Transcript Cours - TD calcul des structures treillis
Informatique – Cours-TD
CI4 – I NGÉNIERIE NUMÉRIQUE ET SIMULATION
C
OURS
- TD
CALCUL DES STRUCTURES TREILLIS
U
NE ILLUSTRATION À LA RÉSOLUTION DE PROBLÈMES LINÉAIRES DISCRETS MULTIDIMENSIONNELS
1
Introduction au problème scientique
Objectif :
Réaliser un programme permettant de calculer la résistance et la déformation d’un treillis, et plus particulièrement de la tour Eiffel.
Cet exemple est caractéristique d’une famille de problèmes très courants en ingénierie, conduisant à la résolution d’un système linéaire pour obtenir la solution.
Exemples :
Quelques exemple de treillis : ponts, batiments, charpentes. Mais ce type de méthode de résolution s’étend au calcul éléments finis (solides déformables, fluides, transferts thermiques, magnétisme, etc).
Principe :
Une structure treillis est constituées de barres assemblées, accrochée en certains points à un bati, et soumise à des sollicitations d’efforts extérieurs.
La photographie figure
montre l’exemple un pont métallique, modélisé sur la figure
sous forme d’un maillage de barres articulé, fixé au sol à ses extrémités et soumise au poids du tablier.
D. Iceta d’après un document de A. Caignot et M. Derumaux sur le site de l’UPSTI Page 1 sur
Informatique – Cours-TD F IGURE 2 – Modélisation du pont F IGURE 1 – Pont métallique en treillis 1.1
Modélisation mécanique
Les noeuds d’un treillis sont généralement modélisés par une articulation libre en rotation. Bien que les barres soient généralement rigidement encastrées les unes avec les autres, cette modélisation est raisonnable lorsque les barres sont longues devant les dimensions de leur section : les seuls efforts tranmissibles non négligeables sont
des forces dans l’axe des barres
(figure
Par ailleurs, chaque noeud est
à l’équilibre
barres et forces extérieures (figure
sous l’action des différentes forces s’exerçant sur lui : forces des F IGURE 3 – Efforts dans les barres F IGURE 4 – Équilibre des noeuds Enfin, chaque barre
se déforme
proportionnellement à l’effort subit, c’est-à-dire comme un ressort. La raideur dépend de la section de la barre
S
, de l’élasticité du matériau
E
(module d’Young) et de la longueur de la barre
L
: =
k ∆ L
=
E S L ∆ L
Remarque : pour qu’une structure treillis soit immobilisée par rapport au bati, il faut au moins 6 blocages scalaires sur les noeuds en 3D et 3 blocages scalaires dans le plan (figure
Hypothèses de modélisation :
– Les efforts extérieurs ne s’exercent que sur les noeuds. Un effort réparti sur une barre (comme le poids par exemple) sera reporté sur les noeuds.
– L’étude sera réalisée dans le plan, de façon à alléger les calcul. Cela ne remet pas en cause la démarche qui s’applique de façon identique en 3D.
Le problème consiste à déterminer les déplacements des noeuds et les forces dans les barres. Ces deux grandeurs étant liées, il suffit de déterminer l’une pour ensuite déduire l’autre. Cette observations conduit à deux approches différentes : une formulation du problème en effort où les inconnues sont les efforts dans les barres, et D. Iceta d’après un document de A. Caignot et M. Derumaux sur le site de l’UPSTI Page 2 sur
Informatique – Cours-TD une forumlation en déplacement où les inconnues sont les déplacements des noeuds.
1.2
Formulation en eorts
La formulation en effort est la plus simple à exprimer : les inconnues du problème sont les forces dans les barres et les contraintes sont les équations d’équilibre des noeuds.
Notons
n n
Poru
n b
le nombre de noeuds et barres, il y a donc
n b n b
le nombre de barres du treillis.
inconnues de forces dans les barres. Pour
n n
noeuds, il y a
n n
équations vectorielles d’équilibre (liant les forces inconnues), soit dans le plan 2
n n
équations scalaires.
