison de
type L1 sur chaque barre
- la rotule
nœud de type n2
Engendre une liaison de
type L2 sur chaque barre
n2
L2
- l ’encastrement
L2
L2
n2
L2
nœud de type n3
Engendre une liaison de
type L3 sur chaque barre
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2 - Degré d ’hyperstaticité
2.3 - Calcul du degré d ’hyperstaticité
(1/3)
Nombre d ’inconnues :
Les inconnues du système sont les différentes liaisons (externes et internes).
À chaque liaison de type Li correspondent (i) inconnues
Nombre d ’équations :
Par application du PFS nous aurons :
- 3 équations par barre
- (i) équations par nœud de type ni
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2 - Degré d ’hyperstaticité
2.3 - Calcul du degré d ’hyperstaticité
(2/3)
Degré d ’hyperstaticité :
Le degré d ’hyperstaticité correspond à la différence entre le nombre
d ’équations et le nombre d ’inconnues.
Système hypostatique
nb d ’équations > nb d ’inconnues
Système isostatique
nb d ’équations = nb d ’inconnues
Système hyperstatique
nb d ’équations < nb d ’inconnues
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2 - Degré d ’hyperstaticité
2.3 - Calcul du degré d ’hyperstaticité
(3/3)
Exemple :
Calculer le degré d ’hyperstaticité de la structure
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3- Stabilité d ’une structure triangulée
(b) nombre de barres
Soit
(n) nombre de noeuds
Cette structure triangulée est stable à condition
que l ’équation suivante soit vérifiée :
b = 2.n - 3
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4 - Exemples de triangulation de poutres
Poutre de type
WARREN
Poutre de type
HOWE
Poutre de type
PRATT
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5- Détermination des efforts normaux dans les barres
5.1 - Méthode des nœuds
(1/2)
Cette méthode permet de calculer les efforts développés dans toutes les barres.
Méthode :
1 - vérifier que le système est isostatique
2 - déterminer les réactions aux appuis
3 - isoler un premier nœud et écrire l ’équilibre statique en faisant
apparaître les réactions des barres sur le nœud et le chargement
extérieur
P = 10 kN
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Exemple:
L
1
3
2
L
L
Calculer les efforts
dans les barres
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5- Détermination des efforts normaux dans les barres
5.1 - Méthode des nœuds
(2/2)
Méthode graphique (Crémona):
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5- Détermination des efforts normaux dans les barres
5.2 - Méthode des coupures (dite de « RITTER »)
(1/2)
Cette méthode permet de calculer directement un effort dans une barre
quelconque d ’un système articulé isostatique.
Méthode :
1 - vérifier que le système est isostatique,
2 - déterminer les réactions aux appuis,
3 - déterminer la barre dont il faut calculer l ’effort,
4 - couper la structure (en coupant au maximum 3 barres),
5 - écrire que la résultante en moment (par rapport un point
judicieusement choisi) est nulle,
6 - interpréter les résultats.
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5- Détermination des efforts normaux dans les barres
5.2 - Méthode des coupures (dite de « RITTER »)
(2/2)
Exemple:
P = 10 kN
P = 10 kN
L
L
L
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6 - EXERCICES
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Ponts sur le Vecchio (Corse)
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