A ce bilan, il faut ajouter les inconnes d’effort aux noeuds en appui sur le bâti. En hypothèse plane, il faut au moins 3 mobilités scalaires bloquées mais il peut y en avoir plus. Notons
n a
appuis sur le bâti (
n a
≥ 3).
Le problème présente donc
n b
+
n a
inconnues pour 2
n n
le nombre d’inconnues relatives aux équations. Il existe une solution unique s’il y a autant d’équation que d’inconnue (en supposant que le rang correspond au nombre d’équations, ce qui est le cas pour un treillis correctement conçu) :
n b
+
n a
= 2
n n
. Dans ce cas, le treillis est dit
isostatique
. Dans le cas où
n b
+
n a >
2
n n
, le treillis est dit
hyperstatique
et le problème n’a pas de solution unique.
F IGURE 5 – Modèle du pont isostatique F IGURE 6 – Cas d’une structure hyperstatique Le modèle du pont figure
est un cas isostatique : 13 barres et 3 bloquages au sol, soit 16 inconnues d’effort, pour 8 noeuds à l’équilibre soit 16 équations scalaires. Par contre, l’exemple similaire figure
est hyperstatique de degré
h
= 2 : il y a deux barres de plus, soit 18 inconnues d’effort pour toujours 16 équations d’équilibre des noeuds.
Sur ce second exemple, le calcul par une formulation en efforts n’est pas possible.
Si le treillis est isostatique, une fois les forces dans les barres trouvées, le calcul de la déformation (l’allongement) des barres est immédiat. Par contre, le déplacement des noeuds l’est beaucoup moins à partir des allongements...
La formulation en effort est donc : – simple à mettre en oeuvre car elle ne prend en compte l’élasticité des barres qu’après résolution du problème, – limitée aux treillis isostatiques, – mal appropriée pour retrouver la déformation de la structure.
1.3
Formulation en déplacements
La formulation en déplacement consiste à choisir les déplacements des noeuds comme inconnues du problème, soient deux inconnues par noeud dans le plan (déplacement en et
~
).
Pour relier les inconnues de déplacement aux équations d’équilibre, il faut exprimer les forces dans les barres en fonction de l’allongement des barres (loi de raideur), qui dépend directement des déplacements des noeuds.
Il y a donc, pour
n n
dans le plan 2
n n
noeuds, 2 équations.
n n
inconnues. Chaque noeud conduit à une équation vectorielle d’équilibre, soit D. Iceta d’après un document de A. Caignot et M. Derumaux sur le site de l’UPSTI Page 3 sur
Informatique – Cours-TD A ce bilan, il faut supprimer les inconnues certains déplacements des noeuds en appui sur le bâti (
n a
déplacements), mais en contre-partie, ajouter à chaque appui des inconnues d’effort (
n a
système d’équation conserve donc
n n
inconnues pour
n n
inconnues d’efforts). Le équations, que le treillis soit isostatique ou pas.
Sur l’exemple du pont figure
5 , il y a 9 noeuds soit 18 inconnues de déplacement des noeuds dans le plan (moins
3 inconnues de déplacement des noeuds liés au bâti, plus 3 inconnues d’effort en ces mêmes appuis, donc toujours 18 inconnues), pour 9 noeuds à l’équilibre soit 18 équations scalaires dans le plan.
Les efforts dans les barres sont directement issues de l’allongement des barres et ne pose aucun problème.
La formulation en effort est donc : – un peu plus complexe à mettre en oeuvre car elle prend en compte l’élasticité des barres dans l’expression du problème, – adaptée aux treillis isostatiques et hyperstatiques, – bien appropriée pour retrouver
a posteriori
les efforts dans la structure.
Le treillis (plan) de la tour Eiffel comportant 281 noeuds et 784 barres, il est largement hyperstatique (
h
= 234 !), si bien que le choix s’oriente vers une formulation en déplacement. Le système d’équations étant d’une dimension de l’ordre de 562 × 562, il est impossible d’envisager la résolution à la main : une mise en oeuvre numérique est aujourd’hui indispensable
2
Mise en ÷uvre du calcul numérique
Le calcul sera dans un premier temps réalisé et testé sur un cas d’école disposant de peu de noeuds et de barres, de façon à pouvoir traiter les calculs à la main et visualiser facilement vecteurs et matrices dans la console.
Cependant, nous garderons toujours le soucis d’écrire du code généralisable à un treillis de grande envergure comme celui de la tour Eiffel. Il sera ensuite immédiat d’adapter le code écrit pour résoudre le problème qui nous intéresse.
2.1
Cas d'école
Le cas d’école est une petit treillis (isostatique) à 3 barres et 3 noeuds, formant un triangle rectangle (figure
F IGURE 7 – Paramétrage du cas d’école Deux noeuds sont en appui sur le bâti : le noeud 1 est totalement fixé (aucun déplacement possible ni suivant
~
, ni suivant
~
), et le noeuds 2 est bloqué suivant Une force extérieure s’applique sur le noeud 3.
uniquement (un déplacement suivant reste possible).
1. Gustave Eiffel n’avait pas, en 1889, d’ordinateur pour ses calculs de structures. Des méthodes de calcul graphiques permettaient de déterminer les efforts efficacement, sans avoir à résoudre un système d’équations aussi lourd.
D. Iceta d’après un document de A. Caignot et M. Derumaux sur le site de l’UPSTI Page 4 sur
Informatique – Cours-TD 2.2
Dénition du treillis : organisation des données
Une part non négligeable du travail de réflexion pour la résolution numérique d’un problème scientifique consiste à bien organiser et structurer les données dans la mémoire de l’ordinateur.
Dans le cas d’un treillis, le problème est essentiellement caractérisé par : – les noeuds, c’est-à-dire leurs positions, – le réseau de barres, c’est-à-dire leurs noeuds extrémités, – les caractéristiques mécaniques des barres, c’est-à-dire leur section et leur matériau.
Ces données s’exprimeront facilement sous forme de tableaux : – un tableau de flottants pour les noeuds, contenant pour chaque noeud ses coordonnées
x
et
y
, de taille
n n
× 2 (
n n
lignes et 2 colonnes), – un tableau d’entiers pour les barres, contenant pour chaque barre les numéros des deux noeuds extrémités, de taille
n b
× 2 (
n b
lignes et 2 colonnes), – un tableau de flottant pour les sections de chaque barre (
n b
lignes et 1 colonnes).
Le matériaux sera considéré unique pour la tour Eiffel (l’acier, soit un module d’Young
E
de 210 GPa environ). Dans le cas d’école, la section sera considérée comme constante mais un tableau sera néanmoins introduit de façon à pouvoir calculer le cas de la tour Eiffel par la suite.
Dans le cas d’école, les variables caractérisant le treillis prennent la forme suivante :
L x
= 2
L y E
= 1 = 210
E
9 noeuds = 0 0
L x L y
0
L y
barres = 1 2 1 3 2 3 1 sections = 5
E
− 4 × 1 1
Tracé du treillis
Le tracé du treillis est simple : il suffit de tracer pour chaque barre un segment allant des coordonnées du noeud extrémité 1 aux coordonnées du noeud extrémité 2.
Il est aussi utile d’imposer une même échelle pour les axes
x
et
y
de façon à ne pas déformer la structure à l’affichage et de forcer la couleur des traits (par défaut, la couleur change à chaque tracé).
2.3
Équations d'équilibre des noeuds
L’équilibre d’un noeud
i
s’écrit comme la somme des forces s’exerçant sur le noeud
i
(provenant des barres reliées au noeud
i
et des forces extérieures appliquées sur le treillis au noeud
i
) égale au vecteur nul. En projection sur les axes et
~
, l’équilibre du noeud
i
s’écrit : ∀
i
∈ J 1,
n n
K ,
n b
X
F X b j
→
i j
= 1
n b
X
F Y b j
→
i j
= 1 +
F X
ext →
i
+
F Y
ext →
i
= 0 = 0 Cela conduit à un système de 2 ×
n b
équations. Dans le cas d’école : – le noeud 1 est soumis aux actions des barres 1 et 2, et du bâti 0 (
F X
0 → 1 – le noeud 2 est soumis aux actions des barres 1 et 3, et du bâti 0 (
F X
0 → 2 – le noeud 3 est soumis aux actions des barres 2 et 3, et à la force
F ~
), (
F X
et et
F Y
0 → 1
F Y
), ).
D. Iceta d’après un document de A. Caignot et M. Derumaux sur le site de l’UPSTI Page 5 sur
Informatique – Cours-TD Le système d’équations s’écrit donc : Équilibre noeud 1 Équilibre noeud 2 Équilibre noeud 3
F F F F F F X b
1 → 1
Y b
1 → 1
X b
1 → 2
Y b
1 → 2
X b
2 → 3
Y b
2 → 3 +
F
+
F
+
F
+
F
+
F
+
F X b
2 → 1
Y b
2 → 1
X b
3 → 2
Y b
3 → 2
X b
3 → 3
Y b
3 → 3 = = = = = = −
F X
0 → 1 −
F Y
0 → 1 −
F X
0 → 2 0 −
F X
−
F Y
Dans le cas d’une formulation en effort, la mise en équation serait terminée puisque ce système lie les inconnues d’effort dans les barres (et sur les appuis).
Pour la formulation en déplacement choisie, chaque force dans les barres doit être exprimée en fonction des déplacements des noeuds, en traduisant le comportement élastique des barres.
2.4
Calcul des eorts en fonction des déplacements des noeuds
L’effort de tension dans une barre
k
est proportionnel à l’allongement
∆ L k
:
F k
=
k ∆ L k
=
E S k L k ∆ L k
Le calcul de la longueur
L k
noeuds
i
et
j
extrémités (figure de la barre est la norme du vecteur
−−−→
i j
directement issue des coordonnées des
L k
= k −−−→
i j
k = q (
x j
−
x i
) 2 + (
y j
−
y i
) 2 Le vecteur unitaire
~ k
colinéaire à la barre est lui aussi calculé à partir du vecteur −−−→
i j
:
~ k
= −−−→
i j
k −−−→
i j
k = −−−→
i j L k
=
v x
+
v y
Les noeuds
i
et
j
se déplacent des vecteurs déformations, égale à la projection :
~ i
= −−−→
i i
0 et
~ j
= −−−→
j j
0 . L’allongement
∆ L
est alors, pour de petites
∆ L
= (
~ j
−
~ i
) ·
v ~
L’effort de tension
F k
se calcule en fonction des déplacements des noeuds :
F k
=
E S k L k ∆ L k
=
E S k L k
(
~ j
−
~ i
) · =
E S k L k F k
peut alors se mettre sous la forme d’un produit matriciel : (
~ j X
−
~ i X
)
v x
+ (
~ Y j
−
~ i Y
)
v y
F k
=
E S k L k
(
~ X j
−
~ i X
)
v x
+ (
~ j Y
−
~ i Y
)
v y
=
E S k L k
−
v x
−
v y v x v y
u i X u i Y u X j u Y j
D. Iceta d’après un document de A. Caignot et M. Derumaux sur le site de l’UPSTI Page 6 sur
Informatique – Cours-TD F IGURE 8 – Allongement d’une barre et calcul de l’effort transmis aux noeuds Sachant que les efforts de la barre
k
s’expriment :
F ~ b k
→
i
=
F k
sur les noeuds =
F k
v x v y
et
i
et
j
sont de la tension
~ b k
→
j
= −
F k
=
F k
− −
F k v v x y
et colinéaires à la barre, ils 2.5
Mises sous forme matricielle Matrice de rigidité élémentaire
L’expression précédente permet de traduire sous forme matricielle la relation entre les inconnues d’efforts sur les noeuds
i
et
j
et les inconnues de déplacements des noeuds :
F X b k
→
i F Y b k
→
i F X b k
→
j F Y b k
→
j
=
v x v y
−
v x
−
v y
F k
=
v x v y
−
v x
−
v y
E S k L k
− Ou plus simplement, en définissant la matrice de rigidité élémentaire :
v x
−
v y v x v y
u i X u i Y u X j u Y j
F X b k
→
i F F F Y b k
→
i X b k
→
j Y b k
→
j
=
E S k L k
−
v
2
x
−
v x v y v
2
x v x v y
| −
v x v y
−
v y
2
v x v y v
2
y K
{z
e l k v
2
x v x v y
−
v
2
x
−
v x v y v x v y v y
2 −
v x v y
−
v
2
y
u i X u i Y u j X u j Y
} La matrice
K k e l
est en réalité calculé à partir des vecteurs et
~ v
, si bien qu’elle peut s’exprimer par bloc :
K k e l
= −
A A
−
A A
avec
A
=
E S k L k
v
2
x v x v y v x v y v
2
y
Cette matrice traduit la participation de la barre
k
aux efforts s’exerçant sur les noeuds dans les équations d’équilibre, en fonction des déplacements aux noeuds. Il faut maintenant sommer les efforts de
toutes
les barres sur chaque noeud.
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Cas d'école Barre 2
La barre 2 a pour longueur
L x
= 2 et pour vecteur unitaire
~
2 = L’expression de la force
F
1 s’écrit alors : = 1 0 .
F
2 =
E S
2
L
2 (
u X
3 −
u X
1 ) =
E S
2
L
2 − 1 0 1 0
u X
1
u Y
1
u X
3
u Y
3 Sachant que
F b
2 → 1 =
F
2
~
et
F b
2 → 3 = −
F
2
~
, on déduit la matrice de rigidité élémentaire :
F X b
2 → 1
F Y b
2 → 1
F X b
2 → 3
F Y b
2 → 3 =
E S
2
L
2 − 1 0 0 0 1 0 0 0 |
K
{z 2
e l
0 0 1 0 − 1 0 0 0
u X
1
u Y
1
u X
3
u Y
3 } On peut rapidement montrer que les matrices de rigidités des barres 1 et 3 sont les suivantes :
K
1
e l
=
E S
1
L
1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 1 0 0 1 0 − 1 et
K
3
e l
=
E S
3
L
3 −
v
2
x
−
v x v y v
2
x v x v y
−
v x v y
−
v
2
y v x v y v y
2
v
2
x v x v y
−
v
2
x
−
v x v y v x v y v
2
y
−
v x v y
−
v
2
y
avec ¨
v x v y
= 2
/
p 5 = 1
/
p 5 2.6
Assemblage de la matrice de rigidité
Rappelons les équations d’équilibres : ∀
i
∈ J 1,
n n
K ,
n b
X
F X b j
→
i j
= 1
n b
X
F Y b j
→
i j
= 1 +
F X
ext →
i
+
F Y
ext →
i
= 0 = 0 Où chaque force exercée par une barre s’écrit en fonction des déplacements aux noeuds. Il est donc possible d’exprimer le système sous la forme
K U
+
F
ext = 0 où
U
est le vecteur de déplacement aux noeuds (de tous les noeuds),
F
ext les forces extérieures (sur tous les noeuds) et Pour construire dimensions de
K K K
une matrice de rigidité globale.
, on commence par reformuler les matrices de rigidité élémentaire
K k e l k e l
) : , pour les remettre aux D. Iceta d’après un document de A. Caignot et M. Derumaux sur le site de l’UPSTI Page 8 sur
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N
1
x y N
2 .
..
x y N i x
.
..
y N j N n n x y x
.
..
y U
1
x y U
2
x y
···
U i x y
−
A A k k
···
U j x y A
−
A k k
···
U n n x y U
1
X U
1
Y U
2
X U
2
Y
.
..
U i X U i Y
.
..
U j X U j Y
.
..
U U X n n Y n n
+
F X
ext → 1
F F Y
ext → 1
X
ext → 2
F Y
ext → 2 .
..
F X
ext →
i F Y
ext →
i
.
..
F X
ext →
j F Y
ext →
j
.
..
F X
ext →
n n F Y
ext →
n n
= 0
k e l
de chaque barre :
K
= P
n b k
= 1
K
ˆ
k e l
.
Le système d’équation s’écrit alors sous forme matricielle
K U
+
F
= 0.
Cas d'école Assemblage des matrices
À partir des matrices
A k
matrices élémentaires : constituant les matrices élémentaires, la mise aux dimensions globales conduit aux
K
ˆ 1
e l
= −
A
1
A
1 0 −
A A
0 1 1 0 0 0
K
ˆ 2
e l
= −
A
2 0
A
2 0 0 0
A
2 − 0
A
2 La somme des matrices élémentaires conduit à la matrice de rigidité globale : 0
K
ˆ 3
e l
= 0 0 0 −
A
3
A
3 0
A
3 −
A
3
K
= −
A
1 −
A
2
A
1
A
2
A
1 −
A
1 −
A
3
A
3
A
2
A
3 −
A
2 −
A
3 =
K
= −
E S L
2 2 0 0 0
E S
2
L
2 0 0 −
E S L
1 1 0
E S
1
L
1 0 0 0 0 − 4
E S
5
L
3 3 − 2
E S
5
L
3 4
E S
3 2 5
L E S
3 3 5
L
3 3 0
E S
1
L
1 − 2
E S
5
L
3 3 −
E S L
1 1 − 2
E S
3 5
L E S
3 3 5
L
3
E S
3 5
L
3
E S
2
L
2 0 −
E S L
2 4
E S
3 5
L
3 2
E S
3 5
L
3 2 − 4
E S
3 5
L
3 − 2
E S L
3 3 0 0 2
E S
3 5
L
3
E S
3 5
L
3 − 2
E S
5
L
3 3 −
E S
5
L
3 3 2.7
Calcul du vecteur d'eorts extérieurs
Le vecteur
F
rassemble les efforts extérieurs : le chargement imposé et les actions aux appuis.
D. Iceta d’après un document de A. Caignot et M. Derumaux sur le site de l’UPSTI Page 9 sur
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Cas d'école
Pour le cas d’école, le chargement est la force
F
et les inconnues aux appuis apparaissent en
x
noeud 1, et en
x
uniquement pour le noeud 2. Il s’écrit donc : et
y
pour le
F
=
F X
0 → 1
F Y
0 → 1
F X
0 → 2 0
F x F y
Cas de la tour Eiel
Dans le cas de la tour Eiffel, le chargement est principalement dû au poids et au vent. Pour tenir compte du poids, il faut simplement reporter la moitié du poids de chaque barre ( 1 2
mg S k L k
) sur les noeuds extrémités. Pour tenir compte du vent, il faut calculer l’exposition de chaque barre au vent. L’action étant proportionnelle à la section des barres, nous simplifieront le chargement en supposant qu’il est égal à la moitié du poids pour chaque barre.
Les forces inconnues aux appuis apparaissent en
x
et en
y
sur les 6 noeuds fixés au sol.
2.8
Prise en compte des appuis sur le bâti
Lorsque le treilli est en appui sur le bati, conduisant au blocage du déplacement suivant
~
, suivant ou les deux, le déplacement bloqué devient alors connu (c’est-à-dire qu’il ne fait plus partie des inconnues). Par contre, dans l’équation d’équilibre du noeud suivant la direction bloquée apparait une inconnue de force du bâti sur le noeud.
Cette équation n’est alors pas utile pour déterminer le déplacement mais bien pour déterminer la force transmise par l’appui.
Ces inconnues d’efforts aux appuis n’étant pas recherchées (au moins dans la première phase du calcul, visant à déterminer les déplacements des noeuds), ces inconnues bloquées et les équations d’équilibre correspondantes sont supprimées du système d’équations. De même, les éléments de
F
eux aussi supprimés.
correspondant aux lignes supprimées sont Nous noterons
K u
déplacements bloqués.
et
F u
les tableaux issus de
K
et
F
privés des lignes et colonnes correspondant aux
Cas d'école
Dans le cas d’école, le noeud 1 est totalement bloqué (suivant équations (les 3 premières lignes de
K
).
et
~
) et le noeud 2 est bloqué suivant
~
. Ceci conduit à supprimer les 3 premières inconnues (donc les 3 premières colonnes de
K
) ainsi que les 3 premières De même, les trois premières lignes de
F
correspondent aux efforts du bâti et sont donc supprimées du problème réduit aux calcul des déplacements aux noeuds. Ils peuvent par contre être calculés par la suite, en post traitement.
Cas de la tour Eiel
Dans le cas de la tour Eiffel, les 6 premiers noeuds, encastrés au sol, sont bloqués. Ceci conduit à supprimer les 12 premières lignes et les 12 premières colonnes de la matrice
K
, ainsi que les 12 premières lignes de
F
.
D. Iceta d’après un document de A. Caignot et M. Derumaux sur le site de l’UPSTI Page 10 sur
Informatique – Cours-TD 2.9
Résolution du problème et tracé de la déformée
Le problème consiste à résoudre le système d’équations
K u U u
=
F u
, où déplacement. Scilab et Python permette de calculer le résultat en une ligne :
U u
est le vecteur des inconnues de – sous Scilab :
U u
– sous Python :
U u
=
K u
\
F u
, =
l i na l g
.
s o l v e
(
K u
,
F u
) .
Une fois la solution
U u
obtenue, il faut le compléter avec les déplacements bloqués pour retrouver le vecteur
U
complet (en ajoutant des zéros aux déplacements bloqués).
F IGURE 10 – Tracé de la déformée du treillis F IGURE 9 – Paramétrage du cas d’école noeuds déplacés des composantes de
y i
0 = La structure déformée peut alors être tracée (figure
10 ), en traçant des segments pour chaque barre entre les
y i
+
α u i Y
.
U
, généralement avec un coefficient d’amplification
α
:
x i
0 =
x i
+
α u i X
et 2.10
Post-traitement : calcul des eorts dans les barres
Les efforts dans les barres s’expriment à partir des déplacements des noeuds et de la loi de comportement élastique, comme cela a déjà été calculé prédédement :
F k
=
E S k L k
(
~ X j
−
~ i X
)
v x
+ (
~ j Y
−
~ i Y
)
v y
=
E S k L k
−
v x
−
v y v x v y
u i X u i Y u X j u Y j
Il est souvent plus utile d’exprimer la contraintes dans le matériaux, caractéristique des limites d’endommagement de la structure :
σ k
=
F k / S k
.
2.11
Application au treillis de la tour Eiel
Une trame de programme est déjà écrite pour vous avec le chargement du fichier de maillage et un algorithme efficace pour le tracé des maillages avec et sans déformation. Il suffit de compléter avec le code déjà écrit pour le cas d’école !
D. Iceta d’après un document de A. Caignot et M. Derumaux sur le site de l’UPSTI Page 11 sur